謝 鑫，程國標(biāo)2，路翠華

(1.海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺 264001；2.解放軍91960部隊(duì)71分隊(duì)，廣東 汕頭 515073)

1 引 言

到達(dá)角(DOA)估計(jì)是陣列信號處理研究的主要問題之一，多年來，隨著對陣列信號處理問題研究的逐漸深入，越來越多的DOA估計(jì)算法被開發(fā)出來。目前,主要的DOA估計(jì)算法包括波束形成類算法、子空間類算法、解卷積算法以及其它算法[1],其中，波束形成類算法和子空間類算法最為常見。

常規(guī)波束形成法[2]目前仍廣泛應(yīng)用于聲納、雷達(dá)等系統(tǒng)中，該算法由于受Rayleigh限的制約，分辨能力和估計(jì)精度均十分有限。Capon最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)波束形成算法(MVM)[3]能夠提供更高的分辨率，但仍未能突破Rayleigh限的制約。基于協(xié)方差矩陣特征分解理論的子空間類算法將DOA估計(jì)的性能提到了新的高度，這類算法將協(xié)方差矩陣的特征向量分為相互正交的信號子空間和噪聲子空間，并利用其有關(guān)特性進(jìn)行高分辨方位估計(jì)，突破了Rayleigh限的限制。這類算法的代表是Schmidt提出的MUSIC[4](Multiple Signal Classification)法以及Roy和Kailath提出的ESPRIT[5]法。

上述這些常見的DOA估計(jì)算法都是以陣列流形精確已知為前提的，而在實(shí)際中，由于陣元間互耦等因素的存在，往往使陣列流形出現(xiàn)不可忽略的偏差，而這類模型誤差會嚴(yán)重影響各種高分辨DOA算法的性能?；ヱ钚?yīng)對陣列天線性能的影響近年來也受到了越來越多的關(guān)注，出現(xiàn)了一些互耦補(bǔ)償算法[6-8]，本文對幾種主要DOA估計(jì)算法在存在互耦誤差時的性能進(jìn)行比較分析，并利用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，為互耦補(bǔ)償研究提供更多依據(jù)。

2 信號模型

考慮一個由N個全向陣元組成的均勻線性陣列，陣列間距為d，如圖1所示。

圖1 均勻線性陣列

假設(shè)M個遠(yuǎn)場窄帶信號(M

(1)

式中，si(t)為第i個信號的復(fù)包絡(luò)，λi為其中心波長，nk(t)為第k個陣元中的零均值高斯加性白噪聲。

則陣列的輸出信號矢量可表示為

X(t)=[x1(t),x2(t),x3(t),…,xN(t)]T=

A(θ)S(t)+N(t)

(2)

其中：

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),a(θ3),…,a(θM)]

(3)

為N×M維陣列流形矩陣，a(θi)為對應(yīng)的方向向量，且有：

(4)

S(t)=[s1(t),s2(t),s3(t)，…,sM(t)]T

(5)

為M個入射信號矢量。

N(t)=[n1(t),n2(t),n3(t),…,nN(t)]T

(6)

為噪聲矩陣，其中ni(t)為第i個陣元中的零均值高斯加性白噪聲，方差為σ2，且滿足：

E[N(t)NH(t)]=σ2I

(7)

E[N(t)NT(t)]=0

(8)

式中，I表示N×N維單位陣，上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置。

考慮互耦時，可用一個互耦系數(shù)矩陣C來描述陣元間的互耦作用。根據(jù)互耦的特性，可認(rèn)為兩個間距相等的陣元間的互耦是近似相等的；同時，由于互耦效應(yīng)與陣元間距有關(guān)，距離越遠(yuǎn)，它之間的互耦越弱，當(dāng)間距達(dá)到幾個波長后，兩個陣元間的互耦已經(jīng)可以忽略不計(jì)了。因此在本文中，只考慮相近的L個陣元間的相互作用，則C可表示為

C=toeplitz(c)

(9)

其中：

c=[c0,c1,c2,…,cL,0,…,0]，
0<|cL|<…<|c1|

(10)

式中，toeplitz(c)表示由矢量c形成對稱Toeplitz矩陣。

此時，陣列的實(shí)際導(dǎo)向矢量為a(θ,c)=Ca(θ)，則陣列接收的快拍數(shù)據(jù)可表示為

X(t)=CA(θ)S(t)+N(t)

(11)

陣列的協(xié)方差矩陣R定義為

R=E[X(t)XH(t)]=

(12)

本文中的仿真計(jì)算條件如下：利用圖1中的陣列模型，陣元數(shù)為9，2個等功率相干信號到達(dá)角分別為-30°和20°，信噪比為10 dB，互耦系數(shù)向量c=[1,0.6791+0.4013i,0.3566+0.2653i,0,…,0]T，快拍數(shù)為100。

3 對波束形成算法的影響

波束形成算法的基本原理是將陣列中各個陣元的接收數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)求和，使陣列接收的方向增益聚焦在一個方向上，相當(dāng)于形成一個波束，不同的權(quán)向量可以將形成的波束指向不同的方向，通過波束空間掃描，得到最大輸出功率的方向就是信號方向。

對于式(11)所示的陣列接收信號矢量，若各陣元的權(quán)矢量為

(13)

則陣列的輸出為

y(t)=wHX(t)

(14)

此時，陣列輸出的平均功率為

wHE{X(t)XH(t)}w=wHRw

(15)

當(dāng)權(quán)向量w=a(θ)時，得到常規(guī)波束形成算法的空間譜表達(dá)式：

P(θ)=aH(θ)Ra(θ)

(16)

若采用最小均方誤差準(zhǔn)則來選擇權(quán)向量，即滿足所需方向信號輸出為常數(shù)條件下，使陣列的輸出功率最小，則可得到最優(yōu)權(quán)向量：

(17)

此時陣列的輸出功率為

(18)

以θ進(jìn)行空間掃描，可得到最小方差無失真響應(yīng)法(MVDR)的空間譜表達(dá)式：

(19)

圖2為常規(guī)波束形成算法在有無互耦情況下的DOA估計(jì)譜圖，從圖中可以看出，在設(shè)定的仿真條件中，無互耦情況下該算法能夠正確估計(jì)出兩個到達(dá)角方位；存在互耦時一個譜峰出現(xiàn)了偏差，另一個譜峰已經(jīng)明顯減弱，算法的性能明顯受到互耦誤差影響。

圖2 CBF算法下DOA估計(jì)比較

圖3為Capon算法(MVM算法)的DOA估計(jì)譜圖，從圖中可以看出，Capon算法譜峰要比常規(guī)波束形成算法尖銳，分辨率要高于CBF算法；但在互耦存在的情況下，其性能同樣受到嚴(yán)重影響，估計(jì)出現(xiàn)偏差，譜峰明顯衰減。

圖3 Capon算法下DOA估計(jì)比較

從上面的分析和仿真可以看出，在互耦誤差的影響下，波束形成類算法的DOA估計(jì)性能受到嚴(yán)重影響，估計(jì)結(jié)果出現(xiàn)偏差，甚至可能丟失部分信號。

4 對子空間類算法的影響

4.1 對MUSIC算法的影響

子空間類算法的運(yùn)算都是基于信號子空間和噪聲子空間的，通過對陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，可以獲取信號子空間和噪聲子空間。在互耦效應(yīng)的影響下，接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣如式(12)所示，對R進(jìn)行特征值分解，可得到M個大特征值和N-M個小特征值，它們對應(yīng)的特征向量分別為u1,…,uM,uM+1,…,uN，則US=[u1,u2,u3,…,uM]的各列可張成信號子空間，UN=[uM+1,uM+2,uM+3,…,uN]的各列可張成噪聲子空間，且它們滿足如下關(guān)系：

span(CA)=span(US)，span(US)⊥span(UN)

(20)

因此，可以得到：

(21)

顯然，此時信號子空間為span(CA)，而不再是span(A)，即span(A)不再與噪聲子空間span(UN)形成正交關(guān)系，則：

(22)

這一關(guān)系不再滿足。

此時，互耦誤差對于標(biāo)準(zhǔn)MUSIC算法(式(23))的影響是顯然的。Matlab仿真結(jié)果也驗(yàn)證了上述分析。

(23)

圖4 標(biāo)準(zhǔn)MUSIC算法下DOA估計(jì)比較

如圖4所示，標(biāo)準(zhǔn)MUSIC在有互耦和無互耦的情況下表現(xiàn)差異明顯，互耦存在時，DOA估計(jì)譜峰出現(xiàn)了顯著衰減，譜峰位置出現(xiàn)較大偏差。

單場次洪水總量對比選取了1992—2016年系列中，實(shí)測流量最大年份1998年的最大實(shí)測洪水段，其實(shí)測最大流量為流量208 m3/s；汛期總量和年總量選取汛期徑流相對豐沛的2011年進(jìn)行對比分析計(jì)算；其中推算流量，高水部分采用1992-2016年歷年單值化關(guān)系線推算，中水部分多年單值化關(guān)系線推算，低枯水部分采用單年率定關(guān)系線推算，對比結(jié)果見表5。

4.2 對ESPRIT算法的影響

ESPRIT算法主要利用了陣列的兩個子陣的陣列流形及兩個子陣接收數(shù)據(jù)的信號子空間的旋轉(zhuǎn)不變特性。

無互耦情況下，兩個子陣的陣列流形A1、A2滿足下式：

A2=A1Φ

(24)

接收數(shù)據(jù)的信號子空間US1、US2滿足下式：

US2=US1Ψ

(25)

最小二乘ESPRIT算法正是基于式(25)計(jì)算Ψ的最小二乘解，并對其進(jìn)行特征值分解求解信號的到達(dá)角：

(26)

互耦存在時，兩個子陣的陣列流形等效為C1A1和C2A2，一般情況下C1≠C2，此時它們不再滿足旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系Φ，同時信號子空間也不再滿足旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系Ψ，式(25)受到互耦誤差的污染，因此，以式(25)為基礎(chǔ)的式(26)和ESPRIT算法必然受到干擾。

圖5為最小二乘ESPRIT算法在有互耦和無互耦情況下DOA估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化曲線，圖中均方根誤差為100次蒙特卡洛仿真計(jì)算的平均值。從圖中可以看出，在不同信噪比條件下，互耦存在時估計(jì)的均方根誤差一般比無互耦時的均方根誤差高4°，信噪比低于-3 dB時，估計(jì)誤差都明顯增大(實(shí)際上也可理解為DOA估計(jì)成功概率的顯著降低)；大于3 dB時，有互耦干擾的均方根誤差趨于4.0°，這是由于仿真時所采用的互耦誤差系數(shù)為固定值。因此，在信噪比不斷增大時，DOA估計(jì)的均方根誤差也趨于一個固定值，而這一誤差值則是由互耦誤差引起的。

圖5 最小二乘ESPRIT算法DOA估計(jì)比較

4.3 對Root-MUSIC算法的影響

Root-MUSIC算法[9]是MUSIC算法的多項(xiàng)式求根形式。該算法需先定義多項(xiàng)式：

(27)

式中，ui為數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中小特征值所對應(yīng)的N-M個特征矢量，即噪聲子空間的特征向量，且：

p(z)=[1,z,z2,…,zN-1]T

(28)

可見，當(dāng)

(29)

時，p(z)為信號的導(dǎo)向矢量，因此它與噪聲子空間是正交的，顯然，式(29)為式(27)的根。同時也可說明，式(27)有M個根位于單位圓上，找到這些位于單位圓上的根，就能得到信號的到達(dá)角信息。

根據(jù)上述特點(diǎn)，可將式(27)修改為

(30)

由于式(30)存在z*項(xiàng)，使得求根過程變得復(fù)雜，為解決這一問題，可對其按照下式進(jìn)行修正：

(31)

式(31)即為求根MUSIC多項(xiàng)式，顯然，該式為2(N-1)次多項(xiàng)式，它有(N-1)對根，每對根分別關(guān)于單位圓對稱，對應(yīng)于入射信號的根則位于單位圓上。在實(shí)際計(jì)算中，由于誤差的存在，多項(xiàng)式的根很可能不在單位圓上，這時，需要取單位圓附近的根作為估計(jì)值。

顯然，在考慮互耦誤差影響時，噪聲子空間與span(CA)正交，則式(29)不再是多項(xiàng)式的根，此時，同樣取單位圓附近的根作為估計(jì)值，估計(jì)誤差取決于估計(jì)值與真實(shí)值幅角之差。

圖6 多項(xiàng)式根的分布圖

圖6為多項(xiàng)式根的分布圖，“o”表示10 dB信噪比條件下互耦存在時多項(xiàng)式的根，作為參考，圖中還給出了單位圓和理想無噪聲情況下多項(xiàng)式的根。從圖中能夠看到，理想無噪聲情況下，多項(xiàng)式有兩個根(實(shí)際上是兩對重根)位于單位圓上，這里將它們記為RT1和RT2；在有噪聲且存在互耦時，多項(xiàng)式的根都不在單位圓上，但在RT1和RT2附近有一對根，這兩對根的幅角分別與RT1和RT2的幅角相近，它們包含著入射信號信息，同時也包含了誤差。

從多項(xiàng)式根的分布情況以及DOA估計(jì)與多項(xiàng)式根的關(guān)系已經(jīng)可以看出互耦效應(yīng)對Root-MUSIC算法的不利影響，圖7所示的仿真結(jié)果也驗(yàn)證了這一點(diǎn)。

圖7 Root-MUSIC算法下DOA估計(jì)比較

圖7為Root-MUSIC算法在有互耦和無互耦情況下DOA估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化曲線，圖中均方根誤差為100次蒙特卡洛仿真計(jì)算的平均值。從圖中可以看出，有互耦情況下DOA估計(jì)的均方根誤差一直處于比較高的值，這主要是由于在互耦誤差影響下對多項(xiàng)式的根估計(jì)錯誤，如圖6所示，由于RT2附近的兩個根距離單位圓太遠(yuǎn)，容易導(dǎo)致識別錯誤，所以DOA估計(jì)均方根誤差較大。在低信噪比情況下無互耦時估計(jì)誤差迅速增大也是由于這個原因。

5 結(jié) 論

綜上所述，通過對均勻線性陣列模型下幾種主要DOA估計(jì)算法原理的分析，可得到互耦效應(yīng)影響這些算法的作用機(jī)理，利用MATLAB進(jìn)行的數(shù)值仿真也與理論分析一致。結(jié)果表明，互耦效應(yīng)帶來的誤差增大了DOA估計(jì)算法的估計(jì)誤差，降低了估計(jì)成功概率，嚴(yán)重影響了算法的性能。理論分析和仿真結(jié)果指出了互耦效應(yīng)影響DOA估計(jì)的作用點(diǎn)，顯示了算法受影響程度，為互耦補(bǔ)償算法研究提供了更多依據(jù)。

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