陳 苗，孫 磊

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232001）

基于實(shí)物期權(quán)模型的投資時(shí)機(jī)選擇研究

陳 苗，孫 磊

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232001）

運(yùn)用實(shí)物期權(quán)模型從連續(xù)時(shí)間角度對(duì)投資時(shí)機(jī)的選擇問(wèn)題進(jìn)行了分析，討論了投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值和投資成本按固定比率變動(dòng)，以及投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨機(jī)波動(dòng)兩種情況下投資時(shí)機(jī)的選擇，考慮到投資的機(jī)會(huì)成本，以及投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度，我們?cè)黾恿藢?duì)機(jī)會(huì)成本的考慮，并利用投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度對(duì)其中的折現(xiàn)率進(jìn)行了修正。

實(shí)物期權(quán)；投資時(shí)機(jī)；連續(xù)時(shí)間

1 引言

本文所研究的時(shí)機(jī)是投資機(jī)會(huì)的一部分，主要是確定在什么時(shí)間以及在項(xiàng)目達(dá)到多大價(jià)值時(shí)投資。即最優(yōu)投資時(shí)點(diǎn)和最優(yōu)投資值點(diǎn)的選擇。

大多數(shù)投資決策具有下面三個(gè)特征：（1）投資成本部分或完全不可逆。（2）未來(lái)回報(bào)是不確定的。（3）人們對(duì)投資時(shí)機(jī)具有選擇權(quán)[1]。這些特征使得傳統(tǒng)的NPV法在投資決策中具有很大的局限性，由于期權(quán)定價(jià)理論的不斷完善，人們開始將期權(quán)定價(jià)理論運(yùn)用于投資決策。為了區(qū)分這種期權(quán)和金融期權(quán)，Steward Myers將其稱為實(shí)物期權(quán)。

自20世紀(jì)70年代初，F(xiàn)ischer Black和Myron Scholes提出了著名的Black-Scholes模型。緊接著，1979年，Cox，Ross和 Rubinstein推導(dǎo)了二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)公式。與Black-Scholes模型一起成為期權(quán)定價(jià)最有效的兩個(gè)基本模型。1977年，Myers第一次提出了“Real Option”這個(gè)術(shù)語(yǔ)，指出了傳統(tǒng)的凈現(xiàn)值法的不足，至此，實(shí)物期權(quán)的概念便發(fā)展起來(lái)。Schwart和Moon（2000）認(rèn)為企業(yè)價(jià)值評(píng)價(jià)模型多為二項(xiàng)式模型，但它不能準(zhǔn)確衡量公司價(jià)值。為此，他們建立了一種連續(xù)時(shí)間的實(shí)物期權(quán)模型，并對(duì)網(wǎng)絡(luò)公司的價(jià)值進(jìn)行了評(píng)估[2]。Dentskevich和Salkin（1991）在詳細(xì)分析了傳統(tǒng)NPV法的不足的基礎(chǔ)上，指出了期權(quán)定價(jià)模型在投資項(xiàng)目決策中的補(bǔ)充作用[3]，F(xiàn)udenberg和Tirole(1985)將實(shí)物期權(quán)模型和博弈理論相結(jié)合，討論了競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下企業(yè)采取投資決策最優(yōu)時(shí)機(jī)選擇的博弈。他們以雙頭壟斷市場(chǎng)為例，對(duì)期權(quán)博弈理論下的投資時(shí)機(jī)選擇進(jìn)行了研究[4]。

2 投資時(shí)機(jī)選擇的模型

孟倩[5]利用期權(quán)的二叉樹模型研究了投資中所具有的延遲期權(quán)的價(jià)值，指出延遲投資對(duì)投資者更加有利可圖。但是，文獻(xiàn)[5]對(duì)于投資時(shí)機(jī)的選擇只是考慮了延遲期權(quán)的價(jià)值，并沒(méi)有考慮延遲投資所帶來(lái)的機(jī)會(huì)成本，也沒(méi)有考慮到投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)投資時(shí)機(jī)選擇的影響，時(shí)機(jī)的選擇也較籠統(tǒng)，沒(méi)有給出確切的投資點(diǎn)。然而，在投資實(shí)踐中，投資的機(jī)會(huì)成本以及投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)投資時(shí)機(jī)的選擇具有重要的影響。本文主要研究了投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值和投資成本按固定比率變動(dòng)，以及投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨機(jī)波動(dòng)兩種情況下投資時(shí)機(jī)的選擇，然后選擇文獻(xiàn) [5]中的案例進(jìn)行計(jì)算，并將研究結(jié)果進(jìn)行了比較。

在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)界一般認(rèn)同 “弱勢(shì)效率市場(chǎng)假說(shuō)”，即價(jià)格的變動(dòng)歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)價(jià)格未來(lái)變動(dòng)有用的信息。

而馬爾可夫過(guò)程也說(shuō)明，只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。

幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)項(xiàng)來(lái)源于維納過(guò)程 ，具有馬爾可夫性，符合“弱勢(shì)效率市場(chǎng)假說(shuō)”。因此，我們這里用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述投資項(xiàng)目的價(jià)值變動(dòng)規(guī)律：

其中：a代表投資的瞬時(shí)報(bào)酬率，σ代表瞬時(shí)報(bào)酬率的標(biāo)準(zhǔn)差，dz為標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程。

企業(yè)的投資機(jī)會(huì)其實(shí)等同于永久性看漲期權(quán)，這樣，投資決策就等同于決定何時(shí)執(zhí)行這一期權(quán)。因此，投資決策可以看作是期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。

這里用F（S）表示投資機(jī)會(huì)的價(jià)值，即期權(quán)的價(jià)值，本文的目的就是為了找到在某一時(shí)刻，F(xiàn)（S）的值可以達(dá)到最大化，此時(shí)即為最佳投資時(shí)機(jī)。用數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示為：

其中：E表示期望，t表示未來(lái)投資的時(shí)間，St為t時(shí)刻投資項(xiàng)目的價(jià)格，Ct為t時(shí)刻投資的成本，R表示投資者的期望收益率。

根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)模型可以知道，期望收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率加上投資者為補(bǔ)償承擔(dān)超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的平均風(fēng)險(xiǎn)而要求的額外收益率，即：

考慮到投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，本文用風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)μ對(duì)β值進(jìn)行了修正，新的β'值等于風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)μ與 β值的乘積， 即；β'=μβ， 將其帶入（1.3）式，可以得到：

其中：β'=βμ，μ代表投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。r代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

這里的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)μ應(yīng)該大于0，因?yàn)?，?dāng)μ小于0時(shí)，期望收益率會(huì)低于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，這不符合實(shí)際情況。在一定的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)程度范圍內(nèi)，當(dāng)μ為1時(shí)，表示投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度是中性的，即此時(shí)投資者要求的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償就是平均風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。如果投資者為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，此時(shí)μ應(yīng)該大于1，因?yàn)閷?duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的投資者來(lái)說(shuō)，除了要求平均風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償外，還會(huì)要求額外的補(bǔ)償。而對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)喜好型的投資者來(lái)說(shuō)，他們僅要求得到超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的補(bǔ)償，因此，此時(shí)μ介于0和1之間。當(dāng)μ為0時(shí)，表示投資者的期望收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。風(fēng)險(xiǎn)厭惡和風(fēng)險(xiǎn)喜好型投資者的μ值會(huì)隨著預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)的增加而急劇變化，而風(fēng)險(xiǎn)中性者只要求風(fēng)險(xiǎn)的平均補(bǔ)償（圖1）。因此，這里μ的選擇要根據(jù)投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的喜惡程度以及對(duì)風(fēng)險(xiǎn)大小的預(yù)期來(lái)進(jìn)行估計(jì)。

圖1 μ的選擇與預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系圖

β值可以取同一時(shí)期上市公司市場(chǎng)收益率和高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)上市公司平均收益率通過(guò)線性回歸計(jì)算得到。

（1）考慮σ為0的確定情況。本文假定投資項(xiàng)目的價(jià)值每年以速率a變動(dòng)，即式（1.1）中σ為0，a為一個(gè)固定的常數(shù)。這樣本文可以由：dS=aSdt得到：St=Seat，但是考慮到在持有期權(quán)等待期間會(huì)增加機(jī)會(huì)成本，這會(huì)使得投資項(xiàng)目發(fā)生減值，設(shè)持有期權(quán)期間項(xiàng)目回報(bào)率(相當(dāng)于股票的紅利)為k，則相應(yīng)的投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值變?yōu)椋篠t=Se（a-k）t。又因?yàn)橥顿Y成本也會(huì)隨著預(yù)期的變化而相應(yīng)地變化。因此，每推遲一年，投資成本就會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。本文假定投資成本將以速率b變動(dòng)。同理可得：Ct=Cebt。

根據(jù)式（1.2）本文可以得到投資機(jī)會(huì)價(jià)值的表達(dá)式為：

這里用St表示投資項(xiàng)目在t時(shí)刻的隨機(jī)價(jià)值，投資成本C保持不變，則最優(yōu)時(shí)機(jī)的選擇就是要尋找一個(gè)最優(yōu)投資點(diǎn)S*，即當(dāng)投資收益的現(xiàn)值達(dá)到或超過(guò)這個(gè)點(diǎn)時(shí)，S≥S*。就能進(jìn)行投資，否則繼續(xù)等待。設(shè)收益的現(xiàn)值為F（S，t）則：

為了找到最優(yōu)投資點(diǎn)，下面將利用無(wú)套利理論構(gòu)造微分方程。本文構(gòu)造下面這樣一個(gè)資產(chǎn)組合：持有投資期權(quán)價(jià)值F（S，t）eRt，并獲得單位的項(xiàng)目的空頭，該投資組合價(jià)值為：

另外，考慮到在持有期權(quán)期間會(huì)增加機(jī)會(huì)成本，就如同持有股票期權(quán)會(huì)損失一定的股票紅利一樣，獲得投資期權(quán)，并處在等待觀望階段時(shí)，機(jī)會(huì)成本就會(huì)增加，即，等待是有代價(jià)的。設(shè)持有期權(quán)期間項(xiàng)目回報(bào)率（相當(dāng)于股票的紅利）為k，則投資機(jī)會(huì)成本為注意到這里的投資組合是動(dòng)態(tài)的，會(huì)隨時(shí)間的變化而變化，但是，我們這里考慮在很短的時(shí)間△t內(nèi)，投資組合會(huì)近似保持固定[1]，該投資組合的總回報(bào)為：

將（1.9），（1.13）代入式（1.12）將投資總回報(bào)化為：

由無(wú)套利理論可知該資產(chǎn)組合的回報(bào)應(yīng)該等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)，否則就會(huì)存在套利機(jī)會(huì)，因此我們可以得到：

R=r+βμr'，μ代表投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。r代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

當(dāng)投資項(xiàng)目的價(jià)值大于S*時(shí)，投資者就可以投資，否則等待觀望。

3 案例分析

假設(shè)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者（假設(shè)μ等于1.6）投資一項(xiàng)產(chǎn)品生命周期為10年的投資項(xiàng)目，因?yàn)槭袌?chǎng)環(huán)境的不確定性，使得項(xiàng)目未來(lái)的現(xiàn)金流量收益是個(gè)不確定的變量，如果現(xiàn)在投資，可得到的現(xiàn)金流量現(xiàn)值為500萬(wàn)元，但是受到市場(chǎng)需求波動(dòng)的影響，假設(shè)每年的投資收益將上漲或下跌20%，現(xiàn)在進(jìn)行投資的成本為400萬(wàn)元，投資成本也將隨之變化，假設(shè)其每年的變化只有兩種可能：年上漲幅度為10%，年下跌幅度也為10%。這一投資經(jīng)可行性研究在三年內(nèi)是有效的；也即可延遲投資的有效時(shí)間為三年。市場(chǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。延遲期間項(xiàng)目回報(bào)率為0.01。假定某行業(yè)企業(yè)的β值為1.6，市場(chǎng)必要收益率為14%。

由上面的公式，我們可以知道，在0.94年時(shí)進(jìn)行投資可以獲得最優(yōu)投資，其最大收益為：

如果上例中波動(dòng)率為0.2，收益是隨機(jī)波動(dòng)的，投資成本為400萬(wàn)元，延遲期間項(xiàng)目回報(bào)率為0.01，其他條件不變，由（1.15）和（1.16）得：

即當(dāng)所投項(xiàng)目的價(jià)值達(dá)到533.3萬(wàn)元時(shí)進(jìn)行投資能使項(xiàng)目的期權(quán)價(jià)值達(dá)到最大，可獲利133.3萬(wàn)元。

上面，我們給出了兩種不同情況下的投資時(shí)點(diǎn)，而文獻(xiàn)[5]則只是籠統(tǒng)地指出立即投資獲得的凈收益為100萬(wàn)元，而延遲投資可使投資機(jī)會(huì)的價(jià)值增加137.8-100=37.8（萬(wàn)元），因此延遲投資對(duì)于民營(yíng)資本更加有利可圖。至于何時(shí)投資，文獻(xiàn)[5]只是提出如果項(xiàng)目的期權(quán)價(jià)值大于預(yù)先設(shè)定的期望期權(quán)價(jià)值時(shí)，即可進(jìn)行投資。可見(jiàn)，我們給出的投資點(diǎn)更加精確。

4 小結(jié)

本文主要研究了投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值和投資成本按固定比率變動(dòng)，以及投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨機(jī)波動(dòng)兩種情況下投資時(shí)機(jī)的選擇，考慮到投資的機(jī)會(huì)成本，以及投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度，本文在給出的模型中增加了投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)和投資機(jī)會(huì)成本率（即期權(quán)持有期間項(xiàng)目回報(bào)率）兩個(gè)參數(shù)，可以更加合理地對(duì)投資時(shí)機(jī)進(jìn)行選擇。

[1]李斌.基于實(shí)物期權(quán)的投資時(shí)機(jī)選擇決策研究[D].武漢：武漢理工大學(xué)，2006

[2]Schwartz E.S.and Moon M.，Rational Pricing of Internet Companies[J].Financial Analysts Journal, 2000，（3）：7-26

[3]Dentskevich P.and Salkin G.，Valuation of Real Projects Using Option Pricing Techniques[J]. OMEGA InternationalJournalofManagement Science，1991，19（4）:207-222

[4]Fudenberg D.，J.Tirole.Preemption and Rent Equalization in the Adoption of New Technology [J].Review of Economic Studies，1985，（52）:383-401

[5]孟倩.企業(yè)信息化產(chǎn)品投資機(jī)會(huì)研究[D].上海：同濟(jì)大學(xué)，2005

F224

A

1009-9530（2010）05-0029-03

2010-03-28

陳苗（1981-），女，山東菏澤人，淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系助教。