武燕玲

（安徽工業(yè)高級技工學(xué)校，安徽 淮南 232001）

一時滯微分系統(tǒng)無條件穩(wěn)定和Hopf分支

武燕玲

（安徽工業(yè)高級技工學(xué)校，安徽 淮南 232001）

利用定性分析方法和代數(shù)理論中代數(shù)方程根的性質(zhì)，研究了三階線性時滯微分系統(tǒng)的無條件穩(wěn)定性和Hopf分支，得到了三階線性時滯微分系統(tǒng)無條件穩(wěn)定性的充要條件和出現(xiàn)Hopf分支的條件。

時滯微分系統(tǒng)；特征方程；無條件穩(wěn)定性；Hopf分支

本文討論如下形式的時滯微分系統(tǒng)的無條件穩(wěn)定性和Hopf分支

這里f1，f2，f3∈c1,τ＞0。系統(tǒng)（1）可作為三種群相互作用的數(shù)學(xué)模型[1-4]。設(shè)E（，，）是系統(tǒng)（1）的平衡點，系統(tǒng)（1）在平衡點E處的一階近似系統(tǒng)為：

進(jìn)行如下計算得

一、無條件穩(wěn)定的判定

假設(shè)（3）式有純虛根，令λ=iω，ω＞0，則

綜上分析可得下面結(jié)果。

定理1 系統(tǒng) （2）無條件穩(wěn)定的充要條件為（HI）成立及條件（HII）或條件（HIII）之一成立。

二、Hopf分支

引理7 在條件（HVII）成立條件下，若（HVI）和（HIV）（HV）之一同時滿足時，則有

（1）當(dāng) τ∈[0，τ0]時，特征方程（3）的所有根皆具有嚴(yán)格負(fù)實部；

（2）當(dāng) τ=τ0時，方程（3）有一對簡單純虛根± iω0，且其余根皆具有嚴(yán)格負(fù)實部；

（3）當(dāng) τ＞τ0（n=0，1，2，…）時，方程（3）至少有n+2個正實部的根。

將引理4和引理7應(yīng)用到系統(tǒng)2中，有下面定理。

定理2 在條件（HVII）成立條件下，若（HVI）和（HIV）（HV）之一同時滿足時，則在τ＞τ0（n=0，1，2，…）時，系統(tǒng)2出現(xiàn)Hopf分支。

[1]L.Li.Stability and Hopf Bifurcation of a Differential Delay System[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2002，17（2）：157-164

[2]E.Beretta&Y.Kuang.Geometric Stability Switch Criteria in Delay Differential Systems with Delay DependentParmeters [J].Siam J.Math.Anal. 2002，33（5）：1144-1165

[3]J.K.Hale.Theory of Functional Differential Equations[M].Springer-Verlag，New York，1997

[4]鄭祖庥.泛函微分方程理論[M].合肥：安徽教育出版社，1994

[5]梁建秀.三階時滯微分方程無條件穩(wěn)定的判定[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報 （自然科學(xué)版），2001，29（1）: 12-16

[6]Cook K，Gossman Z.Discrete Delay，Distributed Delay and Stability Switches[J].Math.Anal.App.，1982，（86）:592-627

O172.1

A

1009-9530（2010）05-0026-03

2010-06-19

武燕玲（1970-），女，安徽淮南人，安徽工業(yè)高級技工學(xué)校講師。