劉丙鐲, 車曉飛

(中國礦業(yè)大學 理學院,江蘇 徐州 221116)

高階多點邊值問題共振情況下正解的存在性

劉丙鐲, 車曉飛

(中國礦業(yè)大學 理學院,江蘇 徐州 221116)

針對高階多點共振邊值問題研究較少的情況,利用 Leggett-W illiams型迭合度理論,探討一類高階微分方程多點邊值問題共振情況下正解的存在性。通過合理的假設,得到了存在正解的充分性條件,并舉例說明了結論的可行性。

多點邊值問題;Leggett-W illiams型迭合度理論;正解;存在性定理

Abstract:A imed at higher order multi-point boundary value problems at resonance.This paper seeks to probe into the existence of positive solutions fornth-ordermulti-point boundary value problems at resonance,by the method ofLeggett-W illiams norm-type theorem due to D.O’Regan and M.Zima.The paper provides an example to demonstrate the results.

Key words:multi-point boundary value problems;Leggett-W illiams no rm-type theorem;positive solutions;existence theorem

0 引 言

文中主要研究一類高階微分方程多點邊值問題正解的存在性,方程為

近年來,非局部多點邊值問題的研究受到了很多學者的關注[1-7],同時得到了一些多點邊值問題存在正解和存在多個正解的充分性條件[8-12]。多數學者研究的是非共振情況下正解的存在性,也就是線性算子 L是可逆的。D.O’Regan和 M.Zima在文獻[13]中給出了一種新的研究方法,該方法被G.Infante和M.Zima用于研究共振情況下的二階多點邊值問題[14],方程為對應的邊界條件為筆者受文獻[14]的啟發(fā),用 Leggett-W illiams型的迭合度理論研究了一類高階微分方程多點邊值問題(1)、(2)在共振情況下正解的存在性。

1 預備知識

先介紹一些有關 Fredholm算子和 Banach空間中的錐的知識。令 X、Y是實的 Banach空間,L:domL?X→Y是個線性算子,N:X→Y是個非線性算子。假設:

(H1)L是一個指標為零的 Fredholm算子,即I

mL是個閉集并且 dim kerL=co d im ImL<∞。若(H1)成立,則存在連續(xù)的投影算子 P:X→X和 Q:Y→Y滿足 ImP=kerL,kerQ= ImL[14-15]。因為dim ImQ=dim kerL,所以存在同構 J: ImQ→kerL。用 Lp表示 L定義在 domL∩kerP上,則 Lp是從domL∩kerP到 ImL的一個同態(tài)。Kp記為算子 Lp的逆,所以有 Kp: ImL→domL∩kerP[14-16]。顯然有抽象方程 Lx=Nx等價于 x=(p+JQN)x+Kp(I-Q)Nx。

定義 2[14]如果 X中凸閉子集 C滿足條件

(i)若 x∈C,λ≥0則λx∈C,

(ii)若 x、-x∈C,則 x=0。則稱 C是 X的閉錐,

設 C是 X中的閉錐,則有

x?y當且僅當 y-x∈C。

引理 1[13]如果 C為 X中的一個錐,那么對每一個 u∈C{0}都存在一個正數σ(u)使得‖x+u‖≥σ(u)‖x‖,? x∈C。

令γ:X→C是一個壓縮映射,即對?x∈C都有γ(x)=x成立。為了證明的方便,定義

ψ:=P+JQN+Kp(I-Q)N,

ψγ:=ψ°γ。

引理 2[6](Leggett-W illiams型迭合度理論)C為 X中的一個錐,令Ω1、Ω2為 X中的有界開集,并且1?Ω2,C∩(2Ω1)≠?。假設(H1)成立并滿足:

(H2)在 X中的任意有界子集上,QN:X→Y連續(xù)有界,Kp(I-Q)N:X→Y是緊的;

2 主要結果

定理 1 假設存在常數 R∈(0,∞),函數 f:[0,

所以 y-y1∈ ImL,Y1∩ ImL={0},于是 Y= ImL⊕Y1。注意到 dimY1=1,co dim ImL=1。那么 L是一個指標為零的 Fredholm算子,因此條件 (H1)滿足。

定義投影算子 P:X→X和 Q:Y→Y分別為

備注 1 條件 (Ⅱ)和 (Ⅲ)不能被用于證明存在多個正解的充分性條件。

備注 2 如果投影算子 Px=x(0),那么定理1中就不能用于驗證條件 (H7)和 (H8)了。

下面給出一個例子來說明文中定理可行。

例 1 考慮邊值問題 (1)、(2),其中 f(t,x)定義為

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(編輯 王 冬)

Positive solutions ofnth-order multi-point boundary value problems at resonance

L IU B ingzhuo, CHE X iaofei
(College of Sciences,China University ofMining&Technology,Xuzhou 221116,China)

O175.8

A

1671-0118(2010)05-0395-04

2010-05-11

劉丙鐲 (1985-),男,山東省濟寧人,碩士,研究方向:常微分方程,E-mail:tuteng3839@163.com。