管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理系,江蘇泰州225300)

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理系,江蘇泰州225300)

不定方程;正整數(shù)解;整除;互素

1 引言及主要結(jié)論

L.J.M ordell[1]曾經(jīng)問:不定方程

的整數(shù)解怎樣?文[2]根據(jù)正負(fù)號(hào)的討論,把(1)化為如下三個(gè)求正整數(shù)解的方程:

并給出了(2)的全部正整數(shù)解的表達(dá)式.

下面給出定理1、定理2.

定理1 不定方程(3)的全部正整數(shù)解可表為

其中n,k,d為正整數(shù),滿足

定理2 不定方程(4)的全部正整數(shù)解可表為

其中n,k,d為正整數(shù),滿足

2 定理證明

先證定理1.

設(shè)w=n,x=n+k,z=y+t,則n,k,t均為正整數(shù).代入方程(3)得

即

要使關(guān)于y的二次方程(9)有整數(shù)解,其判別式Δ必須是完全平方數(shù).令

則

因正整數(shù)d|(n2(n+k)2-k),所以由(10)式[3-5]有

即

也為正整數(shù).

反之,(5)滿足(3),故(5)是(3)的全部正整數(shù)解.

再證定理2.

設(shè)w=n,x=n+k,z=y+t,則n,k,t均為正整數(shù).代入方程(4)得

即

要使關(guān)于y的二次方程(11)有整數(shù)解,其判別式Δ必須是完全平方數(shù).令

則

因正整數(shù)d|(n2(n+k)2-k),所以由(12)式[3-5]有

即

由k|(n2+d)知y為正整數(shù).因此

也為正整數(shù).

證畢.反之,(7)滿足(4),故(7)是(4)的全部正整數(shù)解.

3 應(yīng)用舉例

若w,x給定,則很容易根據(jù)公式(5)、(7)分別求出(3)、(4)的全部正整數(shù)解.

例 已知w=11,x=13,試分別求出(3)、(4)的全部正整數(shù)解.

解 由n=11,n+k=13知,k=2.因?yàn)?/p>

所以適合(6)的d只可能是1,7,23,127.代入(5)可得(3)的全部正整數(shù)解為(x,y,z, w)=(13,71,10152,11),(13,68,1389,11),(13,60,373,11),(13,8,9,11).又適合(8)的d只可能是1,7,23,127.代入(7)可得(4)的全部正整數(shù)解為(x,y,z,w)=(13,72, 10295,11),(13,75,1532,11),(13,83,516,11),(13,135,152,11).

[1]MordellLT.ResearchProblemb[J].CanadMathBull,1973,(17):149

[2]曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1989:77-79

[3]管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程z2+2(2xy)2=(x2-y2+2xy)2[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,25(01): 14-15

[4]管訓(xùn)貴.不定方程x2-py2=z2的正整數(shù)解[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,25(05):5-7

[5]管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程x2+(p-1)y2=pz2[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,26(01):12-14

[責(zé)任編輯:劉守義]

A Note on Indefin ite Equation++++=0

GUAN Xun-gui
(Department of Mathematics&Physics,Taizhou No rmal College,Taizhou 225300,Jiangsu,China)

indefinite equation;positive integral solution;exact dividing;p rime to each other

O 156.7

A

1673-1492(2010)04-0011-03

來稿日期:2 01 0-0 3-24

管訓(xùn)貴(1963-),男,江蘇興化人,泰州師范高等專科學(xué)校數(shù)理系副教授.