趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇 蘇州 215104)

六階微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界

趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇 蘇州 215104)

考慮六階微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界估計(jì)。利用試驗(yàn)函數(shù)，Rayleigh定理，分部積分和Schwartz不等式等估計(jì)方法與技巧，獲得了用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的上界的不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的度量無(wú)關(guān)。其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在常微分方程的研究中起著重要的作用。

六階微分系統(tǒng);特征值;特征向量;上界

1 主要結(jié)果

設(shè)(a，b)?R是一個(gè)有界區(qū)間，考慮如下微分系統(tǒng)的特征值估計(jì)問(wèn)題。其中sji(x)(i，j=1，2)，設(shè)任意ξ=(ξ1ξ2)T，滿足

其中μ1，μ2，v1，v2為正實(shí)數(shù)。

把問(wèn)題(1)寫(xiě)成矩陣形式，設(shè)

將問(wèn)題(1)化為如下等價(jià)的矩陣形式：

單個(gè)六階微分方程問(wèn)題(1)的特征值估計(jì)已獲得一些結(jié)果［1-2］。在本文中，考慮六階微分系統(tǒng)并且左端的導(dǎo)數(shù)比右端的導(dǎo)數(shù)階數(shù)恰好高4階的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題將文獻(xiàn)［1］和［2］推廣到方程組的情形。運(yùn)用文獻(xiàn)［3］中的方法，并且對(duì)其方法加以改進(jìn)，對(duì)于問(wèn)題(1)獲得了用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的上界的不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的度量無(wú)關(guān)。其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在常微分方程的研究中起著重要的作用［4］。

定理 設(shè)λ1，λ2是問(wèn)題(1)的兩個(gè)第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，則有

2 定理的證明

設(shè)λ1是問(wèn)題(4)的第一特征值，相應(yīng)于λ1的特征向量函數(shù)為u1，簡(jiǎn)記u=u1，且滿足

利用分部積分和(6)，得

利用分部積分和(7)，有

利用(2)和(8)，得

利用(3)和(7)，有

設(shè)

利用分部積分，直接計(jì)算得

利用(12)知，φ與u廣義正交，且滿足

利用Rayleigh定理，成立著

計(jì)算得

利用分部積分和φ(x)=(x-t)u，有

即

結(jié)合式(14)和(15)，得

設(shè)

利用(16)，有

利用(13)和(17)，成立

引理1 設(shè)u是問(wèn)題(4)所對(duì)應(yīng)第一特征值λ1的特征向量函數(shù)，則

證 利用分部積分，Schwartz不等式，(9)和(10)，得

引理2 設(shè)u是問(wèn)題(4)所對(duì)應(yīng)第一特征值λ1的特征向量函數(shù)，則，

證 對(duì)于(a)，利用(2)和引理1，得

對(duì)于(b)，利用(2)、(9)、(10)和Schwartz不等式，有

引理3 設(shè)λ1是問(wèn)題(4)的第一特征值，則

證 利用分部積分、S(x)的對(duì)稱性和φ(x)=(x-t)u，得

類似地，可以得到

利用(19)、(20)和(21)，有

利用(22)和引理2，得

引理4 對(duì)于φ與λ1，有下列不等式成立

證 利用分部積分和φ(x)=(x-t)y，得

利用(24)，有

利用(10)和(25)，得

利用(26)、(3)、引理1和Schwartz不等式，得

整理上式，可得引理4。

定理的證明：利用引理3，引理4和(19)，得到

即得到定理的(5)。

［1］ 趙曉蘇，錢椿林.六階常微分方程廣義第二特征值的上界估計(jì)［J］.長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2009(6)：52-54.

［2］ 韓秋敏，錢椿林.六階某類微分方程第二特征值的上界［J］.蘇州大學(xué)學(xué)報(bào)，1999(3)：26-30.

［3］ G.N.Hile，R.Z.Yen.Inequalities for eigenvalue of the Biharmonic operator［J］.Pacific J.Math，1984(1)：115-133.

［4］ M.H.Protter.Can one hear the shape of a drum［J］.SIAM Rev，1987(1)：185-197.

責(zé)任編輯：鐘 聲

The upper bound estimation of second eigenvalue for six-order differential system with weight

ZHAO Xiao-su，QIAN Chun-lin
(Fundamental Department，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper considers the upper bound estimation of second eigenvalue for six-order differential system with weight.The inequality of upper bound estimation with second eigenvalue is estimated from the first eigenvalue by using test function method，Rayleigh theorem，partial integration and Schwartz inequality.The estimation coefficients do not depend on the measure of the domain.This kind of problem plays an important role in the theory of differential equations and the application in mechanics and physics.

six-order differential system;eigenvalue;eigenvector;upper bound

O175.1

A

1009-3907(2010)08-0010-04

2010-04-16

蘇州市職業(yè)大學(xué)基金資助項(xiàng)目(SZD07W61)

趙曉蘇(1962-)，女，江蘇蘇州人，講師，主要從事算子特征值估計(jì)方面研究。

錢椿林(1943-)，男，江蘇蘇州人，教授，主要從事算子特征值估計(jì)方面研究。