李 多,景紅梅,平 澄,周 靜

(北京師范大學(xué)物理系,北京100875)

六角孔的夫瑯禾費衍射場的實驗演示

李 多,景紅梅,平 澄,周 靜

(北京師范大學(xué)物理系,北京100875)

采用一維光柵疊加和傅里葉變換對二維矩形光柵構(gòu)成的矩孔衍射屏進(jìn)行了分析計算,給出了衍射場光強分布的解析解和數(shù)值模擬結(jié)果.將內(nèi)部具有3個不同取向的光柵的六角孔衍射屏看作是由3個不同方向一維光柵的疊加,對構(gòu)造出的衍射屏進(jìn)行快速傅里葉變換,得到該衍射屏的夫瑯禾費衍射場分布.結(jié)果表明,單個六角孔的衍射場僅在衍射場中心處有一亮斑,衍射光強在3個受限方向有展開,演示觀察效果不明顯;內(nèi)部具有光柵結(jié)構(gòu)的六角孔的衍射場能明顯地反映出六角孔的形狀和衍射光強在3個受限方向的展開,演示效果明顯.

光柵;夫瑯禾費衍射;傅里葉變換

1 引 言

光的衍射是光學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容,做好衍射演示實驗、觀察各種不同衍射屏的衍射現(xiàn)象是學(xué)生理解光的衍射現(xiàn)象的重要途徑.在演示實驗中學(xué)生希望既能看到衍射場的分布,又能看到衍射孔的形狀,從而加深對衍射規(guī)律的理解.但是經(jīng)常遇到的問題是:當(dāng)衍射孔的線度在肉眼可觀察的量級(mm)時,其衍射場分布將集中在場中央,很難直接看到條紋分布;而當(dāng)衍射場的條紋分布可直接觀察時,其所對應(yīng)的衍射孔的線度將小于10-1mm量級,很難看出孔的形狀,因而達(dá)不到演示實驗的預(yù)期效果.為了解決這類問題,可以在大衍射孔(mm量級)中加入微結(jié)構(gòu),例如在PASCO的光學(xué)衍射實驗系統(tǒng)中,有一種衍射屏用肉眼看是六角形的孔,用電子顯微鏡觀察時,發(fā)現(xiàn)在六角形的孔內(nèi)還有規(guī)則排列的光柵結(jié)構(gòu).使用這樣的衍射屏進(jìn)行演示實驗,可以直接看到六角孔的形狀及其衍射條紋分布.本文對二維矩形光柵構(gòu)成的矩孔衍射屏進(jìn)行了分析計算,然后采用快速傅里葉變換的方法分析計算了內(nèi)部具有三角光柵的六角孔的衍射場分布,并與單個六角孔的衍射場進(jìn)行了比較,結(jié)果表明內(nèi)部具有光柵結(jié)構(gòu)的六角孔的衍射場分布觀察效果比單個六角孔的觀察效果明顯.

2 二維矩形光柵構(gòu)成的矩孔衍射屏的夫瑯禾費衍射

如圖1所示的二維矩形光柵可以看成是二維矩形光柵構(gòu)成的矩孔衍射屏,在分析其衍射場分布時,可將其看成是由x和y方向的一維光柵的疊加,由衍射理論可知[1],平行光入射時,其衍射的強度分布為

圖1 二維矩形光柵構(gòu)成的矩形衍射屏

光波在x和y方向上受限,所以衍射圖樣沿x和y方向展開.

觀察屏上得到的衍射圖樣如圖2所示.

圖2 數(shù)值計算得到的二維矩形光柵構(gòu)成的矩孔衍射屏的夫瑯禾費衍射條紋

3 內(nèi)部具有光柵的六角孔的夫瑯禾費衍射的理論分析

內(nèi)部具有光柵的六角孔衍射屏見圖3,六角孔邊長為0.69 mm,光柵常量為0.08 mm.仿照二維矩形光柵組成的矩孔衍射屏,可看成是沿3個方向的一維光柵的疊加,原理與前一種情況相同.這時,光波在3個方向上受限,衍射圖樣沿3個方向展開.衍射場的分布可由基爾霍夫衍射積分計算得出,由傅里葉光學(xué)理論知[2],平行光垂直入射時,對于遠(yuǎn)場的夫瑯禾費衍射,基爾霍夫積分可簡化為衍射屏的透過率函數(shù)的傅里葉變換.

圖3 內(nèi)部具有三角光柵的六角孔衍射屏的電鏡片

建立坐標(biāo)系,x沿水平方向,y沿豎直方向,則沿著3個方向的光柵的透過率函數(shù)分別用t1(x,y),t2(x,y),t3(x,y)表示,則

其中,d是光柵常量,L為六角孔的邊長,N為光柵縫數(shù).3個方向光柵的傅里葉變換分別為

其中,F(·)表示傅里葉變換,N為光柵縫數(shù),fx和fy分別為x和y方向的空間頻率.根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)可知[2-3],內(nèi)部具有三角光柵的六角孔衍射屏的衍射光場分布為

(8)式為內(nèi)部具有三角光柵的六角孔衍射屏的衍射光場分布的解析表達(dá)式.進(jìn)行數(shù)值模擬時,先用3個光柵構(gòu)成六角結(jié)構(gòu),如圖3所示,然后再對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行快速傅里葉變換,得到其在觀察屏上的光強分布,如圖4所示.

圖4 計算得出的六角結(jié)構(gòu)的衍射場分布

由圖4可以看出,內(nèi)部具有三角光柵的六角孔衍射屏的衍射光強分布既能看出明顯的六角結(jié)構(gòu),又能反映出光強在3個受限方向的展開,演示效果明顯.

單個六角孔的衍射屏如圖5所示,其大小與圖4中的角光柵的六角孔衍射屏相同.對其進(jìn)行快速傅里葉變換,可得單個六角孔的衍射場分布,如圖6所示,(b)為(a)中方框內(nèi)的放大圖.

圖5 單個六角孔衍射屏

4 內(nèi)部有三角光柵的六角孔的實驗結(jié)果

采用圖7光路圖,用氦氖激光做光源,透鏡L1的焦距是10 cm,去掉了透鏡L2,將接收屏遠(yuǎn)離衍射屏放置,接收屏與衍射屏距離為150 cm,滿足夫瑯禾費衍射條件,用canon IXUS 850IS數(shù)碼相機(jī)直接拍攝接收屏上的衍射圖樣.

圖7 夫瑯禾費衍射光路

圖6 計算得出的單個六角孔的衍射場分布

由圖6可看出,單個六角孔的衍射光強分布只有光強在3個受限方向的展開,沒有明顯的六角孔結(jié)構(gòu),演示效果不明顯.

實驗中采用的是圖3所示的衍射屏,圖8為用canon IXUS 850IS數(shù)碼相機(jī)直接拍攝接收屏上的衍射圖樣.

圖8 內(nèi)部具有三角光柵的六角孔的實驗結(jié)果

5 結(jié)束語

用3個一維光柵對內(nèi)部具有三角光柵的六角孔衍射屏進(jìn)行了構(gòu)造,然后對構(gòu)造出的衍射屏進(jìn)行快速傅里葉變換,得到該衍射屏的衍射場分布,并與單個六角孔的衍射場進(jìn)行比較.結(jié)果表明,單個六角孔的衍射場分布,僅在衍射場中心處有一亮斑且3個受限方向有展開,演示觀察效果不明顯,而內(nèi)部具有三角光柵的六角孔的衍射場分布,能明顯反映出六角孔的形狀和衍射在3個受限方向的展開,演示效果明顯.

[1] 姚啟鈞.光學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2] 顧德門J W.付里葉光學(xué)導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社,1976.

[3] 張潔天,嚴(yán)函斐,欒峰,等.二維快速Fourier變換及其在模擬光學(xué)現(xiàn)象中的應(yīng)用[J].物理實驗,1999, 19(6):6-10.

Demonstration experiment of Fraunhofer diffraction from a hexangular aperture

LI Duo,J ING Hong-mei,PING Cheng,ZHOU Jing

(Department of Physics,Beijing Normal University,Beijing 100875,China)

The diffraction screen of a two-dimensional rectangular grating is analyzed and calculated using one-dimensional grating superposition and Fourier transformation.The analytic solution and numerical simulation of the diffraction field are given.The hexangular aperture with three differently oriented gratings is treated as three one-dimension gratings.The constructed diffraction screen is transformed by FFT to obtain Fraunhofer diffraction pattern.The pattern can reflect the shape of hexangular aperture clearly and spread widely at three directions,showing obvious demonstration effect.In contrast,the diffraction pattern of simple hexangular aperture has only one bright spot in the center,and can spread at three limited directions,the demonstration effect is not apparent.

grating;Fraunhofer diffraction;Fourier transform

O436.1

A

1005-4642(2010)06-0005-03

[責(zé)任編輯:任德香]

“全國高等學(xué)校第9屆物理演示實驗教學(xué)研討會”論文

2009-08-28;修改日期:2009-11-02

教育部第二類特色專業(yè)建設(shè)項目(No.TS2072);北京市教育委員會共建項目專項

李 多(1972-),女,黑龍江伊春人,北京師范大學(xué)物理系高級實驗師,碩士,從事普通物理實驗教學(xué)工作.

景紅梅(1971-),女,山西太原人,北京師范大學(xué)物理系副教授,博士,從事光學(xué)信息處理研究工作.