李洪梅

(泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東泰安 271021)

二階奇異邊值問(wèn)題正解的存在性

李洪梅

(泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東泰安 271021)

討論奇異邊值問(wèn)題u"+f(t,u)=0,αu(0)-βu’(0)=0,γu(1)+δu’(1)=0正解的存在性.通過(guò)使用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理得出一個(gè)和多個(gè)正解的存在性.

奇異邊值問(wèn)題;正解;不動(dòng)點(diǎn)定理

0 引言

本文考慮二階奇異邊值問(wèn)題

現(xiàn)在這方面的文章相對(duì)較多,例如文獻(xiàn)[1-2].其中文獻(xiàn)[1]是利用范數(shù)形式的錐拉伸和壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理得出存在性,文獻(xiàn)[2]在極限條件和可積條件下得出結(jié)論.本文利用另外的錐上不動(dòng)點(diǎn)定理建立了邊值問(wèn)題存在多個(gè)正解的充分條件.我們的結(jié)論推廣并豐富了文獻(xiàn)[1-2]的主要結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)和引理

設(shè)E是實(shí)Banach空間,P是E中的錐,P導(dǎo)出E中的半序,即:x≤y?y-x∈P.

進(jìn)一步,對(duì)t:θ≤t≤1-θ有

引理3[4]設(shè)K是實(shí)Banach空間E中的錐,是全連續(xù)算子.假定下列條件成立:

注1 如果(a)在?Kr上成立,且(b)在?KR上成立,則結(jié)論仍然成立.

2 正解的存在性

定理1 假設(shè)存在兩個(gè)不同的正常數(shù)λ和η,使得

那么,邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)解u(t)介于λ和η之間.

對(duì)(8)式,分兩種情況討論:

注2 推論1包含f是超線性和次線性的情形.

3 多個(gè)正解的存在性

定理2 假設(shè)存在λ>0,使得條件(h1)成立,且滿足下列條件

故由定理1知,存在兩個(gè)解u1,u2,使得0<λ1‖u1‖<λ<‖u2‖<λ2.

定理3 假設(shè)存在η>0,使得條件(h2)成立,且滿足條件

那么邊值問(wèn)題(1)至少存在兩個(gè)解u1,u2,使得0<‖u1‖<η<‖u2‖.

定理4 假設(shè)條件(H1),(H2)成立,且存在常數(shù)0<λ1<λ2使得條件(h1)對(duì)于λ=λ2(或λ=λ1)成立,條件(h2)對(duì)于η=λ1(或η=λ2)成立,那么邊值問(wèn)題(1)至少存在三個(gè)正解u1,u2,u3,滿足

定理3、定理4的證法與定理2,推論1的證法類似,從略.

注3 由定理2-定理4可見(jiàn),當(dāng)條件(h1),(h2),(H1),(H2)適當(dāng)組合,我們可以得到邊值問(wèn)題(1)存在任意多個(gè)正解,具體地說(shuō),我們有

定理5 令n=2k+1,k∈N,假設(shè)(H1),(H2)成立,并存在常數(shù)0<λ1<λ2<…<λn-1,使得條件(h2) (或(h1))對(duì)于λ2i-1,1≤i≤k成立,條件(h1)(或(h2))對(duì)于λi2,1≤i≤k成立,那么邊值問(wèn)題(1)至少存在n個(gè)正解u1,u2,…,un,滿足0<‖u1‖<λ1<‖u2‖<λ2<…<‖un-1‖<λn-1<‖un‖.

定理6 令n=2k,k∈N,假設(shè)(9),(10)成立,并存在常數(shù)0<λ1<λ2<…<λn-1,使得條件(h1)(或(h2))對(duì)于λ2i-1,1≤i≤k成立,條件(h2)(或(h1))對(duì)于λ2i,1≤i≤k成立,那么邊值問(wèn)題(1)至少存在n個(gè)正解u1,u2,…,un滿足0<‖u1‖<λ1<‖u2‖<λ2<…<‖un-1‖<λn-1<‖un‖.

[1]馬如云.奇異二階邊值問(wèn)題的正解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1998,41(6):1225-1230.

[2]李仁貴,劉立山.二階奇異非線性微分方程邊值問(wèn)題的正解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2001,22(4):435-440.

[3]JunyuW ang.Theexistenceofpositive solutions for theone-dim ensionalp-lap lacian[J].Proceedingsof theAm ericanM athem aticalSociety,1997,125(8):2275-2283.

[4]Am ann H.Fixed po intequations and nonlinear eigenvalue p roblem s in o rdered Banach spaces[J].SIAM Rev,1976,18(4):620-709.

The Ex istence of Positive Solu tion s for Second O rder Singu lar Boundary Va lue Prob lem s

L IHong-m ei
(Schoo lofM athem atics and System s Science,Taishan University,Tai’an,271021,China)

Thispaper discussed the existence ofpositive so lutions for singu larboundary value p rob lem sof the form u"+f(t,u)=c,αu(0)-βu’(0)=0,γu(1)+δu’(1)=0.Them u ltip licity of positive so lutions is estab lished by using fixed point theorem in cones.

singu lar boundary value p rob lem;positive so lution;fixed point theo rem

O175.8

A

1672-2590(2010)03-0022-04

2010-03-25

李洪梅(1982-),女,山東泰安人,泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院助教.