李素艷,李詠梅

(1.泰山學院物理與電子工程學院,山東泰安 271021;2.濟寧學院物理與信息工程系,山東曲阜 273155)

一維反鐵磁海森堡系統(tǒng)的磁化強度

李素艷1,李詠梅2

(1.泰山學院物理與電子工程學院,山東泰安 271021;2.濟寧學院物理與信息工程系,山東曲阜 273155)

利用數(shù)值密度矩陣重正化群方法研究了一維反鐵磁海森堡系統(tǒng)的磁化曲線,分析了不同阻挫時的磁化特性,著重描述了磁化曲線中出現(xiàn)的中場尖奇點,并分析其產(chǎn)生機理.

密度矩陣重正化群;海森堡系統(tǒng);磁化曲線;中場尖奇點

0 引言

傳統(tǒng)數(shù)值重正化群(RG)方法是由W ilson在求解近藤(Kondo)問題時提出的[1],它克服了完全對角化方法的局限性,但由于假定只有最低“塊”本征態(tài)與最終(無限)系統(tǒng)的基態(tài)有關,故對邊界條件處理不理想.W hite進而提出了密度矩陣重正化群(DMRG)方法[2-3],該方法是用密度矩陣的本征態(tài)代替以往直接使用“小塊”哈密頓量的本征態(tài)作為保留態(tài).對一維和準一維問題,這種方法得到的結果相當準確.同時,相對于嚴格對角化方法,可以完成大尺寸系統(tǒng)的計算.鑒于以上優(yōu)點,密度矩陣重正化群方法現(xiàn)已被證明是研究一維和準一維量子系統(tǒng)的有力工具.

1 密度矩陣重正化群算法

密度矩陣重正化群算法如下[4]:

(1)構造4個初始“塊”,第一(左邊)“塊”包含一個或多個格點,第二、第三“塊”由單個格點組成,第四(右邊)“塊”是第一“塊”的空間反射.

(2)構造超級“塊”的哈密頓矩陣Hsuper.

(3)通過稀疏矩陣對角化方法如Davidson[5]或Lanczos算法[6](本文應用Lanczos算法)對角化Hsuper得到靶態(tài)ψ即超級“塊”的基態(tài).

(5)對角化ρ得到所有本征矢vα及本征值aα,保留m個最大的本征值及相應的本征矢,其余舍去.

(6)對兩“塊”系統(tǒng)的活躍(位于端點處的)自旋算符構造矩陣表象.

(7)利用方程H1’=OH12OT將基變?yōu)関α,產(chǎn)生新“塊”1.同樣變換步驟6中的算符.

(8)用新“塊”1代替舊“塊”1,新“塊”1的反射代替舊“塊”4.

(9)回到步驟2,重復以上步驟直到收斂.

密度矩陣重正化群方法結構見圖1,在每一次迭代中,超級“塊”增加兩個格點,而基態(tài)數(shù)不變.計算出的性質收斂到其熱力學極限值.

圖1 密度矩陣重正化群方法結構示意圖

以上算法的關鍵步驟在于超級“塊”哈密頓量的存儲及對角化.顯然,矩陣Hsuper由(4m2)2個元素構成.幸而大部分矩陣元為零,僅需存儲不為零的矩陣元.另外,“塊”對角化的矩陣可以一“塊”一“塊”地對角化,從而比一次對角化整個矩陣節(jié)省CPU.本文中計算磁化曲線,我們僅計算對應于某特定磁化強度的最低的能量,這樣每次只需考慮對應于該磁化強度的矩陣元.

以上算法為無限大小算法,超級“塊”隨每一次迭代而增加,故一般用以計算熱力學極限時的量.該算法可被擴展提高其精確度以計算固定長度L的有限系統(tǒng).首先我們應用無限大小算法直到超級“塊”達到所需長度L.在之后的迭代中由兩個長度不同的次級“塊”生成一個具有固定長度的超級“塊”.如果左邊“塊”代表一個L’格點的系統(tǒng)(這里我們選L’=L/2),加上兩個格點,再與一個L-L’-2格點“塊”(無限大小方法得到的L-L’-2格點“塊”的反射)連接就構成一個超級“塊”.該L-L’-2格點系統(tǒng)的哈密頓矩陣及每個必須的算符都來自于前一迭代.每一步中,我們構造L格點超級“塊”,而次級“塊”的大小從長度Lmin變到L-Lmin-2.該過程經(jīng)過迭代,左邊次級“塊”增大,右邊次級“塊”取自前面的迭代.

密度矩陣重正化群方法的總體誤差取決于每次迭代保留的態(tài)數(shù)及系統(tǒng)大小.另外還取決于研究的模型,特別是相互作用范圍及邊界條件.當重正化“塊”與超級“塊”其余部分間的連接最小化時,精確度最高.在無限大小算法中,該誤差源于超級“塊”的其余部分,即反射“塊”被假定代表無限鏈的其余部分.自由邊界條件時得到的結果優(yōu)于周期性邊界條件的結果,原因在于周期性邊界條件時“塊”與反射“塊”間有兩個連接,而自由邊界條件時只有一個連接.

無限大小方法中,在迭代的固定點,“塊”B代表無限鏈的一半.通常從中得到的有限鏈結果是有用的,但這樣得到的結果不是十分準確.原因在于最初所用密度矩陣是從非常小的晶格中得到的.另外,有限大小方法適用于有限系統(tǒng).通過有限大小方法,初始誤差被隨后的掃描減小.

2 磁化曲線

圖3 E-H曲線

易發(fā)現(xiàn)E(M)-E(M?1)=±H.

故對給定的M,我們有H=E(M)-E(M-1),或H=E(M+1)-E(M).

對每個磁化強度M,存在著相應的外場,連接這些點可得到M-H曲線.計算對磁化強度為M的L格點系統(tǒng)的最低能量E(M),繼而通過確定E(M)與E(M±1)的水平交點即可得到磁化曲線.

3 結果與分析

AF自旋鏈的磁化過程表現(xiàn)出各種類相變特性:伴隨著間隙激發(fā)(激發(fā)間隙∝Hc)或飽和磁化(在飽和場Hs)的臨界現(xiàn)象以及相變.在M-H曲線上還存在著中場尖奇點.尖奇點出現(xiàn)于中場區(qū)H=Hcusp處,其中Hc

圖4 20格點AF鏈M-H曲線

在圖4中,我們得出一個20格點AF自旋鏈的M-H曲線,其中α分別為0,0.25,0.35.從圖中我們可以清楚地看見M-H曲線在三個不同阻挫的大體輪廓.可以觀察到α=0的平方根特性,以及α= 0.25的四次方根特性.對α=0.35,可以看到在H接近于2.0處有一個尖.

在αc≈0.241167的地方有相變產(chǎn)生.當α<αc時,基態(tài)是無間隙的自旋流體相.當α>αc時,基態(tài)變成具有一定間隙的d im er相.自旋流體相和dim er相在長程有序上的區(qū)別對M(α,H)磁化曲線有明顯影響.

由上圖及其他參考文獻中可知α=0.1,0.2及0.25在中場區(qū)域沒有反常結構.α=0.35,0.4及0.5的M-H曲線在H接近于飽和場的地方有中場尖奇點.Okunishi證明對α=0.6,零溫M-H曲線有兩個中場尖奇點.另外,我們發(fā)現(xiàn)盡管阻挫不同,飽和場卻彼此接近.原因在于一個具有一維AF競爭性近鄰及次近鄰系統(tǒng)相互作用系統(tǒng)的飽和場主要由最近鄰決定.Tonegw a與Harada計算了具有反鐵磁近鄰及次近鄰相互作用的一維各向同性自旋1/2海森堡AF的飽和場.根據(jù)他們的結果,次近鄰相互作用對飽和場的修正非常小,即便是在象R iera和Dobry的計算中,次近鄰相互作用相當大時也是如此.然而,對一個具有近鄰和次近鄰相互作用的自旋-佩爾斯系統(tǒng),如果沒有令人滿意的磁化曲線理論,僅靠當前的實驗數(shù)據(jù)很難對次近鄰相互作用做定量的估計.

我們還發(fā)現(xiàn)對小的阻挫,在對小外場M和H之間存在線性關系.對α≥0.5,不消失的磁化強度要求外場超過臨界值HC(α).

已經(jīng)證實Z字形鏈當改變α時具有有趣的M-H曲線.這是什么導致的呢?Okunishi認為這個問題可以當作一個無自旋費米氣體來處理,其中費米子相當于鐵磁背景下翻轉的自旋.

接近于Hs處,α≤0.25的系統(tǒng)是費米液體.因此對α>0.25,我們預期系統(tǒng)將繼續(xù)表現(xiàn)為費米液體.定性地分析,費米液體特征也能成功地解釋M-H曲線,尤其是中場尖奇點的出現(xiàn).定量地討論,卻出現(xiàn)了與α≤0.25時重要的不同.該系統(tǒng)成為兩種成分的液體,每部分由極小值周圍的模組成.這樣一個相關多組分系統(tǒng)可能表現(xiàn)為非費米液體,或Tomonaga-Lu ttinger(TL)液體,它的典型例子是Hubbard鏈.

4 小結

以上我們研究了一維反鐵磁系統(tǒng)的零溫磁化過程(M-H曲線).該磁化過程展示出各種相變特性.接近飽和場,對α>0.25存在中場尖奇點,可觀察到相關的雙組分TL液體特性,該處元激發(fā)色散曲線是雙阱曲線.在α=0.25,M-H曲線表現(xiàn)為△M～(H-Hs)1/4與α<0.25時的平方根行為不同.存在中場尖奇點的本質機制在于低激發(fā)態(tài)能量的多極小值結構.

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M agnetization of 1-d AF Heisenberg System

L ISu-yan1,L IYong-m ei2
(1.Schoo lof Physicsand E lectronic Engineering,Taishan University,Tai’an,271021;
2.Departm entof Physicsand Info rm ation Engineering,Jining University,Qufu,273155,China)

Them agnetization of1-d AFHeisenberg system was studied using the num ericalDensityM atrix Reno rm alization Group(DMRG)technique.Them agnetization curves at d ifferent frustration were analyzed.In particu lar,them idd le field cusp singu larity appears in them agnetization curveswas described.

Density M atrix Reno rm alization Group;Heisenberg system;m agnetization curve;m idd le field cusp singu larity

O482.5

A

1672-2590(2010)03-0060-05

2010-04-07

李素艷(1974-),女,山東泰安人,泰山學院物理與電子工程學院講師.