尹燕梅,謝樹(shù)森

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

對(duì)稱正則長(zhǎng)波方程的廣義差分法

尹燕梅,謝樹(shù)森

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

本文考慮求解對(duì)稱正則長(zhǎng)波方程初邊值問(wèn)題的廣義差分法,通過(guò)對(duì)原始方程的等價(jià)變分形式進(jìn)行廣義差分離散,給出全離散差分格式的誤差估計(jì),證明了格式保持原始方程所具有的守恒律,并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證方法的有效性。

對(duì)稱正則長(zhǎng)波方程;廣義差分法;誤差估計(jì);守恒律;數(shù)值實(shí)驗(yàn)

0 引言

對(duì)稱正則長(zhǎng)波(SRLW)方程

為正則長(zhǎng)波(RLW)方程的一種對(duì)稱描述,用于描述弱非線性等離子聲波和空間電荷波的傳播[1],由(1)式消去ρ,得到一類正則長(zhǎng)波方程:

關(guān)于SRLW方程的定解問(wèn)題適定性及數(shù)值方法已有了一些相應(yīng)的研究,文獻(xiàn)[2]為SRLW方程的擬緊致守恒差分逼近,文獻(xiàn)[3]運(yùn)用Legendre和Chebyshev擬譜方法對(duì)SRLW方程進(jìn)行了分析,文獻(xiàn)[4]給出了SRLW方程的顯式精確解析解,文獻(xiàn)[5]對(duì)SRLW方程提出了保持能量守恒的差分格式,另有文獻(xiàn)研究了RLW方程組整體解的存在性和爆破現(xiàn)象及SRLW方程孤立波的軌道穩(wěn)定性及不穩(wěn)定性等問(wèn)題。

廣義差分法作為求解偏微分方程的新技術(shù),自被提出以來(lái)日益受到重視。1978年,李榮華教授利用有限元空間和對(duì)偶單元上特征函數(shù),將積分插值法改寫(xiě)成廣義Galerkin法形式,將規(guī)則網(wǎng)格差分法推廣為廣義差分法(Generalized Difference Methods)。在近幾十年里,李榮華教授和其他一些學(xué)者對(duì)廣義差分法的理論和應(yīng)用作了廣泛而深入的研究工作,已建立了相當(dāng)系統(tǒng)完整的理論。該方法是利用在對(duì)偶剖分體積單元上積分原始方程,并將近似解限制在某一有限元空間而得到的一種方程離散方法,由于它能夠很好地在局部區(qū)域上保持原始方程的物理守恒性和其它重要特性,從而被廣泛地應(yīng)用于求解數(shù)學(xué)物理方程,文獻(xiàn)[5-6]對(duì)該方法有較為詳細(xì)的介紹。由于其與有限差分法和有限元法相比,既有前者的計(jì)算簡(jiǎn)單性,又兼顧后者的精度,從而可以在保證精度的情況下,有效的減少計(jì)算量,廣義差分法的應(yīng)用日益廣泛,如文獻(xiàn)[6-11]結(jié)果均體現(xiàn)出該方法的優(yōu)越性,但對(duì)于SRLW方程的研究尚不多見(jiàn)。

本文在空間區(qū)間I=[a,b]和時(shí)間域[0,T]上考慮SRLW方程的初邊值問(wèn)題

1 廣義差分格式

用Hm表示I=[a,b]上的m階Sobelev空間, (·,·)表示L2上的內(nèi)積,‖·‖m表示Hm上相應(yīng)范數(shù),記‖·‖0=‖·‖,U=H2∩H10(I),并假定問(wèn)題(3)有唯一解。

對(duì)區(qū)間I=[a,b]進(jìn)行剖分,定義原始剖分為T(mén)h,節(jié)點(diǎn)為

記hi=xi-xi-1,=(hi+hi+1)/2,h=max{hi; 1≤i≤J},并假定剖分是正則的,記Th={Ii;Ii= [xi-1,xi],1≤i≤J}。

定義相應(yīng)的對(duì)偶剖分為T(mén)h＊,節(jié)點(diǎn)為

取試探函數(shù)空間Uh?H10(I)為定義在Th上的分片線性有限元空間,基函數(shù)記為φi(x),1≤i≤J-1。取檢驗(yàn)函數(shù)空間Vh=span{ψi(x),1≤i≤J-1}?L2(I)為定義在T＊h上的分片常函數(shù)空間。顯然, dimUh=dimVh=J-1。

定義記號(hào):a(u,v)=(ux,vx),b((u2)t,v)= ((u2)t,vx)。于是,問(wèn)題(3)相應(yīng)的弱形式為:求u(t): [0,T]→H10(I),?v∈H10(I),使

2 誤差估計(jì)

定義如下離散范數(shù):?uh∈Uh,

3 差分格式的守恒律

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表1 數(shù)值解在T時(shí)刻的誤差(L∞-范數(shù))Table 1 Numerical errors at timeT(L∞-Norm)

表2 能量守恒律模擬Table 2Simulation of energy conservation laws

表1給出不同時(shí)刻,不同步長(zhǎng)的誤差,可以看出誤差關(guān)于空間和時(shí)間步長(zhǎng)是二階精度。

表2給出不同時(shí)刻的能量近似值,驗(yàn)證了離散能量滿足守恒律。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文的格式是有效的,且保持能量守恒律,由于計(jì)算時(shí)只需要解3對(duì)角方程組,所用時(shí)間較少。

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Abstract: In this paper,we analyze the generalize difference method for the initial boundary value problems of the symmetric regularized long wave equations and derived the error estimate for the full discrete difference scheme.We prove that the scheme proposed in this paper is conservative and provide a numerical experiment to confirm our theoretical findings.

Key words: symmetric regularized long wave equations;generalized difference method;error estimate; conservation laws;numerical experiment

AMS Subject Classification: 65C20

責(zé)任編輯 朱寶象

The Generalized Difference Scheme for the Symmetric Regularized Long Wave Equations

YIN Yan-Mei,XIE Shu-Sen
(School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

O241.82

A

1672-5174(2010)09Ⅱ-235-04

2010-04-20;

2010-05-24

尹燕梅(1984-),女,碩士生。E-mail:yinyanmei07@sina.com