馮靜,趙俊波,陶然

(1.鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,鄭州 450001;2.鄭州交通職業(yè)學(xué)院,鄭州 450062)

0 引言

在車削加工中,經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生振動(dòng),而振動(dòng)產(chǎn)生的原因非常復(fù)雜,振動(dòng)不僅惡化加工表面的質(zhì)量,縮短了刀具和機(jī)床的壽命,尤其是共振時(shí),使加工根本無(wú)法進(jìn)行.通過(guò)建立車削系統(tǒng)的振動(dòng)模型,研究車削過(guò)程中的振動(dòng)及其穩(wěn)定性,可以為工程中的應(yīng)用提供一定的參考依據(jù)[1]。

車削過(guò)程是一個(gè)非常復(fù)雜的動(dòng)態(tài)切削過(guò)程。在這個(gè)動(dòng)態(tài)切削過(guò)程中,切削力和系統(tǒng)剛度都存在一定的變化規(guī)律。此處我們簡(jiǎn)化車削系統(tǒng)模型為單自由度,考慮了剛度的非線性變化,分析了該簡(jiǎn)化系統(tǒng)在切削過(guò)程的穩(wěn)定性?；谏鲜鰞?nèi)容,本文建立了車削系統(tǒng)單自由度非線性振動(dòng)模型,并考慮其非線性剛度,應(yīng)用 Matlab數(shù)值仿真程序分析了該系統(tǒng)的非線性振動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題。

1 建立該系統(tǒng)的力學(xué)模型

圖 1所示分別為一個(gè)單自由度車削系統(tǒng)及其簡(jiǎn)化力學(xué)模型。其中 m為無(wú)彈性的等效質(zhì)量,k為無(wú)質(zhì)量等效彈簧剛度,c為等效阻尼。x(t)為系統(tǒng)振動(dòng)位移,F(t)為切削過(guò)程中的激振力。為分析簡(jiǎn)便起見(jiàn),通常將激振力看成服從簡(jiǎn)諧規(guī)律的交變力。

圖 1 單自由度車削系統(tǒng)的加工模型和力學(xué)模型

不考慮作用在物體上的重力 mg時(shí),該系統(tǒng)的振動(dòng)方程可以表達(dá)為：

式中,mx為慣性力,方向與位移方向一致;(k1+k2x2)x為彈簧的恢復(fù)力,方向與位移方向相反;(c1+c2x2)x﹒為粘性阻尼力,其數(shù)值與物體的速度成正比,方向與位移方向相反;F即為背向力Fy,處于極面內(nèi)并與工件軸線垂直,正是由于背向力的存在,才使工件在切削過(guò)程中產(chǎn)生了振動(dòng),直接影響工件的加工精度和表面粗糙度。實(shí)際工程計(jì)算中,背向力的計(jì)算仍以采用經(jīng)驗(yàn)公式為主[2]：

式中,ap—背吃刀量,單位 mm;f—進(jìn)給量,單位 mm;v—切削速度,單位 m/s。

實(shí)驗(yàn)條件為：工件材料為 45鋼,工件質(zhì)量 m=3.77kg,當(dāng) ap=0.3mm,f=0.78mm,v=76m/min時(shí),計(jì)算出 Fy=301.6N。

2 數(shù)值仿真及計(jì)算結(jié)果分析

設(shè) x=x1,x﹒=x2,則非線性振動(dòng)系統(tǒng)的方程可改寫為狀態(tài)方程的形式：

其中該系統(tǒng)的固有頻率為wn=1310rad/s,為了更好地對(duì)激振頻率 ω接近于固有角頻率 ωn,以及在固有頻率附近變動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,在 Matlab中采用龍格庫(kù)塔法對(duì)上式編程進(jìn)行求解繪圖,可得到系統(tǒng)的分岔圖和頻率譜圖如圖 2所示。

圖 2 系統(tǒng)的分岔圖和頻率譜圖

由以上分叉圖可以看出角速度ω在1300左右出現(xiàn)分岔,說(shuō)明在此處附近存在混沌或非線性振動(dòng),依圖選取ω等于 1550rad/s,1320rad/s,950rad/s,500rad/s,280rad/s可計(jì)算得出相應(yīng)相圖和龐加萊截面如圖3～7。

由圖 3知,當(dāng) ω=1550rad/s時(shí),系統(tǒng)處于倍周期運(yùn)動(dòng),但相圖中反映的運(yùn)動(dòng)是趨于一個(gè)極限環(huán)的,即魯棒穩(wěn)定,其 Poincare截面圖收斂于一環(huán)面,也反映了魯棒穩(wěn)定性。圖 4中轉(zhuǎn)速進(jìn)一步減小到ω=1320rad/s,因?yàn)榇藭r(shí)的激振頻率接近系統(tǒng)的固有頻率,所以系統(tǒng)出現(xiàn)局部混沌,其運(yùn)動(dòng)態(tài)是有一定厚度的環(huán)狀區(qū)域,這說(shuō)明系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)雖不穩(wěn)定,但按混沌規(guī)律運(yùn)行,此時(shí)的Poincare截面圖也由一條曲線趨近于一點(diǎn)。圖 5中當(dāng)轉(zhuǎn)速減小至 ω=950rad/s時(shí),系統(tǒng)相圖中出現(xiàn)不穩(wěn)定極限環(huán),系統(tǒng)由倍周期運(yùn)動(dòng)向準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)過(guò)渡。圖 6中的相圖所反映的系統(tǒng)混沌態(tài)出現(xiàn)了奇怪吸引子而且每個(gè)吸引子的振動(dòng)幅度都比較大,其 Poincare截面圖也變?yōu)槿龡l曲線,最終收斂于一點(diǎn)。在圖 7中 ω=280rad/s,其相圖表現(xiàn)為無(wú)數(shù)個(gè)吸引子在運(yùn)動(dòng),但最終每個(gè)吸引子都圍繞著一個(gè)極限環(huán)運(yùn)動(dòng),仍屬于魯棒穩(wěn)定,其Poincare截面圖收斂于不規(guī)則的點(diǎn)也說(shuō)明了其相對(duì)穩(wěn)定性。

3 結(jié)束語(yǔ)

(1)建立了車削系統(tǒng)單自由度非線性振動(dòng)模型,并應(yīng)用 Matlab數(shù)值仿真程序得到系統(tǒng)的分岔圖、頻率譜圖、相圖和相應(yīng)的 Poincare截面圖,從而獲知系統(tǒng)的振動(dòng)特性。

(2)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速是影響系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的重要因素。當(dāng)轉(zhuǎn)速較高時(shí),系統(tǒng)處于相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài),但當(dāng)轉(zhuǎn)速降低時(shí),會(huì)出現(xiàn)奇怪吸引子,使系統(tǒng)偏離原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這在車削加工啟動(dòng)和制動(dòng)時(shí)應(yīng)該考慮將車刀迅速脫離工件表面,以免影響工件質(zhì)量。

(3)通過(guò)對(duì)車削系統(tǒng)非線性振動(dòng)模型的仿真,可知其仿真結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)運(yùn)行情況是相符合的。

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