井雨剛，李英秋

（1.山東電力研究院，山東 濟(jì)南 250002；2.山東達(dá)馳電氣有限公司，山東 濟(jì)南 250002）

計(jì)算電力系統(tǒng)電壓分叉點(diǎn)的新方法

井雨剛1，李英秋2

（1.山東電力研究院，山東 濟(jì)南 250002；2.山東達(dá)馳電氣有限公司，山東 濟(jì)南 250002）

基于電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型，應(yīng)用分叉理論提出了一種求解鞍結(jié)分叉、hopf分叉點(diǎn)的新方法。該方法的基本原理是，當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)緩慢變化時(shí)，在其平衡點(diǎn)的延拓過程中，首先檢測(cè)該平衡點(diǎn)流形的局部領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)的改變，確定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性性態(tài)，然后應(yīng)用插值法來確定更高精度要求的參數(shù)分叉值，典型電壓穩(wěn)定模型的計(jì)算結(jié)果表明了此方法的有效性和實(shí)用性。

鞍結(jié)分叉；hopf分叉；仿連續(xù)法；動(dòng)態(tài)電壓穩(wěn)定

0 引言

電力系統(tǒng)是一個(gè)高度非線性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，電壓穩(wěn)定性的研究是現(xiàn)代電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析中的一個(gè)重要組成部分，必然具有非線性的特征，因此應(yīng)用非線性方法進(jìn)行機(jī)理分析和防范措施的設(shè)計(jì)是很自然的。分叉理論作為分析非線性動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本方法，已經(jīng)在電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定問題中得到了廣泛的應(yīng)用［1~6］。在電力系統(tǒng)中，所發(fā)現(xiàn)的分叉類型主要有鞍結(jié)點(diǎn)分叉（saddle-node bifurcation，縮寫為SNB）、霍普夫分叉（Hopf bifurcation）等。

目前，鞍結(jié)分叉點(diǎn)與系統(tǒng)電壓崩潰點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系已經(jīng)為大多數(shù)人所接受，常規(guī)電力系統(tǒng)電壓靜穩(wěn)定性也正是以運(yùn)行點(diǎn)與鞍結(jié)分叉點(diǎn)之間的距離來衡量。文獻(xiàn)［7］也較早指出鞍結(jié)分叉的災(zāi)變性后果是電壓崩潰的內(nèi)在原因。然而以往發(fā)生的一些事故經(jīng)驗(yàn)表明：在系統(tǒng)發(fā)生電壓崩潰前或崩潰的過程中，常會(huì)經(jīng)歷電壓振蕩現(xiàn)象。這說明由于一些原因，系統(tǒng)在抵達(dá)鞍結(jié)分叉點(diǎn)之前會(huì)首先遇到動(dòng)態(tài)分叉點(diǎn)。文獻(xiàn)［8］針對(duì)文獻(xiàn)［7］的模型，指出該系統(tǒng)也將發(fā)生Hopf分叉，且隨著負(fù)荷參數(shù)的進(jìn)一步變化，系統(tǒng)將出現(xiàn)稱為blue-sky的災(zāi)變現(xiàn)象，因此系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分叉也將是電壓失穩(wěn)的開端。

目前尋找流形上分叉點(diǎn)的方法可以歸結(jié)為2類：①計(jì)算出所有隨控制參數(shù)變化的系統(tǒng)雅可比矩陣特征值，進(jìn)而判斷是否有特征值穿越特征復(fù)平面的虛軸，以確定分叉點(diǎn)；②根據(jù)經(jīng)典Hurwitz行列式符號(hào)變化，搜索判斷分叉點(diǎn)。很明顯，第一種方法由于要計(jì)算系統(tǒng)雅可比矩陣所有特征值，計(jì)算量大；而第二種方法對(duì)于高維情形，構(gòu)造出特征多項(xiàng)式的系數(shù)本身就是一件十分困難的事情。本文利用分叉理論，基于電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型用仿連續(xù)法追蹤解流形，而后將系統(tǒng)雅可比矩陣特征值復(fù)平面進(jìn)行特定的映射變換，從而只需了解映射后特征復(fù)平面上的最大模特征值的表現(xiàn)，即可確定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性性態(tài)。

1 一般電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型的數(shù)學(xué)描述

一般電力系統(tǒng)可用微分—代數(shù)方程組描述為式中：x表示系統(tǒng)微分狀態(tài)變量；y表示系統(tǒng)代數(shù)狀態(tài)變量；λ為控制參數(shù)。

所有滿足方程（2）的點(diǎn)（x0，y0，λ0）稱為系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)

于是平衡解流形可以表示為

為了考察系統(tǒng)（1）的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，在平衡點(diǎn)（x0，y0，λ0）處對(duì)式（1）線性化，以得到擾動(dòng)方程

由式（3）進(jìn)行消元，即可得到描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的微分狀態(tài)方程組：

或簡(jiǎn)記為

令

根據(jù)動(dòng)力學(xué)知識(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性完全可以由系統(tǒng)雅可比矩陣J的特征值確定。

2 確定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)平衡點(diǎn)分叉值的仿連續(xù)法

對(duì)于系統(tǒng)（1）為了考察系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，將其平衡解流形m上的點(diǎn)分類為：

a.正則點(diǎn)：當(dāng)雅可比矩陣J（x0，y0，λ0）的特征值無零實(shí)部時(shí)，對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)稱為解流形m上的正則點(diǎn)。

b.鞍結(jié)分叉點(diǎn)：當(dāng)雅可比矩陣隨著控制參數(shù)的變化，有一個(gè)特征值在復(fù)平面上沿實(shí)軸從左半平面穿越虛軸時(shí)（即雅可比矩陣有零特征根時(shí)）對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)稱為解流形m上的鞍結(jié)分叉點(diǎn)。

c.Hopf分叉點(diǎn)：當(dāng)雅可比矩陣隨著控制參數(shù)的變化，有一對(duì)共軛復(fù)特征值在復(fù)平面上從左半平面穿越虛軸時(shí)（即雅可比矩陣具有一對(duì)零實(shí)部的共軛復(fù)特征值）對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)稱為解流形m上的Hopf分叉點(diǎn)。

延拓算法求取方程（2）的解流形m的方法是：用從初始點(diǎn)（x0，y0，λ0）出發(fā)的一點(diǎn)列（xi，yi，λi）來逼近該光滑曲線m。其中包括對(duì)點(diǎn)列（xi，yi，λi）進(jìn)行預(yù)測(cè)、修正和步長(zhǎng)控制等步驟。因而仿連續(xù)法確定動(dòng)態(tài)平衡點(diǎn)分叉值的流程為：

1）設(shè)置迭代初始值i=0。

2）預(yù)測(cè)：從點(diǎn)（xi，yi，λi）出發(fā)給出曲線上的下一點(diǎn)（xi＋1，yi＋1，λi＋1）的預(yù)測(cè)值

3）修正：對(duì)上述預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正。

4）控制步長(zhǎng)。

5）檢測(cè)解流形m在相鄰兩點(diǎn)間是否有分叉出現(xiàn)。如有，用插值法確定更高精度的參數(shù)分叉值。否則令i=i+1，轉(zhuǎn)步驟2。

下面對(duì)算法中的步驟2~5進(jìn)行詳細(xì)的說明論述。

2.1步驟2

2.2 步驟3

記X＝（x，y），則解流形m可以表示為

本文采用正交平面連續(xù)法來構(gòu)造方程G（X，λ） =0，即過預(yù)測(cè)值做過點(diǎn)（Xi，λi）的曲線m的切線的垂直平面，垂直平面與曲線的交點(diǎn)就是所求的精確值，所以其聯(lián)立方程組如下：

用Newton迭代法來求解聯(lián)立方程（8），迭代收斂值即為曲線m上的下一點(diǎn)（Xi+1，λi+1）。

2.3 步驟4

步長(zhǎng)的選取是非常重要的，它可以直接影響到計(jì)算的成?。喝绻介L(zhǎng)取得過大則求取的曲線的精確度就會(huì)太低；如果步長(zhǎng)選的過小，就會(huì)花費(fèi)過多的時(shí)間。所以，我們采取控制步長(zhǎng)的策略是：采用自動(dòng)變步長(zhǎng)的方式。所謂自動(dòng)變步長(zhǎng)就是指在迭代的過程中，按照一定的規(guī)律為之設(shè)定一個(gè)合適的步長(zhǎng)，并且這個(gè)步長(zhǎng)在整個(gè)迭代的過程中，根據(jù)情況不斷的變動(dòng)，以適應(yīng)求解的需要。例如，在步驟2的修正過程中，若Newton迭代在經(jīng)過預(yù)先指定次的迭代后仍不能收斂，則須減小步長(zhǎng)來重新修正。

將式（6）在（Xi，λi）處按照傅立葉級(jí)數(shù)展開，得

又因?yàn)镕（Xi，λi），所以可得：

初始步長(zhǎng)可以選?。?/p>

式中，k為一個(gè)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)的不同，確定其值。

2.4 步驟5

為了在追蹤解流形m的過程中能夠檢測(cè)與確定鞍結(jié)分叉和Hopf分叉點(diǎn)，需要構(gòu)造一個(gè)判斷函數(shù)。為了避免計(jì)算雅可比矩陣J的所有特征值，引入變換：

其中，I為與J同階的單位矩陣。

不難證明Z，J矩陣的特征值具有如下的映射關(guān)系：

從上式可以看出，經(jīng)過這樣的變換，將J的特征值所在復(fù)平面上的虛軸映射成Z的特征值所在復(fù)平面上的單位圓。下面來證明當(dāng)Z的最大摸大于1時(shí)，則J的特征值就會(huì)有在復(fù)平面的右半平面的。設(shè) μJ＝ε±iy

由式（14）可知，當(dāng)ε<0時(shí)，｜μZ｜－1<0；反之｜μZ｜－1> 0。因此當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，Z的模小于1。隨著控制參數(shù)的變化，一旦J的特征值有一對(duì)共軛復(fù)特征值率先由左半平面穿越虛軸進(jìn)入右半平面，則可以斷定矩陣Z有與之對(duì)應(yīng)的一對(duì)共軛復(fù)特征值由單位圓內(nèi)穿出單位圓。

反之若矩陣Z有一對(duì)共軛最大模特征值為：μZmax=α±iβ，可以由反映射式：

推得：

由式（15）容易看出：當(dāng)矩陣Z的最大模特征值在單位圓內(nèi)（即（α2＋β2）<1時(shí)），恒有 Re（μJ）<0成立。當(dāng)μZmax率先穿出單位圓（即（α2＋β2）>1時(shí)），恒有Re（μJ）>0成立。因此令

當(dāng) φ（xi，yi，λi）·φ（xi＋1，yi＋1，λi＋1）≤0時(shí)，在這兩點(diǎn)之間的區(qū)間里發(fā)生了狀態(tài)的改變，必有一分叉點(diǎn)出現(xiàn)，當(dāng)μZmax＝－1時(shí)，是鞍結(jié)分叉點(diǎn)，當(dāng)只有｜μZmax｜＝1，則系統(tǒng)發(fā)生Hopf分叉?？捎貌逯捣ㄔ?（xi，yi，λi）和（xi＋1，yi＋1，λi＋1）之間確定更高精度的分叉點(diǎn)。

3 算例

利用本文所介紹的方法來確定如圖1所示的簡(jiǎn)單系統(tǒng)的分叉點(diǎn)。網(wǎng)絡(luò)發(fā)發(fā)電機(jī)的參數(shù)同文獻(xiàn)［2］。該系統(tǒng)由一個(gè)負(fù)荷母線和兩個(gè)發(fā)電機(jī)母線組成，其中一個(gè)發(fā)電機(jī)母線被處理成松弛母線。

圖1 簡(jiǎn)單電力系統(tǒng)

非松弛母線發(fā)電機(jī)2用如下的搖擺方程描述：

式中，M，D，Pm分別為發(fā)電機(jī)2的慣性常數(shù)、阻尼和機(jī)械輸入功率。將包含電容器C的電路進(jìn)行戴維南等效，則其等效電壓V′0，等值電導(dǎo)Y′0，阻抗角θ′0分別為

本文節(jié)點(diǎn)3的負(fù)荷模型采用考慮靜態(tài)負(fù)荷和動(dòng)態(tài)異步電動(dòng)機(jī)負(fù)荷綜合組成，其描述方程如下：

式中，P0，Q0是異步電動(dòng)機(jī)的恒定有功和無功功率；P1，Q1是恒P－Q負(fù)荷。

可得該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

系統(tǒng)微分狀態(tài)變量為：x=（δm，ω，δ，V）；控制參數(shù)選為：λ＝Q1。

用本文所述方法計(jì)算系統(tǒng)（18），初始點(diǎn)Q1＝10，此時(shí)系統(tǒng)（18）的平衡點(diǎn)為（δm，ω，δ，V）＝（0.2858165，0.0，0.1066416，1.22951939），計(jì)算得到的鞍結(jié)分叉點(diǎn)和Hopf分叉點(diǎn)如表1所示。

表1 鞍結(jié)分叉點(diǎn)和Hopf分叉點(diǎn)

從表中可以看出，系統(tǒng)經(jīng)過了兩次Hopf分叉，在Q1=11.411時(shí)，發(fā)生鞍結(jié)分叉，系統(tǒng)崩潰。由此可以證實(shí)在考慮電壓動(dòng)態(tài)穩(wěn)定時(shí)，不能只考慮鞍結(jié)分叉，用此作為系統(tǒng)不穩(wěn)定的判斷條件，而應(yīng)該綜合考慮各種可能出現(xiàn)的動(dòng)態(tài)分叉情況，從而真實(shí)的判斷系統(tǒng)何時(shí)發(fā)生電壓失穩(wěn)。

下面我們綜合考慮P1，Q1變化時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生分叉的情況。我們將計(jì)算所得的Hopf分叉點(diǎn)和鞍結(jié)分叉點(diǎn)的軌跡，投影到P1-Q1平面上如圖2所示。

圖2 雙參數(shù)分叉圖

從圖2可以看出，在參數(shù)P1從0開始的一定范圍內(nèi)，Hopf分叉點(diǎn)有兩支。當(dāng)給定有功負(fù)荷P1時(shí)，則隨無功負(fù)荷Q1的變化，系統(tǒng)將經(jīng)歷2個(gè)Hopf分叉點(diǎn)，然后到達(dá)鞍結(jié)分叉點(diǎn)；隨著參數(shù)P1的不斷增大，這兩支Hopf分叉逐漸接近，最后重合，此時(shí)沿?zé)o功負(fù)荷的增長(zhǎng)，只出現(xiàn)一個(gè)Hopf分叉點(diǎn)；而如果有功負(fù)荷再進(jìn)一步增大，系統(tǒng)將不會(huì)出現(xiàn)Hopf分叉點(diǎn)，在鞍結(jié)分叉點(diǎn)系統(tǒng)失穩(wěn)。

5 結(jié)論

重點(diǎn)論述了確定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的Hopf分叉和鞍結(jié)分叉點(diǎn)的仿連續(xù)法的實(shí)現(xiàn)方法和技術(shù)。該法在確定分叉點(diǎn)時(shí)，只需了解映射后的矩陣的最大模特征值就可以確定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。它的計(jì)算量小，適用面廣。用一個(gè)典型的電力系統(tǒng)驗(yàn)證了本方法的可行性和實(shí)用性。

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A New Method for Computing the Voltage Bifurcation Point of Power System

Based on power system dynamic model，an effective method is proposed to solve the saddle-node bifurcation or hopf bifurcation point in this paper.The principle of this method is when the parameter of dynamic system varies slowly，its balance point is extended correspondingly.During this process，the dynamic voltage stability is determined by inspecting the alternation of the system topology character in the local range of balance point，and then the interpolation method is applied to further determine the value of parameter when bifurcation occurs.Numerical results of typical voltage stability model have shown that this method is effective and practical.

saddle-node bifurcation;hopf bifurcation;imitating continuation method;dynamic voltage stability

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TM712

A

1007－9904（2010）04－01－05

2010－03－25

井雨剛（1979-），男，碩士，工程師，主要從事繼電保護(hù)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試工作。