邢秀芝,曹桂文

利用推廣的(G′/G)展開法求解BBM方程

邢秀芝1,曹桂文2

(1.周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南周口466001;2.商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)團隊,河南商丘476100)

利用推廣的(G′/G)展開法,借助于計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica,獲得了BBM方程的豐富的顯式行波解,分別以含兩個任意參數(shù)的雙曲函數(shù)、三角函數(shù)及有理函數(shù)表示.

BBM方程;推廣的(G′/G)展開法;顯式行波解;齊次平衡法

構(gòu)造非線性發(fā)展方程的精確解是非線性科學(xué)的一個重要組成部分,也是長期以來物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家研究的重要課題.人們?yōu)榱说玫椒蔷€性發(fā)展方程的精確解提出了許多有效的方法.常用的方法有齊次平衡法[1]、雙曲正切函數(shù)法[2]、橢圓函數(shù)展開法[3]、擴展的雙曲正切函數(shù)法[4]等.

最近,文獻[5]中新提出了(G′/G)展開法,這里的G=G(ξ)是一個二階線性O(shè)DE的解.該法的主要思想是:非線性發(fā)展方程的行波解可以表示為(G′/G)的多項式,多項式的次數(shù)可由齊次平衡原則確定;多項式的系數(shù)可通過解一個非線性代數(shù)方程組求得;非線性代數(shù)方程組是在應(yīng)用(G′/G)展開法過程中產(chǎn)生的.應(yīng)用該方法已有效地求解了許多非線性演化方程[6-8].文獻[9]將(G′/G)展開法從正冪展開推廣到正負(fù)冪展開,并用它獲得了 KD方程較文獻[7]豐富的顯式行波解.本文應(yīng)用推廣的(G′/G)展開法求解BBM方程

獲得了方程(1)的含兩個任意參數(shù)的更多的顯式行波解,其結(jié)果豐富了以往文獻.為求解方程(1),令

將(2)式代入(1),對ξ積分一次并令積分常數(shù)為零,得到關(guān)于u=u(ξ)的常微分方程

考慮方程(3)中最高階導(dǎo)數(shù)項u″與最高次非線性項u2的齊次平衡,可確定平衡數(shù)N=2.因而可設(shè)方程(3)的解為

其中 a2,a1,a0,a-1,a-2為待定常數(shù),G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程

將式(4)代入式(3),并利用方程(5),合并(G′/G)的同次冪系數(shù),并置其為零,得到關(guān)于 a2,a1,a0,a-1, a-2,ω,λ,μ的代數(shù)方程組

借助于計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica得到6組解:將以上結(jié)果代入式(4)得BBM方程的以下幾種類型的顯式行波解.

1)當(dāng)λ=0且μ<0時,BBM方程有雙曲函數(shù)解:

2)當(dāng)λ2-4μ>0時,BBM方程有雙曲函數(shù)解:

3)當(dāng)λ=0且μ>0時,BBM方程有三角函數(shù)解:5)當(dāng)λ2-4μ=0時,BBM方程有有理函數(shù)解

其中以上各式中的A1,A2均為任意參數(shù).

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Solving BBM equation by using extended(G′/G)expansion method

XING Xiuzhi1,CAO Guiwen2
(1.Department of Mathematics,Zhoukou Normal University,Zhoukou 466001,China; 2.Mathematics Teaching Team,Shangqiu Polytechnic,Shangqiu 476100,China)

By using the extended(G′/G)expansion method and with the aid of computer algebra system Mathematica,abundant exact travelling wave solutions of the BBM equation were successfully obtained.The solutions were expressed by hyperbolic functions,trigonometric functions and rational functions contained double arbitrary parameters.

BBM equation;extended(G′/G)expansion method;exact travelling wavesolution;homogeneous balance

O175.2

A

1671-9476(2010)05-0023-03

2010-03-10

河南省教育廳自然科學(xué)基金項目(No.2010A110022);河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助項目(No.2007126).

邢秀芝(1969-),女,河南鄲城人,副教授,碩士,研究方向:孤立子與可積系統(tǒng).Email:wjzxxz@sin.com