趙艷秉

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)江城學(xué)院,湖北武漢430200)

利用虛擬變量對(duì)季節(jié)指數(shù)的估計(jì)＊

趙艷秉

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)江城學(xué)院,湖北武漢430200)

利用季節(jié)虛擬變量建立回歸模型,通過(guò)季節(jié)虛擬變量的參數(shù)估計(jì)間接地估計(jì)季節(jié)指數(shù),并且利用模型進(jìn)行了一些傳統(tǒng)的季節(jié)指數(shù)方法無(wú)法進(jìn)行的推斷統(tǒng)計(jì),是一種分析季節(jié)指數(shù)和季節(jié)變動(dòng)的新思路.但是,由于時(shí)間序列數(shù)據(jù)直接應(yīng)用到回歸模型會(huì)與古典假設(shè)不相符合,在參數(shù)估計(jì)以及推斷檢驗(yàn)中就需要采用一些新的方法,這也正是利用季節(jié)虛擬變量估計(jì)季節(jié)指數(shù)時(shí)存在的問(wèn)題,這個(gè)問(wèn)題還有待于以后解決.

虛擬變量;季節(jié)指數(shù);回歸模型

在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)生活中,由于受氣候條件、生產(chǎn)條件、節(jié)假日以及居民風(fēng)俗習(xí)慣等因素的影響,使得一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象每年反復(fù)出現(xiàn)有規(guī)律的周期變動(dòng),而且每年變動(dòng)的規(guī)律都大體相似,這種變動(dòng)就是我們所說(shuō)的季節(jié)變動(dòng),Franses認(rèn)為“通常,當(dāng)在某個(gè)季節(jié)的觀測(cè)值具有與其他季節(jié)的觀測(cè)值顯著不同的特征時(shí),我們稱(chēng)之為季節(jié)性”[1].雖然季節(jié)性是時(shí)間序列的四個(gè)重要特征之一,但大多數(shù)研究者在根據(jù)時(shí)間序列作長(zhǎng)期趨勢(shì)分析時(shí)都將季節(jié)性當(dāng)作一種“數(shù)據(jù)污染”,因而在對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)作進(jìn)一步分析之前先將這種“數(shù)據(jù)污染”剔除,這也就是所謂的“季節(jié)調(diào)整”,而季節(jié)調(diào)整的方法經(jīng)過(guò)研究者的不斷改善目前也發(fā)展到了X-12-AR IMA調(diào)整方法,并有相應(yīng)的計(jì)算機(jī)調(diào)整程序.但實(shí)際上,季節(jié)性變動(dòng)作為時(shí)間序列的四個(gè)重要特征之一,其意義不僅僅在于只是被當(dāng)作干擾性因素被剔除,季節(jié)變動(dòng)本身能夠給我們提供很多重要信息,因此,Miron(1996)就堅(jiān)決認(rèn)為應(yīng)該對(duì)季節(jié)性建模而不是將它們從數(shù)據(jù)序列中剔除.[2]

對(duì)季節(jié)性建模,無(wú)非就是要估計(jì)季節(jié)變動(dòng)的大小,也就是估計(jì)季節(jié)指數(shù).通過(guò)季節(jié)指數(shù)的估計(jì),我們就能得到對(duì)季節(jié)性以及季節(jié)變動(dòng)大小的精確的估計(jì)與預(yù)測(cè).一方面,我們可以在對(duì)過(guò)去的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)于不同季節(jié)的觀測(cè)值的基礎(chǔ)上,將這些季節(jié)變化特征精確地測(cè)度出來(lái);另一方面,又能對(duì)未來(lái)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的季節(jié)性變動(dòng)有一個(gè)較好的判斷(或預(yù)測(cè)).但存在的問(wèn)題是,目前的對(duì)這種測(cè)度或預(yù)測(cè)的研究絕大部分是一些描述性的統(tǒng)計(jì)分析,事實(shí)上,很多時(shí)候我們希望能夠?qū)竟?jié)指數(shù)進(jìn)行一些推斷統(tǒng)計(jì),以便更好地對(duì)季節(jié)性變動(dòng)作出判斷,而利用季節(jié)虛擬變量建立回歸模型,不但可以通過(guò)對(duì)虛擬變量的參數(shù)估計(jì)間接地得到季節(jié)指數(shù)的估計(jì)值,同樣可以對(duì)季節(jié)性本身進(jìn)行一些推斷統(tǒng)計(jì).

1 計(jì)算季節(jié)指數(shù)的傳統(tǒng)方法

在對(duì)季節(jié)指數(shù)的計(jì)算方法上,基本的思想是以各季的觀測(cè)值的平均數(shù)比上所有觀測(cè)值的總平均值,因此,各個(gè)季節(jié)的季節(jié)指數(shù)的平均值的均值應(yīng)該是100%,而每個(gè)季節(jié)的季節(jié)波動(dòng)的大小則通過(guò)該季節(jié)的季節(jié)指數(shù)與均值(也就是100%)的偏差程度來(lái)度量.而具體在計(jì)算各季平均值與總體平均值時(shí),會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)特征有不同的方法,下面稍加介紹.

1.1 平均數(shù)季節(jié)指數(shù)法[3]

設(shè)觀測(cè)到的n年、m季的時(shí)間序列數(shù)據(jù)為{xi,j},i=1,2,…,n,j=1,2,…,m(下同).平均數(shù)季節(jié)指數(shù)法的主要思想是計(jì)算各年同季節(jié)(月、季度等)的平均值作為各季節(jié)的代表值,再計(jì)算出所有觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值,作為年度代表值,前者與后者之比即為各季節(jié)的季節(jié)指數(shù),用公式表示為:

這種方法對(duì)季節(jié)時(shí)間序列有嚴(yán)格的假設(shè),那就是原序列沒(méi)有明顯的長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)波動(dòng),因此這種方法在應(yīng)用上非常有限.

1.2 對(duì)含有趨勢(shì)性的季節(jié)時(shí)間序列的季節(jié)指數(shù)的計(jì)算方法

在通常情況下,時(shí)間序列由四個(gè)主要因素構(gòu)成,分別是長(zhǎng)期趨勢(shì)T,季節(jié)變動(dòng)S,循環(huán)波動(dòng)C和不規(guī)則波動(dòng)I,一般我們采用乘法模型構(gòu)造一個(gè)完整的時(shí)間序列分解模型,即Yi=Ti×Si×Ci×Ii,在對(duì)含長(zhǎng)期趨勢(shì)的季節(jié)時(shí)間序列進(jìn)行處理時(shí),一般并不直接將T和C剔除而得到S,首先通過(guò)移動(dòng)平均消除季節(jié)波動(dòng)S和不規(guī)則波動(dòng)I,再將原序列Y除以移動(dòng)平均趨勢(shì)項(xiàng)T×C,便可得到季節(jié)變動(dòng)S和不規(guī)則變動(dòng)I的相對(duì)數(shù),再將這一相對(duì)數(shù)加以平均即可去掉不規(guī)則變動(dòng)的影響,得到各個(gè)季節(jié)的相對(duì)數(shù),即季節(jié)指數(shù).在這一思想的基礎(chǔ)上,對(duì)長(zhǎng)期趨勢(shì)的處理,有移動(dòng)平均法和最小二乘法,所以在最終的季節(jié)指數(shù)也有所不同,下面分別加以介紹.

1.2.1 移動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法

移動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法的主要步驟如下.

首先,計(jì)算各個(gè)季度的移動(dòng)平均數(shù),由于季度周期(一般為4或12)是偶數(shù),因此需再計(jì)算一次相鄰兩個(gè)數(shù)的平均才能使平均數(shù)位置對(duì)于各季度.

然后,用原序列數(shù)據(jù)除以趨勢(shì)值即可得到季節(jié)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)的相對(duì)數(shù),適當(dāng)調(diào)整后即可.

最后,利用平均數(shù)法去掉季節(jié)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)相對(duì)數(shù)中的不規(guī)則變動(dòng),即得到了季節(jié)指數(shù).

1.2.2 最小二乘趨勢(shì)剔除法

這種方法與上一方法只是在趨勢(shì)的剔除上有所區(qū)別,用的是最小平方法求出一條趨勢(shì)線,求出相應(yīng)的趨勢(shì)值,再?gòu)脑蛄兄邢粟厔?shì),得到季節(jié)變動(dòng)與不規(guī)則變動(dòng)的相對(duì)數(shù)后,利用平均數(shù)法消除不規(guī)則變動(dòng)后即可得到季節(jié)指數(shù).在趨勢(shì)線的選擇上,利用估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差選擇最合適的趨勢(shì)線.

1.2.3 分解季節(jié)指數(shù)法

分解季節(jié)指數(shù)法的主要思想是將季節(jié)性時(shí)間序列看成是趨勢(shì)性和季節(jié)性的乘積,即Yi,j=Ti,jSi,j(i和j分別為年度和季度的下標(biāo)).在前面幾種方法中,季節(jié)指數(shù)都是不變的,但在分解季節(jié)指數(shù)法中,季節(jié)指數(shù)和趨勢(shì)值一樣,都是時(shí)序t的回歸.這種方法中所包含的季節(jié)指數(shù)的具體求法是:

首先,根據(jù)原季節(jié)時(shí)間序列的時(shí)序圖,利用合理的季節(jié)趨勢(shì)模型求出各時(shí)期的趨勢(shì)估計(jì)值Tt;然后,計(jì)算各時(shí)期的季節(jié)相對(duì)最后,將不同季節(jié)的季節(jié)相對(duì)數(shù)分組,用每組季節(jié)相對(duì)數(shù)作因變量,年度為自變量,建立合理的模型,估計(jì)各年度各季節(jié)的季節(jié)指數(shù)Sj.

利用該模型可以對(duì)各個(gè)年度不同季節(jié)的季節(jié)指數(shù)進(jìn)行估計(jì),與前面方法得到結(jié)果不同的是該方法得到的同一季節(jié)的季節(jié)指數(shù)在不同年度是不同的.

1.3 基于溫特斯(W inters)指數(shù)平滑法的計(jì)算方法[4]

溫特斯季節(jié)性指數(shù)平滑法是20世紀(jì)60年代初由溫特溫特斯(W inters)研究制定出來(lái)的一種較高級(jí)形式的指數(shù)平滑方法.這種方法最突出的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)具有趨勢(shì)變動(dòng)和季節(jié)變動(dòng)兩種因素的時(shí)間數(shù)列,分別對(duì)每種因素進(jìn)行指數(shù)平滑,然后將各種因素的平滑結(jié)果結(jié)合起來(lái),對(duì)原時(shí)間數(shù)列進(jìn)行預(yù)測(cè).這就擴(kuò)大了指數(shù)平滑方法的應(yīng)用范圍,提高了對(duì)兼有趨勢(shì)和季節(jié)變動(dòng)兩種因素時(shí)間數(shù)列預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性.季節(jié)性指數(shù)平滑方法有三個(gè)基本平滑公式.三個(gè)平滑公式分別對(duì)時(shí)間數(shù)列的三種因素進(jìn)行.它們是:

(α,β,γ為平滑系數(shù),需要預(yù)先設(shè)定)

通過(guò)第三個(gè)公式則可對(duì)季節(jié)指數(shù)進(jìn)行測(cè)定.這種指數(shù)測(cè)度形式是將時(shí)間序列中的季節(jié)性和趨勢(shì)性結(jié)合起來(lái)考慮,而不是分開(kāi)進(jìn)行測(cè)度,體現(xiàn)了季節(jié)時(shí)間序列的各個(gè)因素的內(nèi)部結(jié)構(gòu).

2 季節(jié)虛擬變量回歸模型的構(gòu)建

我們知道,季節(jié)指數(shù)實(shí)際上只是一種相對(duì)數(shù),描述的是季節(jié)的不同對(duì)時(shí)間序列的影響,也就是說(shuō)描述的是季節(jié)的重要性.因此我們按照回歸的思想,將原始數(shù)據(jù)作為因變量,以代表時(shí)間順序的年度數(shù)t為自變量描述序列的趨勢(shì)性變化的大小,同時(shí)將季節(jié)作為自變量去描述序列所受到的季節(jié)影響,季節(jié)指數(shù)即為季節(jié)變量前的估計(jì)參數(shù).由于在回歸模型中,我們可以很容易地得到參數(shù)估計(jì)量的一些統(tǒng)計(jì)性質(zhì),因此,就得到了季節(jié)指數(shù)的一些統(tǒng)計(jì)性質(zhì).這種方法的主要步驟是,首先將長(zhǎng)期趨勢(shì)從原序列中采用減法法則或乘法法則去掉,對(duì)剩下的純季節(jié)成分建立以季節(jié)變量為自變量的回歸模型.在將季節(jié)變量這類(lèi)定性變量轉(zhuǎn)化為定量變量時(shí),可以有兩種不同的方式,因此,在模型與估計(jì)上也稍有區(qū)別.

2.1 虛擬變量模型法估計(jì)季節(jié)指數(shù)

2.1.1 模型的構(gòu)造

首先,根據(jù)原序列的時(shí)序圖的特點(diǎn)建立一個(gè)以時(shí)期t為自變量的模型,這個(gè)模型可以是線性模型,可以是非線性模型,我們以Tt=f(t)+μ,設(shè)每一期的估計(jì)值為T(mén)^t(t=1,2,…,n),這樣得到的實(shí)際上是一個(gè)時(shí)間序列的趨勢(shì)值.

然后,用原序列減去(或除以)T^t,得到新序列Y′t=Yt-T^t,這個(gè)新序列主要包括原序列的季節(jié)成分和不規(guī)則變動(dòng)部分.

最后,對(duì)新序列建立以季節(jié)(這里的季節(jié)以季度為例)變量為自變量的模型,在將季節(jié)變量定量化時(shí),采用下面的虛擬變量的形式:

所以,得到的季節(jié)虛擬變量模型為(我們處于研究目的在此假設(shè)模型服從古典假設(shè),但事實(shí)上模型與古典假設(shè)有很多違背的地方):

整個(gè)包含長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)變化的模型為:

從模型中我們可以看出,β0描述的是第四季度對(duì)時(shí)間序列的影響,β0+β1、β0+β2、β0+β3分別描述的是第一、二、三季度的影響.因此四個(gè)季度的季節(jié)指數(shù)的計(jì)算公式分別是:

通過(guò)β0,β1,β2,β3的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),我們即可得到S1,S2,S3,S4的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).

2.1.2 模型的檢驗(yàn)

通過(guò)求回歸模型的參數(shù)估計(jì)量的方式求季節(jié)指數(shù)的估計(jì)量是求季節(jié)指數(shù)的一種新的方式,通過(guò)這種方式,我們既可以求每個(gè)季節(jié)的季節(jié)指數(shù)的估計(jì)量,還可以對(duì)參數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn),參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)實(shí)際上就是時(shí)間序列數(shù)據(jù)是否有顯著的季節(jié)變動(dòng)的一種方法.

在一般情況下,季節(jié)性可以從簡(jiǎn)單的時(shí)間序列圖中輕易地發(fā)現(xiàn),但有些時(shí)候,判斷一個(gè)時(shí)間序列是否具有季節(jié)性可能需要其他一些辦法,例如當(dāng)時(shí)間序列波動(dòng)得異常厲害時(shí),季節(jié)性高峰和低潮就不一定能從其他波動(dòng)中區(qū)分開(kāi)來(lái),這時(shí)可以利用該序列原始數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)圖來(lái)直觀地對(duì)是否存在季節(jié)性進(jìn)行判斷.通過(guò)回歸參數(shù)顯著性檢驗(yàn)的方法既可以檢驗(yàn)不同季度之間是否有顯著變化,還可以檢驗(yàn)整個(gè)序列的某個(gè)季度是否有一些季節(jié)變動(dòng)、序列是否存在長(zhǎng)期趨勢(shì)性.下面給出的是不同目的下的檢驗(yàn).

1)對(duì)整個(gè)時(shí)間序列是否存在顯著季節(jié)變化的檢驗(yàn)

原假設(shè)H0◇βi=0,i=1,2,3,4

備選假設(shè)H1◇βi中至少一個(gè)不為0

我們利用偏F檢驗(yàn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量:

式中SSE1(R)為在原假設(shè)成立的條件下擬合后的簡(jiǎn)約模型Yt=f(t)+ξ的殘差平方和,SSE(F)為全模型Yt=f(t)+β0+β1Q1t+β2Q2t+β3Q3t+ξ的殘差平方和.利用統(tǒng)計(jì)量F的觀測(cè)值與臨界值相比較來(lái)判斷接受H0還是H1.

2)對(duì)相鄰的兩個(gè)季度之間是否有顯著季節(jié)變動(dòng)的檢驗(yàn)

對(duì)第一和第二季度之間是否存在顯著的季節(jié)變化的檢驗(yàn),原假設(shè)為H0◇β1=β2,備選假設(shè)為H1◇β1≠β2,檢驗(yàn)所用的統(tǒng)計(jì)量為

式中SSE2(R)為原假設(shè)成立條件下擬合后的簡(jiǎn)約模型Yt=β0+β1(Q1t+Q2t)+β3Q3t+ξ的殘差平方和.檢驗(yàn)方法同上.

對(duì)第二和第三季度之間是否存在顯著的季節(jié)變化的檢驗(yàn),原假設(shè)為H0◇β2=β3,備選假設(shè)H1◇β2≠β3,檢驗(yàn)所用的統(tǒng)計(jì)量為F=(SSE3(R)-SSE (F))/SSE(F)～F(1,n-4),其中SSE3(R)為原假設(shè)條件成立下擬合而成的簡(jiǎn)約模型Yt=β0+β1Q1t+β2(Q2t+Q3t)+ξ的殘差平方和.檢驗(yàn)方法同上.

對(duì)第三和第四季度之間是否有顯著季節(jié)變化的檢驗(yàn),原假設(shè)為H0◇β3=0,備選假設(shè)為H1◇β3≠0,檢驗(yàn)所用的統(tǒng)計(jì)量為與前面的檢驗(yàn)不同,這個(gè)檢驗(yàn)是t檢驗(yàn)(當(dāng)然,t檢驗(yàn)也可以轉(zhuǎn)換為偏F檢驗(yàn)).

對(duì)第四和第一季度之間是否有顯著變化的檢驗(yàn),原假設(shè)為H0◇β1=0,備選假設(shè)為H1◇β1≠0,檢驗(yàn)所用的統(tǒng)計(jì)量為

當(dāng)然,我們也可以對(duì)一、三季度之間和二、四季度之間是否存在季節(jié)變化進(jìn)行檢驗(yàn),但這兩個(gè)檢驗(yàn)的實(shí)際意義不是很大,對(duì)二、四季度是否有顯著變化的檢驗(yàn),利用上面的模型,就是對(duì)假設(shè)β2=0的檢驗(yàn);而對(duì)一、三季度之間是否有顯著變化的檢驗(yàn),則是對(duì)線性約束條件β1=β3的檢驗(yàn).

3)對(duì)整個(gè)時(shí)間序列是否存在顯著長(zhǎng)期趨勢(shì)的檢驗(yàn)

原假設(shè)為H0◇f(t)=0,備選假設(shè)為H0◇f(t)≠0,實(shí)際上就是對(duì)前面的長(zhǎng)期趨勢(shì)模型Tt=f(t)+ μ的顯著性的檢驗(yàn).

2.2 正弦曲線模型

在將季節(jié)變量定量化時(shí),還可以采取正弦曲線模型,其模型為:

在這個(gè)模型中,β0+β1描述的是第一季度對(duì)序列的影響,β0-β2、β0-β1、β0+β2描述的分別是第二、三、四季度對(duì)序列的影響.四個(gè)季度的季節(jié)指數(shù)的表達(dá)式分別是:

其檢驗(yàn)方法與虛擬變量模型是類(lèi)似的,在此不再加以說(shuō)明.

3 季節(jié)虛擬變量回歸模型存在的問(wèn)題

利用季節(jié)虛擬變量建立回歸模型的方法,為我們提供了一種對(duì)季節(jié)指數(shù)和季節(jié)變動(dòng)進(jìn)行推斷的新思路、新途徑,但在實(shí)際應(yīng)用中有許多要解決的具體問(wèn)題.

首先,時(shí)間序列數(shù)據(jù)在一般情況下是不能滿(mǎn)足古典假設(shè),因此,在對(duì)模型的虛擬變量的參數(shù)估計(jì)中,OLS方法是失效的;同時(shí),相關(guān)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)也是建立在古典假設(shè)的基礎(chǔ)上,需要加以改進(jìn).

其次,這種方法一般只適合于與自然季度(四個(gè)季度)完全吻合的季節(jié)變動(dòng)的分析,而對(duì)于其他一些季節(jié)變動(dòng),比如傳統(tǒng)節(jié)日、股票市場(chǎng)的一些特殊現(xiàn)象則難以估計(jì).

第三,該方法雖然能夠?qū)σ栽露葦?shù)據(jù)為基礎(chǔ)的季節(jié)變動(dòng)的季節(jié)指數(shù)進(jìn)行估計(jì),但這種情況下要設(shè)立至少11(即12-1)個(gè)虛擬變量,對(duì)所觀測(cè)的序列的長(zhǎng)度有較高的要求,如果序列長(zhǎng)度不夠,則估計(jì)效果很差,甚至無(wú)法估計(jì).

總之,季節(jié)虛擬變量回歸模型給出了估計(jì)季節(jié)指數(shù)和分析季節(jié)變動(dòng)的一種新思路,只是這種方法在具體的應(yīng)用中要適當(dāng)加以改進(jìn).

[1]菲利普·漢斯·弗朗西斯.商業(yè)和經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的時(shí)間序列模型[M].封建強(qiáng),譯.北京:中國(guó)人民大學(xué)版社,2002.

[2]Miron J A,Beaulieu J J.What Have Macroeconomists Learned about Business Cycles form the Study of Seasonal Cycles?[J].The Review of Economics and Statistics, 1996,78(1):54-66.

[3]賈俊平.統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].第3版.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2007.

[4]W inters P.Forecasting sales by exponentiallyweightedmoving averages[J].Management Science,1960,6(3):324-342.

Use of D ichotomous Variables on the Est imated Seasonal I ndex

ZHAO Yan-bing

(Jiangcheng College,China University of Geosciences,Wuhan Hubei 430200,China)

The paper sets up a regression model by use of dichotomous variable,estimates the seasonal index indirectly by the parameter eatimation of seasonal dichotomous variable.W ith themodel some deduced statistics can be done,which traditional seasonal index eatimatingmethods cannot do.This is a new method and thought to analyze seasonal variation.But because of time series data can not be used in regression model owning to t ime series data not fit to th classic hypothesis,we should use a new method in parameter estimation and in deduction testing. This is the very problem produced when estimating seasoanl indexwith dichotomous variable.And it remains to be solved later.

dihotomous variable;seasonalindex;regression model

book=1,ebook=387

F224.0

A

1673-2103(2010)05-0024-04

2010-07-20

趙艷秉(1980-),女,山西忻州人,助教,碩士,研究方向:數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué).