郭東林

(商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南商丘476000)

投資和干擾下的Erlang(2)模型的破產(chǎn)概率＊

郭東林

(商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南商丘476000)

討論了投資和干擾下的Erlang(2)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率.首先得到該模型的盈余過(guò)程具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性;其次,利用鞅方法獲得了該模型破產(chǎn)概率的顯式表達(dá)式以及它的一個(gè)上界估計(jì).

Erlang(2)風(fēng)險(xiǎn)模型;投資;破產(chǎn)概率

Erlang過(guò)程是一個(gè)在理論研究和工程實(shí)踐中都非常重要的隨機(jī)過(guò)程,它在金融風(fēng)險(xiǎn)建模以及控制論中有著廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)[1]研究得到了無(wú)干擾下Erlang(2)風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率,但在保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營(yíng)過(guò)程中風(fēng)險(xiǎn)模型的盈余過(guò)程經(jīng)常受到不可抗拒因素的干擾.根據(jù)這一實(shí)際情況,文獻(xiàn)[2～4]等考慮了干擾下的風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題.同時(shí),文獻(xiàn)[5,6]從投資角度出發(fā)研究了投資下的風(fēng)險(xiǎn)模型.本文在此啟發(fā)下研究了投資和干擾下的Erlang(2)模型破產(chǎn)概率.

1 投資和干擾下的Erlang(2)模型結(jié)構(gòu)

考慮到保險(xiǎn)公司用收取的保費(fèi)進(jìn)行投資和在實(shí)際經(jīng)營(yíng)過(guò)程中經(jīng)常受到通貨膨脹等不可抗拒因素的干擾,本節(jié)討論的風(fēng)險(xiǎn)模型結(jié)構(gòu)如下:

式中:1)R(t)表示保險(xiǎn)公司到時(shí)刻t的盈余,u表示初始資本,z反映根據(jù)初始資金的大小及單位時(shí)間內(nèi)預(yù)測(cè)賠款額大小而設(shè)定用于投資的資金,j表示單位時(shí)間的投資收益,c表示單位時(shí)間的保費(fèi)收入;

3){Xi,i≥1}是一列獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量,表示每個(gè)索賠時(shí)刻的索賠額,具有相同的分布函數(shù)F(x),且獨(dú)立于{Tn,n≥1}; 4){Bt,t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),并且假定是相互獨(dú)立的.

2 主要結(jié)論及證明

證明 令0≤t0

因此{(lán)S(t),t≥0}是獨(dú)立增量過(guò)程.又因?yàn)?/p>

引理1[4]設(shè)(Ω,F,P)為一完備的概率空間,Bt為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng),對(duì)于一個(gè)幾乎處處有限的停時(shí)序列{Sn,n≥1},若{Sn-Sn-1,n≥1}獨(dú)立同分布,則{BSn-BSn-1,n≥1}獨(dú)立同分布.

定理2 對(duì)于盈利過(guò)程{S(t),t≥0},定義σ-代數(shù)Fn=σ{S(k),k=0,1,2,…,n},則Mu(n)=是一個(gè)鞅.

證明 因?yàn)閧S(t),t≥0}有平穩(wěn)獨(dú)立增量,S(0)=0,又由引理1知,對(duì)?k

所以Mu是一個(gè)鞅.

令Nu則Nu表示導(dǎo)致保險(xiǎn)公司盈余為負(fù)即破產(chǎn)的索賠次數(shù),此時(shí)破產(chǎn)概率可以由下面的定理得到.

定理3 對(duì)于投資和干擾下的Erlang(2)模型,保險(xiǎn)公司因索賠引起的破產(chǎn)概率為:

并且該模型的破產(chǎn)概率的一個(gè)上界為ψ(u)≤exp{-γu}.

證明 由Nu的定義可知,它是{Fn,n=0,1,2,…}的一個(gè)停時(shí),而且對(duì)于?n0<∞,n0∧Nu= min(n0,Nu)也是停時(shí),由鞅的停時(shí)定理可知

對(duì)于n0

由大數(shù)定律可知當(dāng)n0→∞時(shí),R(n0)→∞,從而

而當(dāng)r=γ時(shí),g(γ)=1,則式(3)可化為

所以風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率為

又因?yàn)镽(Nu)<0,所以E[exp{-γR(Nu)}|Nu<∞]≥1,因此ψ(u)≤exp{-γu}.

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Ru in Probability for Erlang(2)RiskModel with I nvest ment and I nterference

GUO Dong-lin

(Depar tment ofMathematics,Shangqiu Normal College,Shangqiu Henan 476000,China)

The ruin probability for Erlang(2)risk modelwith investment and interference is considered in this paper.Firstly,the stationary increment properties of profit process is obtained.Secondly,using the martingale method,the explicit expression and an upper bound estimation of ruin probability are derived.

Erlang(2)risk model;investment;ruin probability

book=9,ebook=391

O 211.6

A

1673-2103(2010)05-0014-03

2010-08-17

河南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2010A110015)

郭東林(1982-),男,河南商丘人,助教,碩士,研究方向:保險(xiǎn)精算.