萬 力, 李湘敏

(1．湖南理工學(xué)院 信息與通訊工程學(xué)院, 湖南 岳陽 414006; 2．岳陽市第九中學(xué), 湖南 岳陽 414000)

二級倒立擺系統(tǒng)模型建立與LQR控制仿真

萬 力1, 李湘敏2

(1．湖南理工學(xué)院 信息與通訊工程學(xué)院, 湖南 岳陽 414006; 2．岳陽市第九中學(xué), 湖南 岳陽 414000)

給出了基于牛頓力學(xué)定律的二級倒立擺結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模方法, 并應(yīng)用二次型最優(yōu)控制理論實現(xiàn)了對二級倒立擺的控制. 根據(jù)MATLAB仿真結(jié)果表明, 建模方法可行, 采用二次型最優(yōu)控制對系統(tǒng)進(jìn)行控制, 能滿足控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、魯棒性要求.

最優(yōu)控制; 倒立擺; MATLAB仿真

Abstract:By analyzing the double inverted pendulum system, we build a mathematical model of the system which is based on Newton’s Law of mechanics and the linear quadratic optimal control strategy. The simulation on MATLAB shows that the method of the controller is feasible and the control system has good stability and robustness.

Key words:optimal control; inverted pendulum; MATLAB simulation

引言

倒立擺為典型的快速、多變量、非線性、絕對不穩(wěn)定系統(tǒng), 同時又是雙足行走機(jī)器人和火箭垂直姿態(tài)等許多控制對象的最簡模型. 由于倒立擺在數(shù)學(xué)模型上復(fù)雜但直觀上又簡單, 所以倒立擺機(jī)構(gòu)的控制問題常用來檢驗控制理論及其方法的有效性, 是控制理論中較為理想的實驗手段. 本文以二級倒立擺為研究對象, 利用二次型最優(yōu)控制器(linear quadratic regulator, LQR)求出最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣K, 經(jīng)過對Q和R兩個加權(quán)矩陣的選取實現(xiàn)二級倒立擺的自動控制.

1 二級倒立擺模型的建立

二級倒立擺系統(tǒng)的機(jī)械部分主要是由小車、擺桿1、擺桿2、導(dǎo)軌、皮帶輪、傳動皮帶等組成, 電氣部分由電機(jī)、功率放大器、PWM、傳感器、驅(qū)動電路以及保護(hù)電路組成. 其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

先作如下假設(shè):

(1) 擺桿1、擺桿2及小車都是剛體.

(2) 皮帶輪和皮帶之間無相對滑動.

(3) 小車的驅(qū)動力與支流放大器的輸入成正比, 且無滯后, 忽略電極電樞繞組中的電感.

(4) 實驗過程中的庫倫摩擦、動摩擦等所有摩擦力足夠小, 在建模過程中忽略不計.

圖1 二級倒立擺結(jié)構(gòu)

二級倒立擺結(jié)構(gòu)參數(shù)及其設(shè)定值見表1.

表1 二級倒立擺結(jié)構(gòu)參數(shù)

下面利用利用拉格朗日算子建立系統(tǒng)模型[1].

設(shè)Tm為小車動能, Tm1為擺桿1動能, Tm2為擺桿2動能, Tm3為質(zhì)量塊動能, 因此, 可以得到系統(tǒng)的總動能為

2 LQR控制算法

設(shè)給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為X˙=AX+BU, Y=CX+DU , 用yr表示系統(tǒng)的期望輸出, 從系統(tǒng)的輸出端定義 e( t)=yr(t)-y( t )為系統(tǒng)的誤差向量. 線性二次型最優(yōu)算法即使得基于誤差向量e構(gòu)成的指標(biāo)函

取最小值, 其中S, Q均為非負(fù)實數(shù), R為r×r半正定矩陣[2].

綜上所述, 具有二次型指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問題, 實際上在于用不大的控制能量來實現(xiàn)較小的誤差,以在能量和誤差兩個方面實現(xiàn)綜合最優(yōu).

因為在倒立擺系統(tǒng)中C=I, yr( t)=0,所以Y( t)=X( t)=-e( t ), 并且倒立擺的控制是當(dāng)tf→∞時線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問題, 于是指標(biāo)函數(shù)等價于

其中u=-KX為反饋控制,K=-R-1BTP , P是Raccati方程的唯一正定解.

由于在二級倒立擺系統(tǒng)中, 小車的位移和上下擺的擺角為主要的被控量, Q表明狀態(tài)變量的影響力, R是對輸入量U的加權(quán), 經(jīng)過大量反復(fù)實驗和仿真, 選取R=0.2, Q=Diag(1,64,256,0,0,0),利用LQR函數(shù)得到狀態(tài)反饋矩陣為

3 系統(tǒng)仿真

在MATLAB環(huán)境中建立二級倒立擺系統(tǒng)LQR控制Simulink仿真平臺[3], 其結(jié)構(gòu)如圖2所示.

運(yùn)行后得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3所示.

圖2 二級倒立擺系統(tǒng)LQR控制Simulink仿真結(jié)構(gòu)

圖3 二級倒立擺系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

仿真結(jié)果表明: 控制系統(tǒng)性能優(yōu)良, 穩(wěn)定性好, 具有較強(qiáng)的魯棒性. 由此可見, 應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制對二級倒立擺平衡系統(tǒng)進(jìn)行控制能夠達(dá)到良好的效果, 為今后的實驗研究奠定了基礎(chǔ).

[1] 王海英, 袁麗英, 吳 勃．控制系統(tǒng)的MATLAB仿真與設(shè)計[M]．北京: 高等教育出版社, 2009

[2] 鄭大鐘．線性系統(tǒng)理論[M]．第2版. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2002

[3] 劉文斌．二級倒立擺的建模與MATLAB仿真[J]．自動化儀器與儀表, 2008(139)5: 6～7

Establishment of the Double Inverted Pendulum System Model and LQR Simulation Control

WAN Li1, LI Xiang-min2
(1. College of Information and Communications Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006; 2. NO.9 Middle School, Yueyang 414000, China)

TP13

A

1672-5298(2010)03-0072-04

2010-06-08

萬 力(1979- ), 男, 湖南岳陽人, 湖南理工學(xué)院信息與通訊工程學(xué)院講師. 主要研究方向: 控制理論與控制算法