徐詩(shī)池

(華東交通大學(xué), 江西 南昌 330013)

機(jī)械波“半波損失”的諧波分析

徐詩(shī)池

(華東交通大學(xué), 江西 南昌 330013)

利用機(jī)械波的波動(dòng)方程, 分析了機(jī)械波在弦線的固定端或自由端發(fā)生反射時(shí)存在或不存在“半波損失”現(xiàn)象.

波動(dòng)方程; 相位; 半波損失

引言

關(guān)于機(jī)械波在兩種媒質(zhì)分界處反射時(shí)引起的半波損失問(wèn)題, 在所有大學(xué)物理教材[1～5]中都只是定性的極粗略的介紹了幾句, 并沒(méi)有從數(shù)學(xué)上進(jìn)行證明和分析. 某些力學(xué)實(shí)驗(yàn)演示中出現(xiàn)的機(jī)械波的半波損失現(xiàn)象也只是給初學(xué)者以感性認(rèn)識(shí), 知其然而不知其所以然. 本短文采用諧波分析方法, 利用機(jī)械波的波動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)學(xué)證明并作定量分析.

1 分析方法

設(shè)平面簡(jiǎn)諧波沿著弦線傳播而從固定端或自由端反射時(shí), 沒(méi)有任何能量的吸收或發(fā)生機(jī)械波透入其它媒質(zhì), 那么, 機(jī)械波在此處是完全反射的, 反射波的振幅應(yīng)該等于入射波的振幅. 在這種情況下, 邊界(弦線端點(diǎn))處媒質(zhì)的質(zhì)點(diǎn), 不但參與了入射波的振動(dòng), 同時(shí)也參與了反射波的振動(dòng). 其中為角頻率,為波長(zhǎng),是波在反射時(shí)可能發(fā)生的某一相位變化.

由于機(jī)械波的波動(dòng)方程與坐標(biāo)原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān), 為了簡(jiǎn)便起見(jiàn), 把坐標(biāo)原點(diǎn)取在邊界上, 則邊界上質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的合位移

現(xiàn)在由邊界上質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的合位移進(jìn)行分析.

(1) 當(dāng)機(jī)械波反射發(fā)生在弦線固定端的分界處時(shí), 因?yàn)樵撎庂|(zhì)點(diǎn)不能振動(dòng), 所以振幅等于零, 即

由此可知, 當(dāng)機(jī)械波在弦線固定端反射時(shí), 反射波在該處的位移要改變符號(hào), 這說(shuō)明反射波與入射波的相位在反射點(diǎn)正好相反, 也就表明在弦線固定端的分界處, 反射波的相位發(fā)生π的突變, 反射波的相位比入射波的相位落后π, 即存在半波損失.

(2) 當(dāng)機(jī)械波反射發(fā)生在弦線自由端的分界處時(shí), 由于自由端上的質(zhì)點(diǎn)在一邊沒(méi)有受到任何運(yùn)動(dòng)的阻力, 該處質(zhì)點(diǎn)較媒質(zhì)內(nèi)部的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)受到的阻力來(lái)說(shuō)就應(yīng)該減少一半, 因而其振幅加倍, 即

由此可見(jiàn), 機(jī)械波在弦線自由端的分界處反射時(shí), 反射波的位移在該處沒(méi)有改變符號(hào), 這表明在弦線自由端的分界處, 反射波與入射波的相位相同, 即不存在半波損失.

2 結(jié)束語(yǔ)

上述利用機(jī)械波的波動(dòng)方程對(duì)于機(jī)械波在弦線固定端或自由端發(fā)生反射時(shí)存在或不存在“半波損失”現(xiàn)象所作的證明過(guò)程很容易被讀者理解, 并且對(duì)于機(jī)械波傳至密度和彈性模量都不相同的兩種媒質(zhì)分界面時(shí), 反射波與入射波在反射點(diǎn)處的相位差是π或零的現(xiàn)象也可作出解釋. 密度和波速(與媒質(zhì)的彈性模量的平方根成正比)的乘積較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì),較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì). 當(dāng)機(jī)械波由較小的波疏媒質(zhì)傳播到較大的波密媒質(zhì)的分界面上反射時(shí), 這就相當(dāng)于機(jī)械波在弦線固定端反射,反射波的相位發(fā)生的改變, 即存在半波損失. 反之, 若機(jī)械波由較大的波密媒質(zhì)傳播到較小的波疏媒質(zhì)分界面上反射時(shí), 這就相當(dāng)于機(jī)械波在弦線自由端反射, 反射波的相位不變, 則無(wú)半波損失了.

[1] 張三慧. 大學(xué)物理學(xué) 力學(xué) 熱學(xué)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2008: 230

[2] 吳百詩(shī). 大學(xué)物理[M]. 下冊(cè). 北京: 科學(xué)出版社, 2005: 163

[3] 徐 超, 劉修生. 大學(xué)物理[M]. 上冊(cè). 北京: 科學(xué)出版社, 2006: 124

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[5] 張丹海, 洪小達(dá). 簡(jiǎn)明大學(xué)物理[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2005: 303

Harmonic Wave Analysis of “half wave loss” of the Mechanic Wave

XU Shi-chi
(East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China )

Using the wave equation of the mechanic wave, this paper analyses the “half wave loss” phenomenon existing or non-existing when the reflection of mechanic wave at the fix end or free end of string happens.

wave equation; phase; half wave loss

O321

A

1672-5298(2010)03-0049-02

2010-05-18

徐詩(shī)池(1953- ), 男, 江西九江人, 華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院教授. 主要研究方向: 大學(xué)物理教學(xué)