□ 劉思韜 王慧斌

一、引言

臨界水深是判別明渠流態(tài)的一個重要指標，也是明渠水力學(xué)中基本水力要素之一。不同形式的過水?dāng)嗝?，其臨界水深的計算方法有所不同。在工程中，梯形斷面臨界水深hk的計算最常采用的計算方程是一元六次方程，通常采用試算法、圖解法、近似公式法和迭代法計算，這些方法均具有計算量大、精度不高等缺點。因此，本文采用蟻群算法對梯形明渠臨界水深進行計算。

二、蟻群算法簡介

在優(yōu)化領(lǐng)域，蟻群算法作為一類仿生計算方法正在迅速發(fā)展。蟻群算法由Dorigo等人提出，它具有開放性、魯棒性、并行性、全局收斂性等特點，適合求解諸如旅行商問題（Travelling Salesm an Problem,TSP）、車間調(diào)度、交通路由、資源分配、圖著色、大規(guī)模集成電路設(shè)計、通訊網(wǎng)絡(luò)中的路由問題以及負載平衡等問題。

由于梯形明渠臨界水深的計算屬于一維連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問題，因此，本文僅對一維連續(xù)函數(shù)優(yōu)化的蟻群算法進行介紹。設(shè)一維連續(xù)函數(shù)優(yōu)化的問題為：

其中f（x）：R→R為已知的一維函數(shù)，[x0，xf]為實軸上的已知解空間。

為實現(xiàn)蟻群算法的群體搜索過程，構(gòu)造如下的轉(zhuǎn)移概率準則：設(shè)m只人工螞蟻，剛開始隨機位于解空間[x0，xf]的n個等分區(qū)域的某些位置處，各個區(qū)域間螞蟻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率定義為：

其中，τj為區(qū)域j的吸引強度；期望值ηij(啟發(fā)信息)定義為ηij=fjmax-fimax；參數(shù)α、β均為定值，其中α為吸引強度啟發(fā)式因子，β為期望值啟發(fā)式因子。區(qū)域j吸引強度的更新方程為：

于是函數(shù)f(x)的尋優(yōu)問題就借助于m只螞蟻在x∈[x0,xf]的n個等分區(qū)域間的不斷地移動，以及一些區(qū)域內(nèi)的局部隨機搜索來進行，處在區(qū)域i中的螞蟻k的轉(zhuǎn)移及其搜索規(guī)則為：

否則，在第i區(qū)域內(nèi)進行隨機搜索

可見，每只螞蟻要么以上述規(guī)則從當(dāng)前區(qū)域轉(zhuǎn)移到其它區(qū)域中作局部隨機搜索，要么在當(dāng)前區(qū)域內(nèi)進行局部隨機搜索。一旦螞蟻的群體數(shù)目足夠大，上述的尋優(yōu)方式就相當(dāng)于一群螞蟻對定義域[x0,xf]中的函數(shù)f(x)進行有窮盡的且在先驗知識引導(dǎo)下的隨機搜索，并最終收斂到問題的全局最優(yōu)解。

三、梯形明渠臨界水深的計算

臨界水深計算的基本公式為：

式（6）中，α為動能修正系數(shù)；Q為過水流量；g為重力加速度；Ak為相應(yīng)臨界水深的過水?dāng)嗝?；Bk為相應(yīng)于臨界水深時的水面寬度。

式（7）中，hk為臨界水深；b為梯形斷面底寬；單寬流量q=Q/b；m1,m2分別為梯形斷面兩側(cè)的邊坡系數(shù)。

求解梯形明渠臨界水深hk等價于求解下面非線性優(yōu)化問題：

式(8)中，f(hk)優(yōu)化目標函數(shù)；hk為優(yōu)化變量；hR為與梯形斷面底寬相同的矩形斷面明渠的臨界水深。

為考察蟻群算法在梯形斷面明渠臨界水深計算問題上的優(yōu)化性能，在此選取參考文獻[4]中的例1為算例（以便與其比較）：已知梯形明渠底寬b=10 m，梯形斷面兩側(cè)的邊坡系數(shù)m1=m2=1，動能修正系數(shù)α=1，重力加速度g=9.81 m2/s，求解臨界水深hk。將蟻群算法的優(yōu)化結(jié)果與相振國等的近似公式法、金菊良等的加速遺傳算法（AGA）在該算例上的求解結(jié)果進行比較，判斷蟻群算法優(yōu)化梯形斷面明渠臨界水深的性能。

在本文的蟻群算法中，有關(guān)算法參數(shù)的取值為：螞蟻在搜索中釋放的信息素密度Q=0.5，吸引強度持久性系數(shù)ρ=0.8，吸引強度啟發(fā)式因子α=1，期望值啟發(fā)式因子β=1，解空間分區(qū)數(shù)n=30，參與搜索的螞蟻數(shù)為m=40，求解結(jié)果見表1。

表1 采用不同方法計算梯形明渠臨界水深的結(jié)果比較

由表1可見，本文所選用的蟻群算法在求解梯形明渠臨界水深問題時，與加速遺傳算法（AGA）和近似公式法相比，可以得到全局最優(yōu)解，并且蟻群算法適應(yīng)性強，且易于形成通用的計算機程序，算法穩(wěn)定，收斂速度快，因此總體效果優(yōu)于加速遺傳算法和近似公式法。

四、結(jié)論

由本文的算例可知，蟻群算法是一種收斂速度快、算法穩(wěn)健、計算過程簡單、易于形成通用的計算機程序的非線性全局優(yōu)化方法。在求解梯形明渠臨界水深問題時，其優(yōu)化效果明顯的優(yōu)于傳統(tǒng)的近似公式法和加速遺傳算法，因此，可以將蟻群算法引用到水利工程中的梯形明渠臨界水深的計算中。除此之外，蟻群算法還可用于水利工程中的許多優(yōu)化問題，如天然河道水面線的推求、溢流壩收縮斷面水深的計算等。蟻群算法將為水利工程的優(yōu)化問題提供一種新的有效的優(yōu)化方法。■