呂巍然,王君苓,陳院生,李曉靜

(中國石油大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,山東東營 257061)

一類非齊次微分方程解的增長性

呂巍然,王君苓,陳院生,李曉靜

(中國石油大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,山東東營 257061)

研究一類非齊次線性微分方程 f(k)+ak-1f(k-1)+…+a1f′-(eQ(z)-h0)f=1(k≥1)解的增長性,其中 aj(j=1,2,…,k-1)為常數(shù),Q(z)為非常數(shù)多項(xiàng)式,h0為超越慢增長整函數(shù)。利用所得結(jié)果,還可以給出有關(guān)亞純函數(shù)唯一性的結(jié)果。

微分方程;整函數(shù);增長級(jí);超級(jí)

1 問題的提出

本文中使用值分布理論的基本概念和標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)[1-4]:用 T(r,f)表示亞純函數(shù) f(z)的特征函數(shù),用m(r,f)表示 f(z)的均值函數(shù)等。特別地,用記號(hào)σ(f)和σ2(f)分別表示亞純函數(shù) f(z)的增長級(jí)和超級(jí)[4,5]。假設(shè) f(z)和 g(z)是非常數(shù)亞純函數(shù),a為任意復(fù)數(shù)。如果 f(z)-a與 g(z)-a的零點(diǎn)相同,而且每個(gè)零點(diǎn)的重級(jí)也相同,則稱 a為 f(z)與 g (z)的 CM公共值[4-6]。

對(duì)于集合 E?R+,用λ(E)表示 E的對(duì)數(shù)測度,用χE(t)表示集合 E在 R+上的特征函數(shù),則可以定義集合 E的上對(duì)數(shù)密度和下對(duì)數(shù)密度如下:

考慮微分方程

的增長級(jí)問題,其中Q(z)是非常數(shù)多項(xiàng)式。

楊連中教授[7]證明了定理A。

定理 A 非齊次微分方程(1)的任意解必為無窮級(jí)整函數(shù)。

考察微分方程

不難發(fā)現(xiàn)方程(1)是方程(2)的特殊情況,本文中將繼續(xù)研究方程(2)的解具有怎樣的增長性。

對(duì)于 h0為常數(shù)的特殊情況,王珺曾給出有關(guān)方程解的增長性及其應(yīng)用[6],并證明了如下結(jié)果:

定理 B 如果 h0為常數(shù),則微分方程 (2)的任意非零解 f(z)滿足σ(f)=1或σ(f)=∞,且任意具有無窮級(jí)的解其超級(jí)為不大于 degQ的正整數(shù);

定理 1 如果 h0為超越慢增長整函數(shù),則微分方程 (2)的任意非零解 f(z)滿足σ(f)=∞。

把函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來研究函數(shù)的唯一性,也是亞純函數(shù)值分布論中一個(gè)重要的研究方向,且大多數(shù)僅僅涉及一階導(dǎo)數(shù)或者 k階導(dǎo)數(shù)[4]。本文中把相關(guān)結(jié)果推廣到亞純函數(shù) f的線性微分多項(xiàng)式。

2 主要引理

引理 1[9]假設(shè) g(z)是整函數(shù),且級(jí)σ(g)= σ,vg(r)是 g的中心指標(biāo),那么

(i)如果δ(P,θ)>0,則

(ii)如果δ(P,θ)<0,則

3 定理 1的證明

由線性微分方程的復(fù)振蕩基本理論可知,方程(2)的所有解為增長級(jí)不小于 degQ的超越整函數(shù)。事實(shí)上,設(shè) f(z)為方程 (2)的解,顯然 f(z)為整函數(shù),并且根據(jù)函數(shù)級(jí)的性質(zhì)知道σ(f)≥σ(eQ)= degQ。對(duì)于方程 (2)的增長級(jí)不小于 1的解 f(z),下面將用反證法證明 f具有無窮增長級(jí)。首先假設(shè)σ(f)<∞。

改寫(2)為

根據(jù)W iman-Valiron理論[9,12-13],可知

其中κ>0為常數(shù)。

由上極限和下極限的基本性質(zhì),有

由此和式(9)可知,下式成立:

因?yàn)?f是超越整函數(shù),易知M(r,f)→∞(r→∞).由此,將式 (9),(10)和 (13)代入式 (8),故可知當(dāng) n充分大時(shí),有

這與 h0超越矛盾。從而可知存在 j0(1≤j0≤m),使得δj0(Q,θ0)≠0?？烧业?j0使得滿足 j>j0的 j,有δj(Q,θ0)≠0。那么存在兩種情形:(i)δj0(Q,θ0)< 0;(ii)δj0(Q,θ0)>0。

這與 h0超越矛盾。

根據(jù)引理 2,式(17)顯然與σ(f)<∞矛盾。

定理1證畢。

4 定理 2的證明

首先根據(jù) CM公共值的定義和 Hadamard分解定理,有

其中Q(z)為多項(xiàng)式。假設(shè) Q(z)不為常數(shù),可將式(18)展開為式 (2),利用定理 1的結(jié)果得到σ(f)=∞與條件σ(f)<∞矛盾,所以Q(z)只可能為常數(shù)b。令 c=eb,定理 2證畢。

[1] HAY MAN W.Meromorphic function[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[2] LA I NE I.Nevanlinna theory and complex differential equation[M].Berlin:Walter de Gruyter,1993.

[3] 楊樂.值分布論及其新研究[M].北京:科學(xué)出版社, 1982.

[4] 儀洪勛,楊重駿.亞純函數(shù)唯一性理論 [M].北京:科學(xué)出版社,1995.

[5] 呂巍然,王珺.具有三個(gè)公共值亞純函數(shù)惟一性問題的注記 [J].石油大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,28 (1):119-121.

LüWei-ran,WANG Jun.Remarks on the problem of uniqueness ofmeromorphic functions sharing three values [J].Journal of the University of Petroleum,China(Edition ofNaturnal Science),2004,28(1):119-121.

[6] 張同對(duì),呂巍然.涉及導(dǎo)數(shù)的亞純函數(shù)的惟一性[J].中國石油大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,31(6):130-134.

ZHANG Tong-dui,LüWei-ran.On uniquenessof derivatives of meromorphic functions[J].Journal of China University of Petroleum (Edition of Naturnal Science), 2007,31(6):130-134.

[7] YANGL Z.Solutionsof a differential equation and its application[J].KodaiMath J,1999,22:458-464.

[8] 王珺.關(guān)于一類非齊次線性微分方程解的增長性及其應(yīng)用[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào),2003,27(2):115-117.

WANG Jun.The growth of solutions of some non-homogeneous linear differential equations and its application [J].Journalof JiangxiNor malUniversity,2003,27(2): 115-117.

[9] VAL I RON G.Lectures on the General Theory of Integral Functions[M].New York:Chelsea,1949.

[10] BARRY P D.On a theorem ofBesicovitch[J].Quart J Math Oxford Ser,1963,14:293-302.

[11] CHEN Z X.The zero,pole and order of meromorphic solutions of differential equationswithmeromorphic coefficients[J].KodaiMath J,1996,19:341-354.

[12] HAY MAN W.The local growth of power series:a survey of the W iman-Valiron method[J].Canad Math Bull,1974,17:317-358.

[13] 何育贊,肖修治.代數(shù)體函數(shù)與常微分方程[M].北京:科學(xué)出版社,1988.

(編輯 修榮榮)

Growth of solutions of some non-homogeneous differential equations

LüWei-ran,WANG Jun-ling,CHEN Yuan-sheng,L IXiao-jing
(College of M athem atics and Com putational Science in China University of Petroleum,Dongying257061,China)

The growth of solutions off(k)+ak-1f(k-1)+…+a1f′-(eQ(z)-h0)f=1(k≥1)withaj(j=1,2,…,k-1)constants is studied,whereQ(z)is a non-constant polynomial andh0is transcendental slowly growth entire function.The uniqueness ofmeromorphic functionswas obtained on basis of this.

differential equation;entire function;order;hyper order

O 174.5

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2010.02.034

1673-5005(2010)02-0166-03

2009-02-10

呂巍然(1962-),男(漢族),山東沾化人,教授,博士,研究方向?yàn)閺?fù)分析。