亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        關(guān)于樹的第二個最大特征值

        2010-09-06 02:03:42譚尚旺姜靜靜
        關(guān)鍵詞:上界石油大學(xué)分支

        譚尚旺,姜靜靜

        (中國石油大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,山東東營 257061)

        關(guān)于樹的第二個最大特征值

        譚尚旺,姜靜靜

        (中國石油大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,山東東營 257061)

        樹;匹配;譜半徑;第二個最大特征值

        1 問題的提出

        設(shè) G是具有 n個頂點(diǎn)的無向簡單圖。記 G的鄰接矩陣為A(G),稱 A(G)的特征多項(xiàng)式 det(λE -A(G))為 G的特征多項(xiàng)式,記為 φ(G,λ)。既然A(G)是一個實(shí)對稱矩陣,于是它的特征值都是實(shí)數(shù),不妨設(shè)它們按照不降的次序排列為

        稱λk(G)是 G的第 k個最大特征值,稱λ1(G)為 G的譜半徑。

        G的兩個不同邊在 G中稱為獨(dú)立的,如果它們在G中不鄰接。G的一個兩兩獨(dú)立的邊集合稱為G的一個匹配,邊數(shù)最多的匹配稱為 G的最大匹配并且一個最大匹配的邊數(shù)稱為 G的匹配數(shù)。令M是 G的一個最大匹配,如果 G的頂點(diǎn) v與M中的一個邊關(guān)聯(lián),則稱 v被M飽和;如果 G的每個頂點(diǎn)都被M飽和,則稱M是 G的一個完美匹配。

        二部圖的特征值在量子化學(xué)理論中有其物理意義[1]。Cvetkovic′D M曾經(jīng)指出了圖譜理論的幾個進(jìn)一步研究的方向,其中之一就是對圖進(jìn)行分類和定序 (classifying and ordering graphs)[2]。既然樹是特殊的二部圖并且它在圖論中起著重要的作用,于是研究樹的圖論性質(zhì)與它的特征值之間的關(guān)系是有意義和必要的。

        令 T(n,i)表示頂點(diǎn)數(shù)為 n且匹配數(shù)為 i的所有樹的集合。長期以來,許多學(xué)者一直利用樹的譜半徑對樹定序[3-7]。但是,如何利用樹的其他特征值對樹進(jìn)行定序的研究較少。特別是利用樹的第二個最大特征值對 T(n,i)中的樹進(jìn)行定序取得的結(jié)論更少,目前只有當(dāng) n=2i,2i+1,2i+2時有幾個結(jié)論被得到[8-11]。

        文獻(xiàn)[11]中證明了下述結(jié)論:對 T∈T(4n-1, 2n-1),都有

        并且該上界是可達(dá)的。文獻(xiàn)[11]中猜想:在 T(4n -1,2n-1)中,只有 4個樹的第二個最大特征值能夠達(dá)到該上界。本文中證明該猜想的正確性,并且對 T∈T(4n-1,2n-1),給出λ2(T)的 3個新的上界并確定達(dá)到上界的所有樹。貫穿全文,令 o(G)表示圖 G的頂點(diǎn)數(shù),i(G)表示 G的匹配數(shù),G?H表示圖G和H同構(gòu)。特別記

        引理 1[1]令 vu是樹 T的一個邊,則 φ(T,λ) =φ(T-vu,λ)-φ(T-v-u,λ)。

        文獻(xiàn)[5-7]中研究了 T(n,i)中樹的譜半徑,綜合這 3個文獻(xiàn)的結(jié)論有下面的引理。

        圖 1 譜半徑最大的前六個樹Fig.1 The first six trees with the largest spectral radius

        引理 4[1]令 G是頂點(diǎn)數(shù)為 n的無向圖,V′是G的一個 k點(diǎn)子集,G-V′表示從G中刪去V′中的所有頂點(diǎn)以及與 V′中的點(diǎn)關(guān)聯(lián)的所有邊后得到的 G的子圖,則

        2 主要結(jié)論及證明

        由于

        由引理 2知,λ1(T32n,n)是方程φ(λ)=0的最大正根,其中

        由于

        由引理 2知,λ1()是方程ω(λ)=0的

        最大正根,其中

        由于

        令Wj(j=1,2,…,20)是圖 2中所示的樹,記ξj=λ(λ2-1)2n-j, θ(s,t)=λ4-sλ2+t.

        圖 2 T(4n-1,2n-1)中的 20個樹Fig.2 Twenty trees ofT(4n-1,2n-1)

        由引理 1,容易得到λ2θ(2,1)]-(λ2-1)θ(n,1)θ(n,2)}.

        引理 6 如果 n≥8,則

        (1)λ2(Wj)=δn+1,8,j=1,2,3,4。

        (2)δn+1,11+εn<λ2(W7)<λ2(W6)<λ2(W5)< δn+1,8,其中λ2(W5),λ2(W6)和λ2(W7)依次是下面方程的第二大正根:

        (3)λ2(Wj)<δn+1,11+εn,j=8,9,…,20.

        證明 (1)對 j=1,2,3,4,容易發(fā)現(xiàn)

        并且由引理 4知,

        因此,λ2(Wj)=δn+1,8。

        于是 f(λ)的 4個正根分別位于區(qū)間 (0,βn+1,4), (βn+1,4,μ), (μ,δn+1,10), (δn+1,10,+∞)內(nèi),即

        因此,對 j=5,6,有

        由 φ(W5,λ)和 φ(W6,λ)得

        于是對δn+1,10<λ<δn+1,8,都有 φ(W5,λ)>φ(W6, λ)。因此,由上面的討論得

        由式 (1)和式 (2)知,δn+1,11+εn<λ2(W7)<λ2(W6) <λ2(W5)<δn+1,8。

        由上面的討論,對 j=8,9,…,20,都有λ2(Wj)< δn+1,11+εn。

        引理 7 令 T是一個樹,o(T)≤2n-2并且 T至多有兩個頂點(diǎn)不被它的某個最大匹配M飽和。如果 n≥6,則λ1(T)<δn+1,11+εn。

        證明 如果 o(T)是奇數(shù),記 o(T)=2s-1,則 s≤n-1且 i(T)=s-1。由引理 2得

        如果 o(T)是偶數(shù),記 o(T)=2s,則 s≤n-1且 i(T) =s,s-1。由引理 2得

        定理 1不僅證明了文獻(xiàn) [11]中提出的猜想是正確的,而且也給出了λ2(T)的 3個新的上界。

        定理 1 令 n≥9,Jk={Wj:j=1,2,…,k}并且T∈T(4n-1,2n-1)。

        (1)λ2(T)≤δn+1,8,并且等式成立,當(dāng)且僅當(dāng) T∈J4。

        (4)如果 T?J6,則λ2(T)≤λ2(W7),并且等式成立,當(dāng)且僅當(dāng) T?W7。

        證明 假設(shè) T?J20,由引理 6,只需要證明下式:

        在引理3中取 k=2n-1,則存在一個頂點(diǎn) v∈V(T),使得 T-v的每個分支,記為 Tj(j=1,2,…,l),都有 o(Tj)≤2n-1。由引理 4得

        如果 Tj有完美匹配,記 o(Tj)=2sj,則 i(Tj)=sj≤n -1。由引理 2得

        令M是 T-v的一個最大匹配,則 T-v至多有兩個頂點(diǎn)不被M飽和。區(qū)分下面 3種情形。

        情形 1 設(shè) T-v的每個頂點(diǎn)都被M飽和。

        對 j=1,2,…,l,因?yàn)槊總€ Tj有完美匹配,所以式(5)都成立。因此,由式 (4)知,式(3)成立。

        情形 2 設(shè) T-v有兩個頂點(diǎn)不被M飽和并且它們在 T-v的同一個分支中。

        不失一般性,假設(shè) T1有兩個頂點(diǎn)不被M飽和,而 T-v的其他分支 Tj(j=2,3,…,l)都有完美匹配。令 o(T1)=2s1,則 s1≤n-1且 i(T1)=s1-1。由引理2得

        因此,結(jié)合式(5)和式(4)知,式(3)成立。

        情形 3 設(shè) T-v有兩個頂點(diǎn)不被M飽和并且它們在 T-v的不同分支中。

        不失一般性,假設(shè) T1和 T2都各有一個頂點(diǎn)不被M飽和,而 T-v的其他分支 Tj(j=3,4,…,l)都有完美匹配。對 j=1,2,令 o(Tj)=2sj-1,則 sj≤n且 i(Tj)=sj-1。

        對 j=1,2,如果 sj≤n-1,則由引理 2得

        對 j=1,2,如果 sj=n且 Tj,則由引理2和引理5得

        因此,當(dāng) T1并且 T2時,由式 (5)和式 (4)知,式 (3)成立。不妨設(shè) T1?。令u是 v在 T1中的唯一鄰接頂點(diǎn),則存在 T-u的一個分支,比如說,包含并且 o()=2n,而 T -u的其他分支,比如說(j=2,3,…,r),都滿足o()≤2n-2。令是 T-u的一個最大匹配,則對 j=1,2,…,r,至多有兩個頂點(diǎn)不被 ~M飽和。由引理4得

        由引理 7,對 j=2,3,…,r,都有

        如果則 T∈J16,這與 TJ20矛盾。因此于是由引理 2和引理 5得λ1()≤ λ1()<δn+1,11+εn。因此,由式 (6)和式 (7)知,式(3)成立。

        根據(jù)上面 3種情形,完成了式(3)的證明。

        注釋:當(dāng) n=8時,用 2.945 19代替引理 5~7和定理 1中的δn+1,11+εn,相應(yīng)的結(jié)論也都成立。因此,定理 1的結(jié)論對 n=8也成立。

        [3] HOFMEISTER M.On the two largest eigenvalues[J]. LinearAlgebra Appl,1997,260:43-59.

        [4] CHANGA,HUANGQ X.Ordering trees by their largest eigenvalues[J].Linear Algebra Appl,2003,370:175 -184.

        [5] HOU Y P,L I J S.Bounds on the largest eigenvalues of treeswith a given size of matching[J].Linear Algebra Appl,2001,342:203-217.

        [6] 譚尚旺,郭紀(jì)明.樹的最大特征值 [J].石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2002,26(6):113-117.TAN Shang-wang,GUO Ji-ming.The largest eigenvalue on trees[J].Journal of the University of Petrolum (Edition ofNatural Science),China,2002,26(6):113 -117.

        [7] 譚尚旺.給定邊獨(dú)立數(shù)的樹的譜半徑的新上界 [J].廣西工學(xué)院學(xué)報,2008,19(1):13-17.

        TAN Shang-wang.On the new upper bounds of spectral radius of trees given edge independence number[J]. Journal of Guangxi Unversity of Technology,2008,19 (1):13-17.

        [8] GUO J M,TAN SW.A conjecture on the second largest eigenvalue of a tree with perfect matchings[J].Linear Algebra Appl,2002,347:9-15.

        [9] GUO JM,TAN SW.A note on the second largest eigenvalue of a tree with perfectmatching[J].LinearAlgebra Appl,2004,380:125-134.

        [10] 譚尚旺,郭紀(jì)明.樹的第二個最大特征值[J].數(shù)學(xué)研究與評論,2004,24(3):541-548.

        TAN Shang-wang,GUO Ji-ming.The second largest eigenvalues of trees[J].Journal of Mathematical Research and Exposition,2004,24(3):541-548.

        [11] TAN Shang-wang,GUO Ji-ming.The second largest eigenvalue of trees[J].Australasian Journal of Combinatorics,2006,34:313-320.

        [12] SHAO J Y.Bounds on the kth eigenvalues of trees and forests[J].LinearAlgebra Appl,1991,149:19-34.

        (編輯 修榮榮)

        On the second largest eigenvalue of trees

        TAN Shang-wang,J IANG Jing-jing
        (College of M athem atics and Computational Science in China University of Petroleum, Dongying257061,China)

        trees;matching;spectral radius;the second largest eigenvalue

        O 157.5

        A

        10.3969/j.issn.1673-5005.2010.02.035

        1673-5005(2010)02-0169-06

        2009-06-20

        國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10871204)

        譚尚旺(1965-),男(漢族),山東泰安人,教授,碩士,研究方向?yàn)閳D論。

        猜你喜歡
        上界石油大學(xué)分支
        砥礪奮進(jìn)中的西南石油大學(xué)法學(xué)院
        砥礪奮進(jìn)中的西南石油大學(xué)法學(xué)院
        巧分支與枝
        一個三角形角平分線不等式的上界估計
        一道經(jīng)典不等式的再加強(qiáng)
        一類擬齊次多項(xiàng)式中心的極限環(huán)分支
        東北石油大學(xué)簡介
        Nekrasov矩陣‖A-1‖∞的上界估計
        生成分支q-矩陣的零流出性
        《中國石油大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》2013年第37卷總目錄
        亚洲色图第一页在线观看视频| 国产av旡码专区亚洲av苍井空| 和外国人做人爱视频| 在线观看av永久免费| 99久久久精品免费| 日韩精品一区二区三区视频| 东北熟妇露脸25分钟| 国产乱人无码伦av在线a| 无码免费一区二区三区| 日本亚洲欧美在线观看| 亚洲国产日韩精品综合| 亚洲精品国产综合久久| 欧美日本精品一区二区三区| 亚洲精品美女久久久久久久| 又爽又黄无遮挡高潮视频网站| 91精品亚洲一区二区三区| 视频区一区二在线观看| 最新欧美精品一区二区三区| 女人高潮被爽到呻吟在线观看| 亚洲精品综合第一国产综合| 国产免费视频一区二区| 国产精品一区二区熟女不卡| 青青草原亚洲| 青草国产精品久久久久久| 亚洲国产高清美女在线观看| 久久久噜噜噜久久熟女| 日本免费视频| 国产精品免费观看久久| 亚洲人成网站久久久综合| 手机免费在线观看日韩av| 国产在线播放一区二区不卡| 亚洲一区 日韩精品 中文字幕 | 亚洲狠狠婷婷综合久久久久| 中文字幕精品久久久久人妻红杏ⅰ | 精品久久综合日本久久综合网| 男人和女人做爽爽免费视频| 69久久夜色精品国产69| 亚洲乱码一区AV春药高潮| 一本大道久久a久久综合精品| 国产高清av在线播放| 亚洲∧v久久久无码精品|