潘根安, 肖 箭

(1.合肥師范學院數(shù)學系,安徽合肥230061;2.安徽大學計算科學學院,安徽合肥230039)

關于交錯錐的三維合作系統(tǒng)平衡點存在性問題

潘根安1, 肖 箭2

(1.合肥師范學院數(shù)學系,安徽合肥230061;2.安徽大學計算科學學院,安徽合肥230039)

研究關于交錯錐的三維合作系統(tǒng)平衡點存在性問題,得到定理1:設 f是D上一個連續(xù)可微的 K3型合作向量場,其中 D是 P3凸的。若 K為系統(tǒng)˙x=F(x),x∈X?R3的閉軌道,則有:(a)系統(tǒng)(3)一定存在兩平衡點 p,q,使得 p下與 K上任何點不相關;(c)集合 A(K)一定存在一個不穩(wěn)定的平衡點v。

競爭系統(tǒng);合作系統(tǒng);平衡點;流形;K3錐

1 引言

通過對合作系統(tǒng)和競爭系統(tǒng)的研究,知道解映射保持 R3+(R3-)產(chǎn)生的,因此考慮除 R3+及 R3-以外的其他的錐,可以擴大三維合作系統(tǒng)的研究范圍。1952年L.P.Burton和U.M.Whyburn引入錐

且xj≤0,k+1≤j≤n},

顯然當k=n時

當k=0時

Smith在文[1]中考慮一般的錐 Km,Km={x∈Rn:(-1)mixi≥0,1≤i≤n},其中 m=(m1,m2,…, mn),mi∈{01}。Km是Rn上的一個錐,其由此產(chǎn)生的偏序為:

x≤my,即 y-x∈Km?當 mi=0時,xi≤yi,且當 mi=1時,yi≤xi;x

x?my,即 y-x∈int K?當 mi=0時,xi

考慮三維系統(tǒng)的錐 K3,定義偏序:

x≤K3y,即 y-x∈K3?當 mi=0時,xi≤yi,且當 mi=1時,yi≤xi;

x

x?K3y,即 y-x∈int K?當 mi=0時, xi< yi,且當 mi=1時,yi

記 P為一個對角矩陣,且 P=diag{(-1)m1, (-1)m2,…,(-1)mn},易知 P=P-1,則有 x

定義1 若?x,y∈D?R3,0

定義2 考慮方程

其中f是D?R3上連續(xù)可微向量場,D為 P3凸的。若(-1)mi+mj≥0,i≠j,x∈D,則稱(1)是K3錐的合作系統(tǒng),或稱(1)為 K3型合作系統(tǒng)。若(-1)mi+mj≤0,i≠j,x∈D,則稱(1)是關于 K3錐的競爭系統(tǒng),或稱為 K3型競爭系統(tǒng)。

注:這里給出一種判斷在區(qū)域 D(D是 P3凸的)上的系統(tǒng)是 K3型合作系統(tǒng)還是 K3型競爭系統(tǒng)的方法。

命題1 在 K3錐上的合作系統(tǒng)(1)中用0,有 φt(x)

證明 因為D是P3凸的,所以 PD是P3凸的,其中

令

再令

顯然

故有

其中

由同序性可知

命題2 考慮系統(tǒng)(1)及其對應的系統(tǒng)(2),可知:

(1)若ω(x)是系統(tǒng)(1)的極限集,則ω(y)是系統(tǒng)(2)的極限集,其中 y=Px,且ω(x)=Pω(y);

(2)若u是系統(tǒng)(1)的平衡點,則 Pu是系統(tǒng)(2)的平衡點。

因為

所以

(2)由 u是系統(tǒng)(1)的平衡點知道:對?t>0,有φt(u)=u。所以

故 Pu是系統(tǒng)(2)的平衡點。

命題3 考慮系統(tǒng)

設 F:X→R3是一個C1的 K3型合作向量場。假設如下條件成立:

(a)X=R3,或intR3+,或[[p,q]]K3;

(b)X中每個正半軌有緊閉包;

則有:

(1)ω(x)中不能存在兩點 u,v,滿足 u?K3v;

(2)存在 T>0,滿足 x(T)K3≥x(0)或 x(T)≤K3x(0),則ω(x)為一閉軌線,且周期為 T;

(3)若y∈ω(x),且 xy,則 y是平衡點。

2 K3型合作系統(tǒng)的平衡點問題

考慮 K3型合作系統(tǒng),基于文[7]中定理的相應的條件,亦能得到相同的結果,主要考慮三維交錯錐合作系統(tǒng)的平衡點,目的把文[7]的一些結果推廣到交錯錐上進行研究和探討。

引理1[7]設 x∈X且 p0,q0分別為周期軌道K的下確界和上確界,則有ω(p0)={p},ω(q0)= {q}并且滿足

p≤K3p0≤K3K≤K3q0≤K3q且 p0

引理2[7]設在[p,q]中所有平衡點都是單點集,p和q是兩個平衡點且按照上面的方式定義,則[[p,q]]包含一系列的平衡點且它們的指標之和為+1。

定理1 設f是D上一個連續(xù)可微的 K3型合作向量場,其中D是P3凸的。若 K為系統(tǒng)

的閉軌道,則有:

(a)系統(tǒng)(3)一定存在兩平衡點 p,q,使得 p

(b)開序區(qū)間[[p,q]]K3中一定存在一個平衡點u,使得它在序關系下與 K上任何點不相關;

(c)集合 A(K)一定存在一個不穩(wěn)定的平衡點v。

證明 證明(a)由引理1知系統(tǒng)(3)確實存在兩個平衡點 p,q,有 p

(b)記a=p和b=q,顯然 K?[[p,q]]K3和 A (K)?[[p,q]]K3,因此知開序區(qū)間[[p,q]]中存在一個平衡點 u,滿足它在關系K3下與 K上的任何點不相關。這就證明了結論(b)。

(c)僅證明集合A(K)含有有限個平衡點情形,其余情形類似。以下分兩種情況討論:

首先,假設存在兩點 u,v∈A(K)∩E滿足u≤K3v以及區(qū)間[u,v]K3不含有其它任何平衡點。則由引理2知有 u

其次,假設集合A(K)中任何兩個不相同的點在關系≤K3下不相關?，F(xiàn)給定點 u∈A(K)∩E,我們定義

易知集合B為非空、有下界的。于是再定義

[1] Smith.H.L.Periodic orbits of competitive and cooperative system[J].J.Differential Equations,1986,65:361-373.

[2] Taká èP.Convergence to equilibrium on invariantd-hypersurfaces for strongly increasing discrete-time semigroups[J].J. Math.Anal.Appl,1990,148:223-244.

[3] Dancer E N and Hess P.Stability of fixed points for orderpreserving discrete-time dynamic system[J].J.Reine Angew. Math,1991,419:125-139.

[4] M.W.Hirsch.Systems of differential equations that are competitive or cooperative V:Convergence in 3-dimensional systems[J].J.Differential Equations,1989,80:94-106.

[5] 肖箭.關于具有不變函數(shù)的自治系統(tǒng)周期的幾個問題[J].安徽大學學報,1999,3:5-8.

[6] 肖箭,黃順林.關于Hirsch和Jiang的全局穩(wěn)定性定理的注記[J].安徽大學學報,2002(4):1-4.

[7] 潘根安,肖箭.關于三維不可約合作系統(tǒng)的平衡點與周期軌道[J].安徽大學學報,2006.3:14-16.

Equilibrium Points of Three-dimensional Cooperative Systems on Staggered Cone

PAN Gen-an1, XIAO Jian2

(1.Department of Mathematics,Hef ei Normal University,Hef ei230061,China; 2.School of Computer Science,A nhui University,Hef ei230039,China)

In this paper,we study the existent problem of three-dimensional cooperation system’s equilibrium point on staggered cone.Then the theorem 1:is obtained:letfbe a continued differentiable vector K3field onD,which isP3convex.IfKis a closed orbit of system(3),one can obtain the resnlts as follows:(a)there exists two pointsp,q∈Esuch thatp;(c)there exists an equilibriumv∈A(v),which is unstable.

competitive system;cooperative system;equilibrium;manifold;cone ofK3

O175

A

1674-2273(2010)06-0004-03

2010-03-08

安徽省高校自然科學基金(KJ2010B165);合肥師范學院重點項目(2010 kj04zd)

潘根安(1976-),男,安徽省壽縣人,碩士,合肥師范學院數(shù)學系教師;研究方向:微分方程定性理論;肖箭(1963-),男,安徽合肥人,碩士生導師,安徽大學計算科學學院,教授。研究方向:微分方程定性理論。