周武杰,楊春亭

(浙江科技學院信息與電子工程學院,浙江杭州310023)

0 引 言

近年來,混沌在數(shù)學、信息科學以及其它工程領域獲得了國內(nèi)外廣泛的重視,成為了非線性學科的一個熱點課題[1-6]。眾所周知,蔡氏電路已成為了理論和實驗研究混沌的一個范例[1,2]。在此基礎上,人們還研究了蔡氏電路的其它形式,如多渦卷蔡氏電路、MCK電路、變形蔡氏電路、網(wǎng)格多渦卷蔡氏電路、高階蔡氏多渦卷等電路[3-6]。特別是文獻6報道了用階躍函數(shù)序列構造了網(wǎng)格狀蔡氏混沌吸引子,為研究蔡氏網(wǎng)格混沌吸引子打下了基礎。在文獻6的基礎上,提出了一種變形的蔡氏網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)。本文利用蔡氏電路的對偶性,交換狀態(tài)方程右邊等式的x和z,用z來構造非線性函數(shù),再利用階躍函數(shù)對y方向上的擴展指標2鞍焦點,在這個方向上可產(chǎn)生奇數(shù)或偶數(shù)個混沌吸引子,那么從z-y平面上看到的吸引子成網(wǎng)格狀。對該系統(tǒng)進行計算機仿真,分析了系統(tǒng)的動力學問題,并對系統(tǒng)進行電路實驗。從計算機模擬、理論分析和硬件實驗,驗證了系統(tǒng)的混沌特性。

1 一種變形的蔡氏網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)動力學特性

1.1 變形蔡式多渦卷混沌系統(tǒng)的提出和計算機仿真

在文獻6研究蔡氏電路的基礎上,本文提出了一個新的變形蔡式網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng),其狀態(tài)方程可表示為：

式中,a=-10,b=-4～-6;f(z)為三角波函數(shù)序列,其數(shù)學表達式為：

式中,A＞0和ai∈(0,A](i=±1,±2,…,±I)稱為三角波參數(shù),ai又稱三角波的相對轉(zhuǎn)折點值,I為

為使式1在 y方向上產(chǎn)生具有奇數(shù)個渦卷的多渦卷混沌吸引子,構造階躍函數(shù)序列 g(y)=g2(y),其一般數(shù)學形式為：正整數(shù)。利用式2,可產(chǎn)生一維2I+1渦卷混沌吸引子。

為使式1在y方向上產(chǎn)生具有偶數(shù)個渦卷的多渦卷混沌吸引子,構造階躍函數(shù)序列g(y)=g1(y),其一般數(shù)學形式為：

式1-4中e,A1,A2,B,I,ai為方程參數(shù),進行計算機仿真,得n×m渦卷混沌吸引子的z-y的相圖,如圖1所示。

圖1 渦卷混沌吸引子

1.2 新系統(tǒng)動力學行為的分析

令式 1﹒x=﹒y=﹒z=0,得到系統(tǒng)的平衡點的方程為 ：

對式5方程的平衡點進行分析,得系統(tǒng)的平衡點為P±i,j=(jB-iA,jB,iA),其中,i=0,±1,±2,…,±I,

平衡點Pij對應的Jacobin矩陣為：

相應的特征方程為-λ3-λ2+(a+b)λ+abK=0,取參數(shù)A=1,a=0.125得K+=7,K-=-1。利用上式求得特征值為：

上述分析表明,在式1表示的混沌系統(tǒng)中,存在兩種不同類型的鞍點,其中平衡點P+為指標1的鞍點,而平衡點P-則為指標2的鞍點,通過以上分析,滿足Shilnikov定理,可在式1系統(tǒng)中形成混沌吸引子。

2 網(wǎng)格多渦卷變形蔡氏電路的分析及設計

根據(jù)式1-4,可設計網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的電路如圖24所示。以下對電路的設計的基本模塊進行說明。

圖2 三角波函數(shù)序列的電路圖

圖3 階躍函數(shù)序列的電路圖

圖4 產(chǎn)生網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的電路圖

根據(jù)式2中的有關參數(shù)A和三角波平衡點之間的關系,選取A=1作為一個典型的參數(shù)來設計電路,如圖2所示。

根據(jù)式3、4的有關參數(shù),設計了階躍函數(shù)序列的電路圖如圖3所示。它由3部分構成：反向比較器、壓縮器、反向器。

對式1的狀態(tài)方程進行電路整體的設計,整個電路由反相加法器、積分器和反相器3大模塊構成,電路結(jié)構對稱。

3 電路實驗結(jié)果

根據(jù)圖2～4所示電路進行硬件電路實驗,開關狀態(tài)、比較電壓的值和平衡點的電壓值如表1所示。硬件實驗結(jié)果如圖5所示,其中圖5(a)為3×3渦卷混沌吸引子,圖5(b)為3×4渦卷混沌吸引子,圖5(c)為5×4渦卷混沌吸引子,圖5(d)為5×4渦卷混沌吸引子。

表1 開關狀態(tài)、比較電壓、平衡點的電壓與渦卷數(shù)量的對應關系

4 結(jié)束語

在蔡式電路的基礎上,提出了一種用三角波函數(shù)序列和階梯波函數(shù)序列產(chǎn)生網(wǎng)格多渦卷變形蔡式混沌吸引子的一種電路設計與實現(xiàn)新方法。計算機數(shù)值模擬和電路實驗結(jié)果,證實了這一方案的可行性。為研究變形蔡氏電路提供的一種新的思想方法,同時也為混沌現(xiàn)象的研究和混沌保密通信提供了基礎。

圖5 渦卷混沌吸引子

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