馮冰

（廣東嶺南職業(yè)技術(shù)學(xué)院博雅教育學(xué)院，廣東廣州510663）

策略集擾動下Nash平衡的精煉

馮冰

（廣東嶺南職業(yè)技術(shù)學(xué)院博雅教育學(xué)院，廣東廣州510663）

通過定義一種策略集的擾動映射，引入一種新的穩(wěn)定Nash平衡的概念，并利用Ky Fan不等式定理的相關(guān)結(jié)果證明該穩(wěn)定Nash平衡的存在性.

ε－Nash平衡；χ－穩(wěn)定Nash平衡；擾動；精煉

1 引言及預(yù)知識備

為了研究方便，首先給出n人非合作對策的模型：

局中人集合：N＝｛1,…,n｝；

局中人的策略集：?i∈N，Xi是第i個局中人的策略集，其中X1,…,Xn分別為線性拓?fù)淇臻gE1,…, En中的子集；

若記對策P所有Nash平衡點(diǎn)的集合為E(f)，由文獻(xiàn)[1]中Nash平衡的存在性定理可知，當(dāng)局中人的支付函數(shù)和策略集滿足一定條件時，在一個對策P中，Nash平衡點(diǎn)并不是唯一的，也就是說E(f)通常都是非空集合，有時甚至可能是無窮的.滿足給定條件所得的Nash平衡，對于給定的具體問題而言有一些并不滿足合理性的要求，因此，人們總在試圖剔除某些不理想的Nash平衡，也就是對Nash平衡加以精煉，保留一些具有穩(wěn)定性的解.關(guān)于Nash平衡穩(wěn)定性問題的研究一直是對策論領(lǐng)域的一個熱點(diǎn)，國內(nèi)外學(xué)者通過考慮對策略集或支付函數(shù)的各種擾動，得到了一系列關(guān)于Nash平衡的精煉結(jié)果，具體可見文獻(xiàn)[2－4].本文中，筆者主要是運(yùn)用文獻(xiàn)[5]中關(guān)于Ky Fan點(diǎn)穩(wěn)定性研究所得的相應(yīng)結(jié)果來討論Nash平衡的穩(wěn)定性問題.

為了便于研究，下面先給出一些引理和定義.

引理1（Ky Fan不等式定理）設(shè)X為Hausdorff線性拓?fù)淇臻gE中的非空緊凸集，R為實數(shù)集，f：X×X→R滿足以下條件：

1）f(x,x)≤0，?x∈X；

則存在y*∈X，使得f(x,y*)≤0，稱引理1中y*為KF點(diǎn)，?x∈X.

設(shè)集值映射T：[0,1]→X，記int(X×X)為X×X的內(nèi)部，且T滿足以下條件：

Ⅰ）T：[0,1]→X是連續(xù)的，且?ε∈[0,1]，T(ε)×T(ε)是X×X的一個非空緊凸子集；

Ⅱ）T(0)×T(0)＝X×X，且當(dāng)0≤ε＜ε′≤1時，T(ε′)×T(ε′)?int T(ε)×T(ε).

又設(shè)映射G：T(ε)×T(ε)→R，其中ε∈[0,1]，且滿足以下條件：

Ⅲ）G(x,y)＝f(x,y)－ε，(x,y)∈T(ε)×T(ε).

Ⅳ）f(x,y)滿足Ky Fan不等式定理中的條件1），2），且對每一固定的是凹的.

定義1[5]稱映射對(T,G)是正則的，如果它滿足以上的條件Ⅰ），Ⅱ）和Ⅲ），Ⅳ）.

定義2[5]對于以上定義的映射對(T,G)，?ε∈[0,1)，如果?y∈T(ε)，使得f(x,y)≤ε，?x∈T(ε)，則稱點(diǎn)y∈T(ε)為函數(shù)f的近似KF點(diǎn)，記為ε－KF點(diǎn).

定義3[5]對于以上定義的映射對(T,G)，如果?εk＞0，k∈N，當(dāng)k→∞，εk→0時，有函數(shù)f的εk－KF點(diǎn)列yk→y*，同時T(ε)逼近X，且y*∈X為函數(shù)f的一個KF點(diǎn)，那么稱y*為函數(shù)f的穩(wěn)定KF點(diǎn)，記為(T,G)－穩(wěn)定KF點(diǎn).

引理2[5]設(shè)X為Hausdorff線性拓?fù)淇臻gE中的非空緊凸集，R為實數(shù)集，f：X×X→R，且(T,G)為一正則映射對，則函數(shù)f在X×X上存在(T,G)－穩(wěn)定KF點(diǎn).

2 主要結(jié)果

首先引入策略集的擾動映射χ：

設(shè)集值映射χi：[0,1]→Xi，i∈N，?ε∈[0,1]，記χ＝(χ1,…,χn)，X＝X1×X2×…×Xn，又記int(X1×X2×…× Xn)為X1×X2×…×Xn的內(nèi)部，且χi滿足以下條件：

定義5設(shè)映射χ滿足條件Ⅰ）和Ⅱ），如果?εk＞0，k∈N，當(dāng)k→∞，εk→0時，有對策P的εk－Nash平衡點(diǎn)列xk→x*，且x*∈X為(T,G)－穩(wěn)定KF點(diǎn)[5]，則稱x*為對策P的χ－穩(wěn)定Nash平衡點(diǎn).

定理1設(shè)映射χ滿足條件Ⅰ），Ⅱ），對策P(N;X;f)滿足：

1）對任意i∈N，Xi為Hausdorff線性拓?fù)淇臻g中的緊凸集；

則對策P存在χ－穩(wěn)定Nash平衡點(diǎn).

證首先，證明對策P的ε－Nash平衡點(diǎn)是存在的.

則容易驗證?xτ∈X(ε)，G(xτ,xτ)＝－nε＜0.

對每一yτ∈X(ε)，xτ→G(xτ,yτ)是下半連續(xù)的；

這時由φ(x′,yτ)≤nε，其中nε→0，并且函數(shù)φ滿足文獻(xiàn)[5]中的條件，則x′為ε－KF點(diǎn).

?εk＞0，當(dāng)k→∞，nεk→0時，任取對策P的εk－Nash平衡點(diǎn)列｛xk｝?X，因為X為緊集，存在x*∈X，使得x*是｛xk｝的聚點(diǎn).不妨設(shè)xk→x*∈X，這里，xk為函數(shù)φ的εk－KF點(diǎn)，由引理2可知，x*為函數(shù)φ的(T,G)－穩(wěn)定KF點(diǎn)，從而為對策P的χ－穩(wěn)定Nash平衡點(diǎn).

[1]俞建.Nash平衡的存在性與穩(wěn)定性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2002,22(3)：296-311.

[2]YU Jian.Essentiai equilibria of n-person noncooperativegames[J].Toumal of Mathematical Eeonmiesl,1999,31：361-372.

[3]俞建.博弈論與非線性分析[M].北京：科學(xué)出版社,2008：39-63,83-85.

[4]VANDERLAAN G,TALMAN D,YANG Zaifu.Refinements of stationary points with applications to noncooperative games and economics[J].SIAM Journal on Optimization,2006,16：854-870.

[5]馮冰,楊輝.定義域的擾動下Ky Fan點(diǎn)穩(wěn)定性的研究[J].貴州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2008,25(3)：242-244.

The Refinements of Nash Equilibrium under the Perturbation of Strategy Sets

FENGBing
(School of Humanities&Social Sciences,Guangdong LingnanInstitute of Technology,Guangzhou,Guangdong 510663,China)

To define a perturbation mapping of strategy sets and give a new concept about the stable Nash equilibrium,the existence of itby anoutcome of the Ky Faninequality is studied.

ε-Nash equilibrium；χ-stable Nash equilibrium;perturbation；refinement

O225

A

1009－8445（2010）05－0008－03

（責(zé)任編輯：陳靜）

2010－05－09

馮冰(1984－),女,廣東徐聞人,廣東嶺南職業(yè)技術(shù)學(xué)院博雅教育學(xué)院助教,碩士.