譚 軍，鄭文忠，王 英

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，哈爾濱150090，hitwzzheng@163.com;2.中國(guó)建筑科學(xué)研究院，北京100013)

試驗(yàn)證明，混凝土受彎構(gòu)件底部粘貼CFRP布，不僅可提高抗彎承載力，還可有效減小其彎曲裂縫的間距和寬度，改善其正常使用階段性能［1-3］.目前，針對(duì)用CFRP布加固梁受彎承載能力的研究較多，而對(duì)其裂縫間距和裂縫寬度計(jì)算方法的研究較少［4-5］，我國(guó)2003年頒布的《碳纖維片材加固修復(fù)混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(CECS 146:2003)也未對(duì)此進(jìn)行規(guī)定.

莊江波等［6］對(duì)CFRP布加固混凝土梁的裂縫寬度計(jì)算方法進(jìn)行了研究，根據(jù)傳統(tǒng)的鋼筋混凝土裂縫寬度計(jì)算理論，提出了與《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50001 2002)(簡(jiǎn)稱(chēng)《規(guī)范》)中普通鋼筋混凝土梁裂縫寬度計(jì)算方法形式相近的裂縫間距和裂縫寬度計(jì)算公式(見(jiàn)式(1)和式(2)).該方法在計(jì)算平均裂縫間距時(shí)，考慮了受拉CFRP布的影響，在計(jì)算受拉鋼筋有效配筋率時(shí)，將受拉鋼筋面積用(As+Acf)代替;在計(jì)算平均裂縫寬度時(shí)，調(diào)整了鋼筋應(yīng)力不均勻系數(shù)的計(jì)算公式，引入了CFRP布的影響項(xiàng).該方法計(jì)算簡(jiǎn)便，適用于設(shè)計(jì)驗(yàn)算.

式中:c為最外層縱向受拉鋼筋外邊緣至受拉區(qū)底邊的距離(mm);ρte為受拉鋼筋有效配筋率，ρte=(As+Acf)/Ac，Ac=0.5bh+(bf-b)hf;d為受拉鋼筋直徑;σs為裂縫截面鋼筋應(yīng)力;Es為鋼筋彈性模量;ψ為鋼筋應(yīng)力不均勻系數(shù)，ψ=1.1-0.65ft/［σsρte(1+0.415Acf/(As+Acf))］.

本文一方面基于粘結(jié)-滑移理論，對(duì)CFRP布加固混凝土梁的裂縫間距和寬度公式進(jìn)行推導(dǎo)，提出了適用于計(jì)算CFRP布加固鋼筋混凝土梁和有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力混凝土梁裂縫寬度的理論計(jì)算方法，另一方面又按照傳統(tǒng)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)裂縫分析思路，在平均裂縫寬度lm計(jì)算公式中引入CFRP布和有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋影響項(xiàng)，在裂縫寬度wm計(jì)算公式和鋼筋應(yīng)力不均勻系數(shù)ψ的計(jì)算公式中引入考慮CFRP布和有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋作用的影響系數(shù)δf，并給出相應(yīng)半理論半經(jīng)驗(yàn)公式.經(jīng)計(jì)算，上述兩種分析方法的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好.

1 理論分析方法

基本假定:

1)鋼筋材料采用理想彈塑性模型［7］.

2)受壓混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖1所示.開(kāi)裂前，受拉混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系保持為線性;開(kāi)裂后，認(rèn)為混凝土完全退出工作.取受拉混凝土的彈性模量=Ec/2，Ec為受壓混凝土的彈性模量.

3)CFRP布的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為σcf=Ecfεcf.CFRP布與梁底混凝土之間的粘結(jié)滑移關(guān)系采用陸新征［8］所提出的雙線性簡(jiǎn)化模型

式中:τcf為粘結(jié)強(qiáng)度，τcf=1.5 βwft;s0為與τcf對(duì)應(yīng)的滑移值，s0=0.019 5 βwft;sf為粘結(jié)應(yīng)力退化為0的滑移值;βw為CFRP-混凝土寬度影響系數(shù)

圖1 受壓混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

4)如圖2所示，在純彎段，開(kāi)裂截面為1-1，兩條相鄰裂縫之間的中心截面為0-0，開(kāi)裂截面與中心截面間距為l.在0-0截面，CFRP布應(yīng)變?chǔ)與f(0)與梁底混凝土應(yīng)變?chǔ)與t(0)相等，二者界面粘結(jié)應(yīng)力τcf(0)=0，混凝土達(dá)到最大拉應(yīng)力;在1-1截面，混凝土的拉應(yīng)力完全釋放σct(l)=0，混凝土退出工作，而CFRP布的拉應(yīng)力達(dá)到最大值σcf(l)=σcf，max，界面粘結(jié)應(yīng)力也達(dá)到最大值τcf(l)=τcf，max.沿x方向，0-0截面與1-1截面間各截面的混凝土應(yīng)變?chǔ)與t(x)逐漸減小，即εct＜0，CFRP布應(yīng)變?chǔ)與f(x)和受拉鋼筋應(yīng)變?chǔ)舠(x)逐漸增大，即εcf＞0，εs＞0.

圖2 純彎段兩條相鄰裂縫計(jì)算模型

本文以CFRP加固有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力混凝土梁為例，進(jìn)行理論推導(dǎo).借鑒文獻(xiàn)［9］的分析思路，首先建立加固梁開(kāi)裂截面1-1與相鄰即將開(kāi)裂截面0-0之間任意微元的力平衡方程N(yùn)(x)，然后分析CFRP布與梁底混凝土粘結(jié)應(yīng)力的變化規(guī)律.

1.1 粘結(jié)應(yīng)力分析

如圖3所示，取開(kāi)裂截面1-1與相鄰即將開(kāi)裂截面0-0之間任意微元為研究對(duì)象，建立力平衡方程:

式中:σs為非預(yù)應(yīng)力受拉鋼筋應(yīng)力增量;σcf為CFRP布應(yīng)力增量;σp為預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力增量ct為受拉混凝土平均應(yīng)力增量;As為非預(yù)應(yīng)力受拉鋼筋截面面積;Acf為CFRP布計(jì)算截面面積;Ap為預(yù)應(yīng)力筋截面面積;Act為受拉混凝土截面面積.

考慮到應(yīng)變?cè)隽亢芪⑿?，由平截面假定和圖4所示幾何關(guān)系可得到

式中:χ=(h0-y)/(h-y)，ζ=(hp-y)/(h-y)，y為中性軸到梁頂面的距離;Es為非預(yù)應(yīng)力受拉鋼筋彈性模量;Ecf為CFRP布彈性模量;Ep為預(yù)應(yīng)力筋的彈性模量.

圖3 微元體的力平衡條件

圖4 幾何關(guān)系

根據(jù)受拉混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可得

式中:Δσct為受拉區(qū)邊緣混凝土的應(yīng)力增量;εct為受拉區(qū)邊緣混凝土的應(yīng)變?cè)隽?

根據(jù)假定(2)，E′ct取為Ec/2.將式(4)～(6)帶入式(3)，移項(xiàng)化簡(jiǎn)后得

式中:θcf=1.33Acf/Act;θs=1.33As/Act;θp=1.33Ap/Act.

CFRP布與梁底混凝土之間的粘結(jié)應(yīng)力如圖5(c)所示.對(duì)于長(zhǎng)度為x的微元體，由粘結(jié)層傳遞給CFRP布的粘結(jié)應(yīng)力τcf(x)有如下關(guān)系:

式中tcf為CFRP布的計(jì)算厚度.

圖5 粘結(jié)應(yīng)力

根據(jù)假定(4)中的粘結(jié)-滑移關(guān)系，考慮到裂縫開(kāi)展的過(guò)程中，粘結(jié)應(yīng)力τcf(x)的發(fā)展為單調(diào)增加，因此僅應(yīng)用雙折線模型的上升段.將τcf和s0的計(jì)算結(jié)果代入粘結(jié)應(yīng)力公式，得

式(10)等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，整理后得

式(11)等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

將式(7)和(9)代入式(12)，簡(jiǎn)化后得

令 μ=(θcf+θsχEs/Ecf+θpζEp/Ecf)，則

根據(jù)已知的邊界條件，解上述二階微分方程，最終得到CFRP布與梁底混凝土之間的粘結(jié)應(yīng)力為

2.2 裂縫間距分析

同樣，基于粘結(jié)-滑移理論對(duì)裂縫開(kāi)展情況進(jìn)行分析.將式(14)代入式(9)，積分得

式(7)等號(hào)兩邊同時(shí)除以dx，積分得

由邊界條件 σcf(l)=Ecfεcf，max，σct(l)=0，計(jì)算得到實(shí)常數(shù)C1和C2，代入式(15)整理后得

根據(jù)假定(4)，圖2中截面0-0，x=0，CFRP布與梁底混凝土之間相對(duì)滑移為零，二者應(yīng)變相同，混凝土拉應(yīng)力最大，則有

在兩相鄰裂縫之間若不出現(xiàn)新裂縫，則在兩相鄰裂縫之間的任意截面應(yīng)滿足σct(0)＜ft，整理后得

取最大裂縫間距l(xiāng)max=2l.

2.3 裂縫寬度分析

梁底混凝土的裂縫寬度可表示為梁底面裂縫間距范圍內(nèi)CFRP布與梁底混凝土應(yīng)變差的積分.則最大裂縫寬度為

將式(11)和式(14)代入式(20)，得到短期荷載作用下，混凝土最大裂縫寬度為

按《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50001 2002)(簡(jiǎn)稱(chēng)《規(guī)范》)規(guī)定，將長(zhǎng)期荷載下裂縫寬度擴(kuò)大系數(shù)暫取為1.5，則可得到CFRP加固混凝土梁按荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)組合并考慮長(zhǎng)期作用影響的最大裂縫寬度.

由于無(wú)粘結(jié)梁應(yīng)變沿梁高變化不符合平截面假定，其預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力增量計(jì)算參照文獻(xiàn)［10］.將上述各式預(yù)應(yīng)力項(xiàng)去除，即為鋼筋混凝土梁裂縫計(jì)算方法.

2 實(shí)用計(jì)算方法

2.1 裂縫間距

按傳統(tǒng)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)裂縫分析方法進(jìn)行分析，分別考慮受拉非預(yù)應(yīng)力鋼筋、預(yù)應(yīng)力鋼筋和CFRP布對(duì)裂縫開(kāi)展的約束作用.

圖6中σp為開(kāi)裂截面處的預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力;σs為非預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力;σcf為CFRP布應(yīng)力;即將開(kāi)裂截面的應(yīng)力增量分別為Δσp、Δσs、Δσcf;τp為預(yù)應(yīng)力筋與混凝土之間的粘結(jié)強(qiáng)度;τs為非預(yù)應(yīng)力筋與混凝土之間的粘結(jié)強(qiáng)度;τcf為CFRP布與梁底混凝土之間的粘結(jié)強(qiáng)度.

對(duì)圖6(a)所示的預(yù)應(yīng)力筋隔離體有

對(duì)圖6(b)所示的非預(yù)應(yīng)力受拉鋼筋隔離體有

對(duì)圖6(c)所示的CFRP布隔離體有

式中:up為預(yù)應(yīng)力筋束的周長(zhǎng);us為鋼筋的周長(zhǎng);bcf為CFRP布的粘貼寬度.

混凝土截面開(kāi)裂彎矩Mcr=Aftkηch，根據(jù)彎矩平衡條件:

令ΔMc，s/ΔMc，cf=α，ΔMc，p/ΔMc，cf=β，則有

將式(23)～(28)整理后可得

式中:K1=α/(4τsηsh0)，K2=β/(4τpηphp)，K3=1/(τcfηcfh)，K4=ftkηch/(1+α+β)，ηsh0，ηphp，ηcfh，ηch分別為非預(yù)應(yīng)力筋、預(yù)應(yīng)力筋、CFRP布、有效受拉混凝土形心與截面受壓區(qū)合力作用點(diǎn)之間的內(nèi)力臂;按有效受拉混凝土截面面積計(jì)算的配筋率ρs=As/A，ρp=Ap/A，ρcf=Acf/A，A為有效受拉混凝土截面面積，取A=0.5bh+(bf-b)hf;ds為非預(yù)應(yīng)力鋼筋直徑，ds為預(yù)應(yīng)力筋束直徑，tcf為CFRP布厚度，ftk為混凝土軸心抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值.

考慮混凝土保護(hù)層厚度及鋼筋間距對(duì)裂縫間距的影響，平均裂縫間距可表示為

文獻(xiàn)［11］指出，試驗(yàn)及理論分析表明，在使用荷載下M≈(0.6～0.8)Mu，梁處于受力的第Ⅱ階段，截面的相對(duì)受壓區(qū)高度ξ=x/h0變化很小.筆者采用數(shù)值迭代方法對(duì)CFRP布加固預(yù)應(yīng)力混凝土梁進(jìn)行了正截面承載力仿真分析，并得到了與文獻(xiàn)［11］相同的結(jié)論.同時(shí)文獻(xiàn)［6］指出，針對(duì)不同的混凝土強(qiáng)度、截面尺寸、加固量和配筋率進(jìn)行了大量計(jì)算分析，結(jié)果表明，內(nèi)力臂系數(shù)η和εcf/εs的變化范圍不大，可取為常數(shù).

可見(jiàn)，在受壓邊緣混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變之前，混凝土受壓區(qū)高度y變化很小，故取正常使用極限狀態(tài)的彎矩值Mk所對(duì)應(yīng)的混凝土受壓區(qū)高度y來(lái)計(jì)算系數(shù)χ和ζ，并認(rèn)為加固梁的內(nèi)力臂系數(shù)ηc，ηs，ηp，ηcf保持不變.

文獻(xiàn)［12］考慮了箍筋的有利影響，提出鋼筋與混凝土平均粘結(jié)強(qiáng)度τs的理論計(jì)算公式.筆者將15個(gè)拉拔試件的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)該公式計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差的均值為0.23，標(biāo)準(zhǔn)差為0.028.因此提出用系數(shù)ν=1.23對(duì)原式加以修正，修正后的計(jì)算公式為

通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)［13］中試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析可知，φp15有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力鋼絞線與混凝土的粘結(jié)強(qiáng)度τp較等直徑變形鋼筋的粘結(jié)強(qiáng)度τs小很多，而且因預(yù)應(yīng)力孔道成型工藝、預(yù)應(yīng)力鋼絞線在孔道內(nèi)的偏心程度、預(yù)應(yīng)力鋼絞線根數(shù)不同，存在較大差異.因此筆者提出，對(duì)與φp15有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力鋼絞線直徑相仿的直徑d=16 mm變形鋼筋與混凝土的粘結(jié)強(qiáng)度τsd16進(jìn)行適當(dāng)折減，來(lái)獲得φp15有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力鋼絞線與混凝土粘結(jié)強(qiáng)度τp的分析思路，其計(jì)算公式為

式中κ為折減系數(shù)，取值如表1所示.因試驗(yàn)數(shù)據(jù)有限，n=1，4所對(duì)應(yīng)折減系數(shù)值是根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果回歸得到的，其它均為線性插值所得.該部分內(nèi)容尚需開(kāi)展更多試驗(yàn)工作加以完善.

對(duì)文獻(xiàn)［8］中碳纖維布與混凝土之間的粘結(jié)強(qiáng)度計(jì)算公式進(jìn)行整理，可得

2.2 裂縫寬度

建立正常使用階段CFRP加固預(yù)應(yīng)力混凝土梁裂縫截面的彎矩平衡方程:

表1 折減系數(shù)

根據(jù)平截面假定可得

CFRP布加固預(yù)應(yīng)力混凝土梁的短期平均裂縫寬度可取為平均裂縫間距范圍內(nèi)鋼筋與混凝土平均受拉伸長(zhǎng)之差，因此可按《規(guī)范》裂縫寬度的公式計(jì)算:

短期荷載下，最大裂縫寬度與平均裂縫寬度相比，需要引入一個(gè)裂縫擴(kuò)大系數(shù)，仍沿用未加固混凝土梁的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，取1.66，則

式中受彎構(gòu)件αcr=1.66×0.85=1.41.考慮荷載長(zhǎng)期作用影響時(shí)，還應(yīng)引入長(zhǎng)期作用影響系數(shù)1.5.ψ為受拉鋼筋應(yīng)變不均勻系數(shù)，根據(jù)其定義，可取文獻(xiàn)［12］給出的經(jīng)驗(yàn)公式

考慮到混凝土收縮對(duì)Mc的影響，取降低系數(shù)為0.8，則Mc為

式中σpc為預(yù)加力在抗裂驗(yàn)算邊緣產(chǎn)生的混凝土預(yù)壓應(yīng)力.

整理后得到ψ為

3 數(shù)據(jù)對(duì)比

在有限的數(shù)據(jù)資料中，挑選21根CFRP布加固混凝土梁的試驗(yàn)結(jié)果，與采用本文兩種裂縫分析方法計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行比較.裂縫間距對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表2，裂縫寬度對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表3.

表2 裂縫間距對(duì)比mm

表3 裂縫寬度對(duì)比mm

由表2對(duì)比結(jié)果可知，根據(jù)本文理論分析方法和實(shí)用方法所得裂縫間距計(jì)算值與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果相差不大.經(jīng)計(jì)算，按本文理論分析方法所得裂縫間距計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之比的平均值為0.950，標(biāo)準(zhǔn)差為0.140;按本文實(shí)用方法所得裂縫間距計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之比的平均值為0.955，標(biāo)準(zhǔn)差為0.196.

由表3對(duì)比結(jié)果可知，根據(jù)本文理論分析方法和實(shí)用方法所得裂縫寬度計(jì)算值與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果相差不大.經(jīng)計(jì)算，按本文理論分析方法所得裂縫寬度計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之比的平均值為0.841，標(biāo)準(zhǔn)差為0.144;按本文實(shí)用方法所得裂縫寬度計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之比的平均值為0.908，標(biāo)準(zhǔn)差為0.248.

4 結(jié)語(yǔ)

基于粘結(jié)-滑移理論提出的CFRP布加固混凝土梁裂縫寬度理論分析方法和按照傳統(tǒng)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)裂縫分析思路建立的實(shí)用分析方法，均較直觀的反映CFRP布對(duì)裂縫開(kāi)展的影響，且計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好.實(shí)用計(jì)算方法計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)便，可用于工程設(shè)計(jì).

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