王輝豐，詹 森

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158；2.廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣州510665）

關(guān)于構(gòu)造三類奇數(shù)階幻方的新方法

王輝豐1，詹 森2

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158；2.廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣州510665）

給出構(gòu)造奇數(shù)階幻方、奇數(shù)階對(duì)稱幻方、奇數(shù)階奇偶分開對(duì)稱幻方的幾種方法，并對(duì)后2種方法給出理論證明.還提出完美幻方的構(gòu)造方法.

奇數(shù)階；幻方；對(duì)稱幻方；奇偶分開對(duì)稱幻方；完美幻方；構(gòu)造方法

我們研究了高階幻方的構(gòu)造方法［1-2］，文[2]給出了構(gòu)造奇數(shù)n=2m+1（m為m≠3s+1，s= 0，1，… 的自然數(shù)）階對(duì)稱完美幻方的基元順安雙移法（簡稱六字法）.在這基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步運(yùn)用推廣這種六字法，又提出幾種方法，可分別構(gòu)造n= 2m+1（m=1，2，…）階幻方和n=2m+1（m= 1，2，…）階對(duì)稱幻方、n=2m+1（m=1，2，…）階奇偶分開對(duì)稱幻方等三類幻方，并給出后2種方法的證明，最后提出了完美幻方的構(gòu)造方法.其方法既簡單又直接，容易操作.以下分4種類型進(jìn)行論述.

1 n=2m+1（m=1，2，…）階幻方的構(gòu)造方法

第一步 將基數(shù)按如下方式安裝到n階基方陣A.

取定a（1，m+1）=mn+1，其余n-1個(gè)基數(shù)1，n+1，2n+1，…，（m-1）n+1，（m+1）n+1，…，（n-1）n+1，可任意安裝到如下n-1個(gè)位置：

a（m+1-k，k+1）（k=0，1，2，…，m-1），

a（m+1+k，n-k+1）（k=1，2，…，m）.

基數(shù)安裝完畢后，得到基方陣A的全部基元（或站點(diǎn)）［2］.接著，在每一列站點(diǎn)的下方，自上而下依順序安裝（稱順安）相連的數(shù)至該列最下面的笫n行；在該站點(diǎn)的上方，自上而下順安后繼的數(shù)，一直安裝滿全列為止，這樣，經(jīng)過基元順安得到的n階基方陣A的每一行數(shù)字之和都等于幻方常數(shù).

第二步 對(duì)基方陣A施行順移安裝到另一個(gè)（待安裝的）n階方陣B.

把A中第一列每一行的數(shù)順移至B中同一行相應(yīng)于A的基元所在的位置，A中各行的其他元素順移至B中.所得方陣B就是一個(gè)幻方.

這樣，經(jīng)過以上任安基元和順安、順移（稱雙順）兩步得到的就是一個(gè)n=2m+1（m=1，2，…）階幻方.把這種安裝方法稱為任安基元雙順法，也簡稱六字法.

由于基數(shù)安裝結(jié)構(gòu)可有（n-1）！種不同的選擇，而移入方式亦有其他可能的選擇，所以，利用以上方法至少可構(gòu)造出（n-1）！個(gè)不同的幻方.

2 n=2m+1（m=1，2，…）階對(duì)稱幻方的構(gòu)造方法

第一步 由基元順安基方陣.

對(duì)于n=2m+1（m=1，2，…），我們按文[2]的第一步（1）～（5）式安裝基元和行標(biāo)及其他元素到n階方陣A中，得到基方陣A.為了避免重復(fù)，這里略去上述的式（1）～（5）.

第二步 由基方陣施行雙移安裝可得另一個(gè)方陣.

設(shè)待安裝的另一個(gè)n階方陣為B，以b（i，j）（i，j=1，2，…，n）表示其位于第i行，第j列的元素，取

以行標(biāo)a（m+1-k，1）（k=1，2，…，m）向右移動(dòng) k個(gè)位置，即

以行標(biāo)a（m+1+k，1）（k=1，2，…，m）向右移動(dòng)n-k個(gè)位置，即

式（2）、（3）就是完成了向右移動(dòng)（注意這里的右移與文[2]右移位置（7）、（8）不同）.此時(shí)已將A的笫一列的元素安裝到B中.基方陣A的行標(biāo)在方陣B中是式（2）、（3），也稱它們?yōu)锽的行標(biāo).注意b（m+1，1）=1既是B的基元又是行標(biāo)，同一行中其余各元素按在A中的順序進(jìn)行順移，A的基元在方陣B中是

其中r=r（2n-2k+1）為余函數(shù)［2］.式（4）、（5）是B中的基元（與文[2]（10）、（11）不同）.

這樣就安裝了B的所有元素.按以上方法所得的方陣B就是對(duì)稱幻方（見定理1）.這種方法也稱為基元順安雙移法，也簡稱六字法.

定理1 由上述六字法得到的n=2m+1（m= 1，2，…）階方陣B是對(duì)稱幻方.

證明 由文[2]的定理證明知，基方陣A的元素是中心對(duì)稱的.自然其笫k行的元素與笫n-k+ 1（k=1，2，…，n）行的元素是關(guān)于中心對(duì)稱的.即第m+1-k行的元素與第m+1+k（k=1，2，…，m）行的元素是關(guān)于中心對(duì)稱的.雙移不會(huì)改變兩對(duì)稱行對(duì)稱元素的對(duì)稱關(guān)系，事實(shí)上，雙移時(shí)，方陣A第m+1-k行的元素向右順移了k個(gè)位置；第m+1+k行的元素向右順移了n-k個(gè)位置（即向左順移了k個(gè)位置），這樣，在方陣B中第M+1-k行的元素與第m+1+k（k=1，2，…，m）行的元素仍然是關(guān)于中心對(duì)稱的.而中間一行自始至終不動(dòng)，其對(duì)稱性在方陣A中就已確定，所以，方陣B是中心對(duì)稱的.

由文[2]的定理證明知，基方陣A任何一行元素之和都等于幻方常數(shù).因?yàn)殡p移并不改變每一行的元素，所以，方陣B任何一行元素之和也都等于幻方常數(shù).由于對(duì)稱性，顯然，對(duì)稱方陣B對(duì)角線上元素之和等于幻方常數(shù)，因此，只要證明方陣B任何一列元素之和都等于幻方常數(shù)，定理就已得證.為此需要證明方陣B的n個(gè)行標(biāo)，n個(gè)基元各自位于不同的n列上.

在安裝方陣的過程中，顯然，所得方陣B的n個(gè)行標(biāo)位于不同的n列上.下面證明在B中的n個(gè)基元也位于不同的n列上.

對(duì)n=2m+1（m為自然數(shù)），由式（4）知，基元a（m+1-k，k+1）在方陣B的位置是b（m+1-k，2k+1）（仍是基元），當(dāng)k=0，1，2，…，m時(shí)，有2k+1是一個(gè)1～2m+1的公差為2的等差有限數(shù)列.

由式（5）知，b（m+1+k，r（2n-2k+1））是在B中的基元，當(dāng)k=1，2，…，m時(shí)，有

r（2n-2k+1）=（2n-2k+1）-n=n-2k+1是一個(gè)2～2m的公差為2的等差有限數(shù)列.

以上得到的數(shù)列1～2m+1和2～2m都是公差為2的等差有限數(shù)列，合并起來就是1～n的自然數(shù)，即n個(gè)基元位于B中的不同的n列上.由于方陣B的n個(gè)行標(biāo)、n個(gè)基元位于不同的列上，由文[2]的定理證明知，方陣B任何一列元素之和都等于幻方常數(shù).綜上所述，方陣B是一個(gè)對(duì)稱幻方.

由于方陣B關(guān)于中心對(duì)稱的任何兩行（或列）互換后仍然中心對(duì)稱，互換后的方陣仍是一個(gè)對(duì)稱幻方.所以用上述方法可得出2（m！）個(gè)不同的對(duì)稱幻方.

3 n=2m+1（m=1，2，…）階奇偶分開對(duì)稱幻方的構(gòu)造方法

第一步 與對(duì)稱幻方的構(gòu)造方法的第一步相同.所得方陣為A.

第二步 取定b（m+1，1）=a（m+1，1）.行標(biāo)a（m+1-k，1）（k=1，2，…，m），按以下方式向右移動(dòng)：

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，

行標(biāo)a（m+1+k，1）（k=1，2，…，m），按以下方式向右移動(dòng)：

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，

基元a（m+1-k，k+1）（k=1，2，…，m）在方陣B的位置是：

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，

基元a（m+1+k，n-k+1）（k=1，2，…，m）在方陣B的位置是：

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，

所得方陣為B.

第三步 作行變換安裝到方陣C，使上面m+ 1行各行的行標(biāo)由下至上依次為1，3，5，…，2m+ 1；使下面m行各行的行標(biāo)由下至上依次為2，4，…，2m.

這樣，所得的n=2m+1（m=1，2，…）階方陣C就是一個(gè)奇偶數(shù)分開的對(duì)稱幻方，簡稱奇偶分開對(duì)稱幻方，這種方法稱為基元順安奇偶行變法，簡稱八字法.

定理2 由上述八字法得到的n=2m+1（m= 1，2，…）階方陣C就是一個(gè)奇偶分開對(duì)稱幻方.

注意到第m+1-k行與第m+1+k行的行標(biāo)之和（n-k+1）+（k+1）=n+2，而方陣C處于對(duì)稱位置上的任何兩行，其行標(biāo)之和都等于n+ 2，而中間一行自始至終不動(dòng)，所以方陣C仍然是中心對(duì)稱的.

由文[2]的定理證明知，基方陣A任何一行元素之和都等于幻方常數(shù).因?yàn)殡p移或行變換并不改變每一行的元素，所以方陣C任何一行元素之和也都等于幻方常數(shù).由于對(duì)稱性，顯然，對(duì)稱方陣C對(duì)角線上元素之和等于幻方常數(shù)，所以只要證明方陣C任何一列元素之和等于幻方常數(shù)及奇數(shù)集中在方陣C中央的菱形內(nèi)，而偶數(shù)則置于方陣的四個(gè)角，定理就已得證.為此首先需要證明方陣C的n個(gè)行標(biāo)，n個(gè)基元各自位于不同的n列上.在安裝方陣的過程中，顯然所得方陣C的n個(gè)行標(biāo)位于不同的n列上.下面證明在C中的n個(gè)基元也位于不同的n列上.

對(duì)n=2m+1=2（2t）+1，當(dāng)k=1，3，…，2t-1時(shí)，基元

以上所得2～t+1的有限自然數(shù)列，t+2～2t+1的有限自然數(shù)列，2t+2～3t+1的有限自然數(shù)列，3t+2～4t+1的有限自然數(shù)列，合并起來就是2～n的自然數(shù)，而基元b（m+1，1）位于第一列，即n個(gè)基元位于方陣B中的不同的n列上.

對(duì)n=2m+1=2（2t+1）+1，同理可證n個(gè)基元位于方陣B中的不同的n列上.所以，對(duì)n= 2m+1（m=1，2，…），方陣B中的n個(gè)基元位于方陣B中的不同的n列上.

由于方陣B的n個(gè)行標(biāo)、n個(gè)基元位于不同的n列上，由文[2]的定理1證明知，方陣B任何一列元素之和都等于幻方常數(shù).綜上所述，方陣B是一個(gè)對(duì)稱幻方.由于行變換并不改變每一列的元素，所以，方陣C任何一列元素之和也都等于幻方常數(shù).因此，方陣C是一個(gè)對(duì)稱幻方.

對(duì)n=2m+1（m=1，2，…）階方陣，由于基數(shù)列1，n+1，2n+1，…，（n-1）n+1是奇偶數(shù)的個(gè)數(shù)相間以及基數(shù)列和其他元素的安裝方式，顯然，當(dāng)行標(biāo) k為奇數(shù)時(shí)，其所在行有（n+1）-k個(gè)元素是奇數(shù)，且奇數(shù)緊鄰于行標(biāo)之右；當(dāng)行標(biāo)k為偶數(shù)時(shí)，其所在行有k-1個(gè)元素是奇數(shù)，且奇數(shù)緊鄰于行標(biāo)之左（緊鄰于第一列之左的是最后一列）.作行變換使上面m+1行各行的行標(biāo)由下至上依次為1，3，5，…，2m+1；使下面m行各行的行標(biāo)由下至上依次為2，4，…，2m.奇數(shù)就集中于所得方陣C中央的菱形內(nèi)而偶數(shù)則位于方陣C的4個(gè)角.至此已證得方陣C就是一個(gè)奇偶分開對(duì)稱幻方.

4 完美幻方的構(gòu)造方法

對(duì)于n=2m+1（m為m≠3s+1，s=0，1，…的自然數(shù)），若要直接構(gòu)造一個(gè)n階完美幻方，有許多種不同的安裝基元的方式，比如取

但仍嫌不夠簡單.最直接的方法是，若用4個(gè)同樣的n=2m+1（m為m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然數(shù)）階對(duì)稱完美幻方，組成一個(gè)2n階方陣，則在這個(gè)方陣中，以1～n2中任何一個(gè)數(shù)為中心，都可框出一個(gè)n階完美幻方，即一個(gè)n階對(duì)稱完美幻方可產(chǎn)生n2個(gè)完全不同的n階完美幻方（包括作為基礎(chǔ)的那個(gè)n階對(duì)稱完美幻方）.

注記 本文所提出的方法已包括了以下4種方法［3-4］：

1）把所得到的奇偶分開對(duì)稱幻方，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，即可得出菱形法的結(jié)果.

2）把我們所得的對(duì)稱幻方，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向左（或右）翻轉(zhuǎn)180°，即可得出連續(xù)擺數(shù)法的結(jié)果.

3）把“任安基元雙順法”稍為推廣一下，基數(shù)的安裝改為

a（m+1-k，2k+1）=kn+1（k=0，1，…，m），

a（m+1+k，n-2k+1）=

（n-k）n+1（k=1，2，…，m）.

安裝基方陣A后，其行標(biāo)按以下方式右移：

b（m+1-k，m+1-k+1）=a（m+1-k，1）（k=0，1，…，m），

b（m+1+k，m+1+k+1）=a（m+1+k，1）

（k=1，2，…，m-1），

b（n，1）=a（n，1）.

所在各行的其他元素向右順移，所得方陣B已是一個(gè)幻方，向上翻轉(zhuǎn)180°，就得到階梯法所得出的結(jié)果.

4）再將第3）的結(jié)果按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，就是拉伊爾法（就奇數(shù)階幻方而言）所得出的結(jié)果.

［1］詹森，王輝豐.關(guān)于構(gòu)造高階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，22（3）：250-254.

［2］詹森，王輝豐.奇數(shù)階對(duì)稱完美幻方的構(gòu)造方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，22（4）：396-402.

［3］詹森.關(guān)于構(gòu)造幻方的新方法 [J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，22（2）：131-132.

［4］吳鶴齡.幻方及其他[M].北京：科學(xué)出版社，2004：50-80.

責(zé)任編輯：黃 瀾

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責(zé)任編輯：畢和平

The NeWStructure Methods of Three Types of Odd Order Magic Square

WANG Huifeng1，ZHAN Sen2
（1.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China；
2.Department of Computer Science，Guangdong Technical Normal University，Guangdong 510665，China）

Three neWstructure methods about odd order magic square，odd order symmetrical magic square and odd order symmetrical magic square with odd number and even number separated were qiven，the final two methods were theoretical proved and structure methods of perfect magic square were put forward.

odd order；magic square；symmetrical magic square；odd order symmetrical magic square with odd number and even number is separated；perfect magic square；structure method

O 157.6

A

1674-4942（2010）01-0012-04

2009-11-20