陳淑貞

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158）

一類廣義Fibonacci數(shù)列的研究

陳淑貞

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158）

著名的Fibonacci數(shù)列有許多通項(xiàng)表達(dá)式和性質(zhì).本文研究了當(dāng)u=v=2，R0=a，R1=b時(shí)的廣義Fibonacci數(shù)列{Rn}，利用特征方程的特征根得到了它的通項(xiàng)公式，還推出了幾個(gè)求和公式.

廣義Fibonacci數(shù)列；通項(xiàng)；求和公式

1 引言和定義

十三世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci）提出了一個(gè)有趣的關(guān)于兔子繁殖的問題，從而引出了一個(gè)有趣的數(shù)列—Fibonacci數(shù)列［1］，記為{Fn}，它是滿足Fn+1=Fn+Fn-1，F(xiàn)1=F0=1的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)稱為Fibonacci數(shù)，人們對這個(gè)數(shù)列的研究興趣歷時(shí)幾百年而不衰，現(xiàn)在已得出它的許多通項(xiàng)表達(dá)式和性質(zhì)，在計(jì)算數(shù)學(xué)、優(yōu)化理論、運(yùn)籌學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.后來人們又將這個(gè)數(shù)列進(jìn)行推廣，得到了廣義Fibonacci數(shù)列［1］，關(guān)于廣義Fibonacci數(shù)列，已有不少的研究成果［2-10］，文獻(xiàn)[2]和[3]分別利用生成函數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法和特征方程的特征根求出了廣義Fibonacci數(shù)列的三個(gè)通項(xiàng)表達(dá)式.本文繼續(xù)對這類數(shù)列進(jìn)行了研究.

定義1［1］若數(shù)列{Rn}滿足

其中 a，b，u，v∈R，稱該數(shù)列{Rn}為廣義 Fibonacci數(shù)列.

定義2［6］方程x2-ux-v=0稱為遞推關(guān)系Rn+1=uRn+vRn-1的特征方程，它的根稱為特征根.

定義3 當(dāng)u=v=2，R0=a，R1=b時(shí)的廣義Fibonacci數(shù)列{Rn}稱為2-2型廣義Fibonacci數(shù)列.

本文主要研究了2-2型的廣義Fibonacci數(shù)列{Rn}，利用遞推關(guān)系的特征方程的特征根獲得它的一個(gè)通項(xiàng)公式，同時(shí)還推導(dǎo)出幾個(gè)求和公式.

2 通項(xiàng)公式

定理 {Rn}為2-2型廣義Fibonacci數(shù)列，則{Rn}的通項(xiàng)為

證明 因?yàn)閧Rn}滿足遞推關(guān)系

3 求和公式

數(shù)列求和是研究數(shù)列性質(zhì)的一個(gè)重要內(nèi)容.下面推出幾個(gè)2-2型廣義Fibonacci數(shù)列的求和公式.

證明 因?yàn)?/p>

所以有

證明 因?yàn)?/p>

證明 因?yàn)?/p>

證明 當(dāng)m=2n時(shí)，

（2R2n-2R2n-1-4a+b）]=2R2n-1+3a-b.所以，等式成立.

當(dāng)m=2n+1時(shí)，

［2］馬巧云.廣義Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)[J].西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，7（5）：30-32.

［3］陳淑貞，曾慶年.廣義Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)[J].海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，20（3）：11-14.

［4］邵品綜.廣義Fibonacci序列及其應(yīng)用[J].青島教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，14（1）：36-43.

［5］張紀(jì)平.一類廣義斐波那契數(shù)列及其應(yīng)用[J].泉州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，23（2）：10-13.

［6］孫淑玲，許胤龍.組合數(shù)學(xué)引論[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2005.

［7］陳淑貞，魯仲池.四階Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)[J].海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，21（1）：35-40.

［8］李海青.兩類廣義Fibonacci數(shù)列的關(guān)系[J].青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002，（3）：24-25.

［9］吳茂念.廣義Fibonacci數(shù)列一些前n項(xiàng)和式[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，22（4）：343-347.

［10］朱偉義.廣義Fibonacci數(shù)的幾個(gè)組合恒等式 [J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，30（1）39-42.

［1］吳振奎.世界數(shù)學(xué)名題欣賞—斐波那契數(shù)列 [M].沈陽：遼寧教育出版社，1995.

責(zé)任編輯：畢和平

Study on a Kind of Generalized Fibonacci Sequence

CHEN Shuzhen（College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

There are many general expressions for famous Fibonacci sequence.In this paper，We study a kind of generalized Fibonacci sequence while u=v=2，R0=a，R1=b.By using eigen roots of it's eigen equation，we obtain its general expression.We also derive some summation formula.

generalized Fibonacci sequence；general expression；summation formula

O 157

A

1674-4942（2010）01-0001-03

2009-12-07

海南師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)科基金資助項(xiàng)目