●劉官茂 (寧波萬里國際學校中學 浙江寧波 315040)

函數(shù)在高考中不僅占有較大比重，而且在新課標中也處于非常重要的地位.函數(shù)是聯(lián)系代數(shù)與幾何、定量與變量的橋梁和紐帶，是中學數(shù)學的主干知識之一，是學好中學數(shù)學的關(guān)鍵.利用導數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)解決各種綜合問題是高考的重點、熱點和難點.本文試圖通過合理構(gòu)造函數(shù)化解教與學中的一些疑難問題，加強對函數(shù)本質(zhì)的理解，提高函數(shù)思想的應(yīng)用意識.

1 合理構(gòu)造函數(shù)

1.1 根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，合理構(gòu)造函數(shù)

分析看到該題的第一反應(yīng)是求導，利用切線與割線的斜率關(guān)系直觀地闡述，或補充高等數(shù)學中的拉格朗日中值定理說明，這顯然都是不合理的.要想化解這個疑難，只需設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)是函數(shù)圖像上任意不同的2個點，則

評注如果題目中涉及到曲線任意2個點的斜率范圍，那么均可以按照此法來構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的單調(diào)性問題，進而用導數(shù)順利突破.解題過程清晰、自然，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的思想.

1.2 化定量為變量，合理構(gòu)造函數(shù)

例2 當0＜a＜b時，求證：顯然 x1≠x2，不妨設(shè) x1＜ x2，則

由函數(shù)的單調(diào)性可知，只需構(gòu)造函數(shù) g(x)=f(x)-x，則 g(x)在 R上是減函數(shù)，g'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立，故

評注對于多元不等式的證明問題，可以采取這種化定量為變量，合理構(gòu)造函數(shù)的方法解決.

1.3 根據(jù)消元轉(zhuǎn)化，合理構(gòu)造函數(shù)

例3 已知函數(shù) f(x)=lnx，g(x)=ax2-x(a≠0)，若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像有2個不同的交點M，N，且過線段MN的中點做x軸的垂線分別與f(x)的圖像和g(x)的圖像交于點S，T，以S為切點作f(x)的切線l1，以T為切點作g(x)的切線l2.問是否存在實數(shù)a使得l1∥l2?如果存在，求出a的值;如果不存在，請說明理由.

分析此題入手易，深入難.設(shè)點M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 l1∥l2可得

接下去，學生基本上沒有思路了.通過適當消元轉(zhuǎn)化則能迎刃而解.首先對式(1)兩邊同乘以x1-x2，得

評析 此題通過2次合理消元，最后把問題蛻化為一元函數(shù)，通過求值域解決問題.對于多個變量問題，應(yīng)理清變量間的關(guān)系.

2 利用函數(shù)如何化解疑難問題

2.1 利用函數(shù)性質(zhì)化解疑難

評注導數(shù)的引入后，不等式的證明多了一條出路，函數(shù)的單調(diào)性往往蘊含著大小的比較問題，合理構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性即可證明.

2.2 巧用數(shù)形結(jié)合化解疑難

評注本題最主要的特點是對方程進行了重新“配置”，而關(guān)鍵點就是配置后左右2邊對應(yīng)的函數(shù)有相同的極值點，進而利用函數(shù)的圖像分析解決問題.一般來說，對于比較復(fù)雜的方程求根或是判定函數(shù)零點的個數(shù)問題.要善于發(fā)現(xiàn)方程的結(jié)構(gòu)特征，對方程的結(jié)構(gòu)進行分離重配，轉(zhuǎn)化為一邊是熟悉的基本函數(shù)形式，另一邊可以是較復(fù)雜的函數(shù)形式，用導數(shù)對函數(shù)的變化趨勢進行研究.最后把根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成2個圖像的交點個數(shù)問題.

2.3 妙用降維化歸化解疑難

在x∈(p，+∞)時恒成立，求實數(shù)p的最小值.

接下來，可求得x=ln(x-p)的最小值為p+1，因此 p≥6 026.

評注對于比較難化簡的求和形式，一般是通過放縮或轉(zhuǎn)化得到比較容易的函數(shù)形式.

在解題教學過程中，要向?qū)W生暴露思維過程，對解題切入點或突破口的選擇要舍得花時間分析引導，問題解決中“坎”的跨越、“陡坡”的攀登要濃墨重彩.題目的講評不是一味地呈現(xiàn)標準答案，要從學生解題“卡殼”的難點處著手突破，幫助學生解決問題，并和標準解法進行比較分析.解題后要關(guān)注反思和拓展，品味解題的方法和關(guān)鍵點，探索一題多解，深入理解數(shù)學本質(zhì).

難題的講解一定要在關(guān)鍵點上突破，在學生的疑難點上啟發(fā)，通過題組與變式的練習，強化學生的解題經(jīng)驗.