●張士琴 (匯龍中學(xué) 江蘇啟東 226200)

線(xiàn)性規(guī)劃研究的是線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下最大值或最小值的問(wèn)題.然而在近幾年全國(guó)各地的數(shù)學(xué)高考試卷中，在線(xiàn)性約束條件下求非線(xiàn)性的最值問(wèn)題已屢見(jiàn)不鮮.該類(lèi)問(wèn)題難度較大、解法靈活，是學(xué)習(xí)上的難點(diǎn).本文結(jié)合近幾年的數(shù)學(xué)高考試題以幾個(gè)常見(jiàn)的最值問(wèn)題為例，探求在線(xiàn)性約束條件下的非線(xiàn)性最值問(wèn)題的求解策略.

A.(1，3］ B.［2，3］

C.(1，2］ D.［3，+∞)

(2010年北京市數(shù)學(xué)高考試題)

評(píng)注本題是線(xiàn)性約束條件下指數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題.其解題的一般策略是先作出可行域，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像，觀察圖像得出結(jié)果.

圖1

圖2

所表示的平面區(qū)域是 Ω1，平面區(qū)域 Ω2與 Ω1關(guān)于直線(xiàn)3x-4y-9=0對(duì)稱(chēng)，對(duì)于Ω1中的任意點(diǎn)A與Ω2中的任意點(diǎn)B，|AB|的最小值等于 ( )

(2010年福建省數(shù)學(xué)高考試題)

評(píng)注本題是2個(gè)對(duì)稱(chēng)可行性區(qū)域中兩點(diǎn)之間距離的最值問(wèn)題.解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵是將|AB|的最小值轉(zhuǎn)化為Ω1中任意點(diǎn)A到直線(xiàn)3x-4y-9=0的距離的最小值，從而使問(wèn)題得以解決.

例3 實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有2個(gè)實(shí)根，一個(gè)根在區(qū)間(0，1)內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間(1，2)內(nèi).

(1)求點(diǎn)(a，b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積;

圖3

(3)求(a-1)2+(b-2)2的值域.

解設(shè)f(x)=x2+ax+2b，方程x2+ax+2b=0的2個(gè)根在區(qū)間(0，1)和(1，2)內(nèi)的條件是

在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出不等式組表示的可行性平面區(qū)域(如圖 3)，并解出點(diǎn) A(-3，1)，B(-2，0)，C(-1，0).

(3)(a-1)2+(b-2)2的幾何意義是可行性平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)P(a，b)與定點(diǎn)D(1，2)之間距離的平方.過(guò)點(diǎn)D與AC垂直的直線(xiàn)方程為b-2=2(a-1)，即 2a-b=0.由

所以由圖可知

即(a-1)2+(b-2)2的值域?yàn)?8，17).

評(píng)注本題是線(xiàn)性約束條件下的分式函數(shù)和二元二次函數(shù)的最值問(wèn)題.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是理解分式函數(shù)的幾何意義是直線(xiàn)的斜率，二元二次函數(shù)的幾何意義是兩點(diǎn)間距離的平方，由數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題.

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx的2個(gè)極值點(diǎn)為 x1，x2，且 x1∈［-1，0］，x2∈［1，2］.

(1)求b，c滿(mǎn)足的約束條件，并在圖4的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫(huà)出滿(mǎn)足這些條件的點(diǎn)(b，c)的區(qū)域;

(2009年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)f'(x)=3x2+6bx+3c.由題意知方程 f'(x)=0 有2 個(gè)根 x1，x2且 x1∈［-1，0］，x2∈［1，2］，則

因此可在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出b，c所滿(mǎn)足的約束條件下的可行域(如圖5中的陰影部分).

圖4

圖5

(2)由題意知

由圖5 可知 c∈［-2，0］，因此

從而 f(x2)在［1，2］上單調(diào)遞減，得

又因?yàn)?c∈［-2，0］，所以

評(píng)注本題是線(xiàn)性約束條件下的三次函數(shù)的最值問(wèn)題，對(duì)于高次(三次或三次以上)函數(shù)的最值，一般可通過(guò)導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)解決.