●金 山 (啟東中學(xué) 江蘇啟東 226200)

2008年南京大學(xué)數(shù)學(xué)自主招生考試中有這樣一道試題：

問題 若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求證：

證明由均值不等式得

由上述證明過程可知，原不等式可推廣為：

下面給出推廣1的另外2種不同的證明方法.

設(shè) f(x)=ln(x2+1)，x∈(0，1)，則

由f″(x)＞0知f(x)在(0，1)上是凸函數(shù)，由琴生不等式得

另外，由均值不等式得

把式(2)，式(3)代入式(1)得

故原不等式獲證.

證法2 原不等式等價于

由均值不等式得

代入式(4)左邊得

故原不等式成立.

證明首先證明

根據(jù)均值不等式得

兩式相加得

由推廣2的證明過程，還可進一步探究得到有關(guān)結(jié)論：