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(泗陽中學高中部 江蘇泗陽 223700)

探析幾何內涵優(yōu)化解題方案

●劉建中

(泗陽中學高中部 江蘇泗陽 223700)

很多學生在解答平面解析幾何題時，由于缺乏對其幾何內涵的深刻認識和有效把握，而致使解題思路狹窄，運算過程繁瑣，結果常常是“會而不對”或“對而不全”.如何準確地探尋問題的幾何背景與內涵，使解題過程得以優(yōu)化呢？筆者根據平時的教學實踐結合相關問題談談個人的看法，供讀者參考.

1 通過幾何平臺的搭建尋求解法

例1如圖1,F1，F2分別是雙曲線x2-y2=4的左、右焦點，P為其圖像右支上的一點，直線l平分∠F1PF2,過點F1作直線l的垂線，垂足為M，試求點M的軌跡方程.

分析設點M的坐標為(x,y),延長PF2，F1M交于點Q.由條件易知△PF1Q為等腰三角形，M為邊F1Q的中點.又由O為F1F2的中點，得線段OM為△F1QF2的中位線，因此

所以點M的軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓，其方程是x2+y2=4.

評注先根據l平分∠F1PF2且l⊥F1M這一條件構建等腰△PF1Q，再利用三角形中位線定理和雙曲線的定義，得出動點M所滿足的幾何關系，從而使所求的軌跡問題順利獲解.

圖1

圖2

2 通過幾何語言的轉化優(yōu)化運算

例2如圖2，△ABC的3個頂點坐標分別是A(-6，0)，B(2，0)，C(0，6)，點D，E是高CO的2個三等分點，過點D作直線FG∥AC,分別交AB和BC于點G，F，連結EF.

(1)求過點E，G，F的圓M的方程；

(2)在線段AC上是否存在點H，使得過點H存在與圓M相切的直線？且當過點H有2條圓的切線HP，HQ(P，Q為切點)時，求滿足∠PHQ≥90°的點H所對應軌跡的長度.

分析(1)根據條件，易得E(0，4),G(-2，0),F(1,3)，則

從而

EF2+FG2=EG2,

因此△EGF為直角三角形，所求圓M是以線段EG為直徑的圓,其方程為

(x-0)(x+2)+(y-4)(y-0)=0,

即

x2+y2+2x-4y=0.

圖3

即

3 通過幾何特征的把握巧妙探索

例3已知過點A(-1，0)的動直線l與圓C：x2+(y-3)2=4相交于點P,Q，M是PQ的中點，l與直線m:x+3y+6=0相交于點N.

圖4

(1)求證：當l與m垂直時，l必過圓心C.

(3)探索AM·AN的值是否與直線l的傾斜角的大小有關.若無關，請求出其值；若有關，請說明理由.

解(1)當直線l與m垂直時，l的方程為y=3(x+1),l與y軸的交點坐標為(0，3)，即l必過圓心C.

x-uy+1=0.

由點到直線距離公式得

解得

故所求直線l的方程為x+1=0或4x-3y+4=0.

(3)若l過點C，由第(1)小題知l⊥m.設垂足為H，則

若l不過點C，連結CM.由題意得CM⊥l(如圖4).易證

△AMC∽△AHN，

因此

故

AM·AN=AC·AH=5，

所以AM·AN的值與直線l的傾斜角大小無關，其值為5.

評注把握當直線l過點C時這一特殊情形，利用相似三角形的相關知識，有效地避免了較為繁瑣的運算，從而使探索過程輕松、順利，事半功倍.

4 通過幾何結論的運用化難為易

例4如圖5,已知橢圓的中心為坐標原點，短軸長為2，一條準線方程為l：x=2．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設O為坐標原點，F是橢圓的右焦點，點M是直線l上的動點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值．

圖5

(2)設橢圓準線l與x軸的交點為P，FN與OM的交點為H,連結MN.在Rt△OMN中由OM為圓的直徑，利用射影定理可得

又OM⊥FN,l⊥x軸，得點M，H，F，P共圓.由圓的割線定理可得

由式(1)，式(2)得

ON2=OF·OP=1×2=2，

kMN·kON=-1，

進而

解析幾何和平面幾何研究的對象都是幾何問題，區(qū)別在于研究的手段不同.在研究解析幾何問題時，如果注意強化平面幾何應用意識，合理地借助平面幾何知識，出奇制勝，那么就能順利地找到解題突破口，使問題得以解決.