朱永紅 費(fèi)樹岷

(1景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)械電子工程學(xué)院，景德鎮(zhèn) 333001)

(2東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210096)

無源性概念廣泛存在于物理學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)以及力學(xué)等領(lǐng)域.它在控制領(lǐng)域里的應(yīng)用起源于超穩(wěn)定性、正實(shí)性等方面，后經(jīng)控制工作者的努力形成了系統(tǒng)無源性理論［1］.無源性理論的主要思想是系統(tǒng)的無源性可使系統(tǒng)內(nèi)部保持穩(wěn)定.因此，為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，可以利用無源性理論使得閉環(huán)系統(tǒng)無源，從而進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì).近十幾年來，無源性理論在非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)中發(fā)揮了重要的作用［2-5］.研究表明，無源控制方法的主要特征就在于控制器設(shè)計(jì)能夠很好地利用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，無源控制有著清晰的物理意義，具有便于控制的優(yōu)勢(shì)以及良好的魯棒性，因此受到研究人員的廣泛關(guān)注［1-9］.

近年來，在非線性不確定系統(tǒng)自適應(yīng)無源化研究方面，取得了一些研究成果［6-9］.文獻(xiàn)［6］應(yīng)用速度-梯度方法，結(jié)合反饋無源化理論，研究了一類含凸性未知參數(shù)且相對(duì)度為1的弱最小相位非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)反饋無源化問題.文獻(xiàn)［7］針對(duì)一類由可反饋嚴(yán)格無源化的子系統(tǒng)內(nèi)聯(lián)的多輸入非線性系統(tǒng)，運(yùn)用反演法逐步實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的反饋無源化.文獻(xiàn)［8］解決了一類相對(duì)度大于1且不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)反饋無源化問題.文獻(xiàn)［9］基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用無源方法，研究了一類MIMO非線性不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)輸出反饋鎮(zhèn)定問題.含有未知參數(shù)不確定MIMO非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)無源控制方法目前尚未見有報(bào)道.因此，本文在以上研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)一類MIMO非線性系統(tǒng)提出了反饋控制律和參數(shù)適應(yīng)律，實(shí)現(xiàn)了這類系統(tǒng)的自適應(yīng)無源控制.對(duì)算例的仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制器是有效可行的.

1 問題描述

考慮如下的MIMO非線性系統(tǒng):

式中，x∈Rn為狀態(tài);u∈Rm為控制輸入;y∈Rm為輸出信號(hào);f和g為C∞向量場(chǎng);h為光滑映射.假設(shè)向量場(chǎng)f至少有一個(gè)平衡點(diǎn)，不失一般性，可以假定f(0)=0，h(0)=0.令U為允許的輸入集，并假設(shè)?u∈U 以及?x0=x(0)∈Rn，系統(tǒng)(1)輸出y(t)=h(φ)(其中，φ =φ(t，x0，u)表示 f(x)+g(x)u 的流，?x0∈Rn和?u∈U)使得，即系統(tǒng)(1)儲(chǔ)存的能量是有界的.許多機(jī)械和電子機(jī)械系統(tǒng)等都有這種特性，并且這種特性廣泛地應(yīng)用于控制目的.

如果假設(shè)x=0的鄰域Lgh(x)≠0，那么系統(tǒng)(1)在x=0的鄰域相對(duì)階［6］為1.存在坐標(biāo)變換z(x)，使系統(tǒng)能夠變換成如下形式［1］:

因此，系統(tǒng)(2)可以寫成［1］

現(xiàn)考慮如下含有未知常參數(shù)矩陣的不確定MIMO非線性系統(tǒng):

定義1［1］對(duì)于系統(tǒng)(1)，若存在Cr非負(fù)定存儲(chǔ)函數(shù)V(x)(V(0)=0)使得不等式

對(duì)于任意輸入函數(shù)u(τ)以及x(0)∈Rn，t≥0成立，則稱系統(tǒng)(1)是Cr無源的，該不等式稱為無源不等式.本節(jié)中只考慮V為連續(xù)可微的情況.

本文研究的目的是:設(shè)計(jì)控制器u，使得參數(shù)能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)，并且使得系統(tǒng)(5)無源.

為了討論問題方便，先作如下假設(shè):

假設(shè)2［1］存在正定可微函數(shù)的鄰域內(nèi)滿足如下不等式:

2 自適應(yīng)反饋無源控制器的設(shè)計(jì)

2.1 Kb＞0(正定)時(shí)控制器的設(shè)計(jì)

假設(shè)3 矩陣Kb∈Rm×m是對(duì)稱并且正定的矩陣.

定理1 考慮具有未知參數(shù)矩陣非線性系統(tǒng)(5)，并假定其滿足假設(shè)1～假設(shè)3，則存在如下控制器:

使得系統(tǒng)(5)為從輸入 w 到輸出 y的無源系統(tǒng).式中，矩陣為可調(diào)整的參數(shù)矩陣;參數(shù)誤差定義為，其中理想值 θ1，θ2，θ3分別定義為

證明 由式(5)和(6)組成的閉環(huán)系統(tǒng)的存儲(chǔ)函數(shù)為

利用2個(gè)向量的特性aTb=bTa=Trace(abT)=Trace(baT)，于是有

將式(6)中自適應(yīng)律代入式(10)，并選取正定對(duì)稱陣Γ=Kb＞0，根據(jù)假設(shè)2，有

因此，閉環(huán)系統(tǒng)由輸入w到輸出y是無源的.證畢.值得注意的是，當(dāng)w=0時(shí)，由式(11)可知，由式(5)和(6)組成的閉環(huán)系統(tǒng)V˙≤0，由式(7)可知，正定.因此，當(dāng)輸入為0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)為Lyapunov意義上局部穩(wěn)定.如果假設(shè)1和假設(shè)2全局滿足，那么當(dāng)輸入為0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)為Lyapunov意義上全局穩(wěn)定.如果系統(tǒng)(5)中Kb已知，那么由定理1的證明可以直接得出以下推論.

推論1 考慮如下非線性系統(tǒng):

式中，K0，Kμ，Ka為未知參數(shù).假定系統(tǒng)滿足假設(shè)1和假設(shè)2，那么控制器

使得系統(tǒng)為輸入w到輸出y的無源系統(tǒng).證明方法同前(略).值得注意的是，如果由式(5)和(6)組成的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)(y)局部零狀態(tài)可檢測(cè)，那么可以通過輸出反饋，如w=－Ky(K＞0)，使得閉環(huán)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，控制器參數(shù)?i(i=1，2，3)收斂到有界常值.

2.2 Kb為一般常數(shù)陣時(shí)控制器的設(shè)計(jì)

在給出Kb為一般常數(shù)陣時(shí)，反饋無源問題解之前，先引入如下假設(shè)

假設(shè)4 矩陣Kb∈Rm×m可逆.

定理2 考慮具有未知參數(shù)矩陣的非線性系統(tǒng)(5)，并且滿足假設(shè)1，假設(shè)2和假設(shè)4，那么控制器

使得由式(5)和(14)組成的閉環(huán)系統(tǒng)從輸入w到輸出y是無源的.式中，Im×m為Rm×m單位陣;?1(t)，?2(t)，?3(t)為可調(diào)參數(shù)矩陣;參數(shù)誤差定義為，其中理想值 θ1，θ2，θ3分別定義為

證明 由式(5)和(14)組成的閉環(huán)系統(tǒng)的存儲(chǔ)函數(shù)為

定義理想值 Ka+Kbθ3θ1=0，即.同時(shí)定義偏差變量(即參數(shù)誤差).將這些定義代入式(16)可得

使用參數(shù)誤差定義，可將式(17)變換為

利用2個(gè)向量的特性aTb=bTa=Trace(abT)=Trace(baT)，可將式(19)變換為

由此可知，閉環(huán)系統(tǒng)由輸入w到輸出y是無源的.證畢.

值得注意的是，當(dāng)w=0時(shí)，由式(21)可知式(5)和(14)組成的閉環(huán)系統(tǒng)V˙≤0，并且由式(15)可知正定，因此當(dāng)輸入為0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)為Lyapunov意義上局部穩(wěn)定.如果假設(shè)1和假設(shè)2全局滿足，那么當(dāng)輸入為0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)為Lyapunov意義上全局穩(wěn)定.

如果系統(tǒng)(5)中Kb已知，那么由定理2的證明可以直接得出推論1.

3 仿真計(jì)算

考慮如下的MIMO非線性系統(tǒng):

式中，

圖1 狀態(tài)1，2的響應(yīng)曲線

圖2 輸出y1，y2的響應(yīng)曲線

圖3 控制輸入u1，u2

圖4 參數(shù)?1的響應(yīng)曲線

圖5 參數(shù)?2的響應(yīng)曲線

圖6 參數(shù)?3的響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

本文針對(duì)一類含有參數(shù)不確定多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，討論了其自適應(yīng)無源控制問題，提出了其自適應(yīng)無源控制方案和參數(shù)自適應(yīng)律.在一定的假設(shè)情況下，基于Lyapunov方法，證明了所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定.仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制器和參數(shù)自適應(yīng)律能夠使得參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)，并使得系統(tǒng)穩(wěn)定.因此，本文方法是有效可行的.

References)

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