李中華，王 慧

(1.樂山師范學院計算機科學學院，四川樂山614004;2.樂山師范學院數(shù)學與信息科學學院，四川樂山614004)

1 引言

細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(CNNs)和時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(DCNNs)的動力學行為由于其在信號和圖像處理及其它領域的廣泛運用具有重要研究價值，得到了幾個重要結論［1－7］。最近，人們發(fā)現(xiàn)在諸如人腦的網(wǎng)絡經(jīng)常處于周期擾動甚至混沌狀態(tài)中，因而周期擾動解的特征吸引了大量的研究興趣。關于周期解的存在性和指數(shù)收斂性已經(jīng)有結果報道［8－14］，同時，脈沖影響大量存在于各種進化過程，脈沖和時滯都會影響系統(tǒng)的動力學行為。因此，有必要考慮當神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)同時具有脈沖和時滯影響時周期解的存在性與穩(wěn)定性問題。

考察對象為如下脈沖時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡:

式中:n為神經(jīng)元個數(shù);xi(t)為第i個神經(jīng)元在t時刻的狀態(tài);fj為神經(jīng)元激活函數(shù);ai＞0代表神經(jīng)元充電時間常數(shù);τij(t)代表軸信號傳輸時滯;αij(t)為第i個神經(jīng)元和第j個神經(jīng)元的連接權重;βij(t)為時滯連接權重［αij(t)和βij(t)是ω周期函數(shù)］;Δxi(tk)是在時間tk的脈沖;t1＜t2＜…為嚴格遞增序列，且滿足limk→∞tk=+∞ 。系統(tǒng)初始條件為:

假設:(H1)fj(x)，j=1，2，…，n全局 Lipschitz連續(xù)，Lipschitz常數(shù)為 Lj，即，(H2)存在正整數(shù)m使得tk+m=tk+ω，Ii(k+m)=Iik;(H3)-2≤ Iik≤0。

定義1 稱系統(tǒng)(1)的周期解x(t，φ*)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在正常數(shù)α和β使得系統(tǒng)(1)的每個解x(t，φ)滿足:

下一節(jié)將用到連續(xù)函數(shù)f(t)的右上Dini導數(shù)，其定義為:

由右上Dini導數(shù)定義，可直接得到如下引理:

引理1 若f(t)為定義在R上的在時刻t0可微的連續(xù)函數(shù)，則:

2 主要結論

引理2 設 x(t，φ)和 x(t，φ)是系統(tǒng)(1)的2 個解，若條件(H1)－(H3)成立，且如下條件滿足:

(H4)存在正數(shù) λi，i=1，2，…，n 使得

i，j=1，2，…，n

則存在正常數(shù) λi，i=1，2，…，n，使得:

其中:M(ε)≥1。

證明:令

1)當 t≠tk時，有:

注意到對所有的 i=1，2，…，n

因此，

在此定義

帶入并簡化，得:

由條件(H4)和P(ε)的連續(xù)性知，存在一正數(shù)(不妨還是記為ε)使得P(ε)＜0。

從而D+V(t)＜0。

2)當t=tk

故，有V(tk+0)＜V(tk)

且:

另一方面，

即

定理1：若 (H1)－(H4)成立，則系統(tǒng)(1)具有全局指數(shù)穩(wěn)定的ω-周期解。

證明:第1步，ω-周期解的存在性

定義映射P:C→C，Pφ =xω(φ)

由引理2，得到:

上式說明Pm是Banach空間C上的一個壓縮控制映射，根據(jù)控制映射原理Pm有且僅有一個不動點φ*。注意到 Pm(Pφ*)=P［Pm(φ*)］=Pφ*，這說明Pφ*∈C也是Pm的不動點，由Pm的不動點的唯一性知Pφ*= φ*，即xω(φ*)= φ*。令x(t，φ*)是系統(tǒng)(1)的初始值為 φ*的解，則 xt+ω(φ*)=xt［xω(φ*)］=xt(φ*)，t≥0。這表明x(t+ω，φ*)=x(t+ ω，φ*)(0)=xt［xω(φ*)］(0)=xt(φ*)(0)=x(t，φ*)，t≥0。

因此，x(t，φ*)是ω-周期的。

第2步，周期解的指數(shù)穩(wěn)定性

由引理2，系統(tǒng)(1)的任意解x(t，φ)滿足:

x(t，φ)-x(t，φ)∞≤ M(ω)φ - φ∞e-εt，t≥0。

這就說明了x(t，φ)指數(shù)趨向于x(t，φ*)。

由定理1直接可得

推論1：若(H1)－(H3)成立，且如下條件滿足:則系統(tǒng)(1)存在一全局指數(shù)穩(wěn)定的ω-周期解。

當時滯τij(t)=0，αij(t)≡αij，得到如下推論:

推論2：假設(H1)－(H4)成立，并且如下條件滿足

存在正常數(shù) λi，i=1，2，…，n 使得

有一全局指數(shù)穩(wěn)定的ω-周期解。

顯然，推論2的條件(H6)比文獻［15］的條件(H5)更少保守性。

3 數(shù)值實例

用數(shù)值實例來說明結論的有效性?？紤]如下兩個神經(jīng)元系統(tǒng)

【例 1】

顯然，條件(H1)－(H3)滿足，選取 λ1=λ2=1，則條件(H4)成立，從而存在指數(shù)穩(wěn)定的2π－周期解 (圖1)。

圖1 系統(tǒng)(2)的時間響應曲線和2π－周期解相譜Fig.1 Time response curves and Phase portrait of 2π-eriodic solutions of system(2)

【例2】

圖2 tk=0.2kπ時，系統(tǒng)(3)的時間響應曲線和2π－周期解相譜Fig.2 Time response curves and Phase portrait of 2π-periodic solutions of system(3)

4 結語

為脈沖時滯神經(jīng)網(wǎng)絡周期解的存在性和全局指數(shù)穩(wěn)定性提供了充分條件。并將文獻［15］中的結論一般化，它具有更少的保守性。然而，本結論也需要進一步改善，比如脈沖律被限制在一個小范圍內，這是下一步研究目標。

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