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        基于最小走時(shí)射線的LSQR 成像反演方法研究

        2010-08-16 03:04:02趙火焱趙明階黃衛(wèi)東
        關(guān)鍵詞:層析成像波速射線

        趙火焱,趙明階,黃衛(wèi)東,李 建,李 勇

        (1.重慶交通大學(xué)河海學(xué)院,重慶400074;2.重慶市交通工程監(jiān)理咨詢有限責(zé)任公司,重慶400042)

        層析成像作為一種非破壞性的檢測方法,概念是利用外部探測能量觀察待測物的反應(yīng),藉由反應(yīng)結(jié)果進(jìn)而對待測物剖面進(jìn)行成像的技術(shù)。其最早應(yīng)用于天文顯像(Bracewell,1956)、醫(yī)學(xué)診斷與顯微技術(shù)(DeRosier and Klug,1968)等,并逐漸應(yīng)用于地球物理學(xué)和機(jī)械工業(yè)中。如今隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和成像理論的發(fā)展,成像技術(shù)在土木工程無損檢測中也日益發(fā)揮重要作用[1-3]。采用彈性波等激發(fā)源,根據(jù)實(shí)測波初至旅行時(shí)間及波的行進(jìn)路徑來反演待測體內(nèi)速度分布的方法稱為波速層析成像。

        波速層析成像的概念可以由下面這個簡單的數(shù)學(xué)公式來表示:

        為確定波的行進(jìn)路線ray,目前主要采用射線追蹤技術(shù),其理論基礎(chǔ)是在高頻近似條件下,波場的主能量沿射線軌跡傳播。現(xiàn)有射線追蹤方法有初至波旅行時(shí)法、線性旅行時(shí)插值法和最短路徑法等。其中最短路徑射線追蹤算法最早由Nakanishi et al提出,Moser[4]對此方法做了全面研究。該方法基于圖論和費(fèi)馬原理,其靈活而穩(wěn)定,且適用于任意復(fù)雜介質(zhì)模型,在彈性波正反演領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[5-6]。

        筆者根據(jù)最短路徑射線追蹤原理,并在離散網(wǎng)格單元過程中做出改進(jìn),采用FORTRAN語言和VB語言實(shí)現(xiàn)聯(lián)合編程計(jì)算,然后通過建立數(shù)字模型來驗(yàn)證該方法的可行性。

        1 波速層析成像系統(tǒng)的軟件編制

        1.1 建立速度網(wǎng)格和射線網(wǎng)格

        為實(shí)現(xiàn)編程計(jì)算,筆者將待測體離散化為N個二維矩形節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格作為速度網(wǎng)格,并假定網(wǎng)格單元內(nèi)速度v為均勻分布。第i個單元的初始速度值由旅行時(shí)觀測值假定:該方法首先假定模型為均質(zhì),則射線傳播路徑為直線,由第j條射線的長度Dj為與這條射線對應(yīng)的觀測值的比值得到射線上的平均速度值,令通過某網(wǎng)格單元的所有射線的速度均值為該單元的初始速度值。該方法比假設(shè)初始速度值為均值的方法具有一定的優(yōu)越性[7]。

        將速度網(wǎng)格各邊內(nèi)插若干節(jié)點(diǎn)并與原節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格共同形成射線網(wǎng)格。本文用到的射線網(wǎng)格模型是在Moser使用的網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上每單元增加了4個角點(diǎn),即每條邊增加2個節(jié)點(diǎn),這在一定程度上提高了射線精度。根據(jù)惠更斯原理,每個射線節(jié)點(diǎn)既作為接收點(diǎn)又作為新的震源向周圍節(jié)點(diǎn)傳播能量,波在各節(jié)點(diǎn)之間的旅行時(shí)由下式得出:

        其中:tij、dij為節(jié)點(diǎn)間走時(shí)及間距;Sij為節(jié)點(diǎn)公共單元慢度。

        1.2 Dijkstra最短路徑射線追蹤法

        求解最短路徑問題多采用F.W.Dijkstra[8]提出Dijkstra算法。在求從網(wǎng)絡(luò)中的某一節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))到其余各節(jié)點(diǎn)的最短路徑時(shí),該算法將網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)分成3部分:未標(biāo)記節(jié)點(diǎn)、臨時(shí)標(biāo)記節(jié)點(diǎn)和最短路徑節(jié)點(diǎn)。算法開始時(shí)源點(diǎn)初始化為最短路徑節(jié)點(diǎn),其余為未標(biāo)記節(jié)點(diǎn),算法執(zhí)行過程中,每次從最短路徑節(jié)點(diǎn)往相鄰節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展,非最短路徑節(jié)點(diǎn)的相鄰節(jié)點(diǎn)修改為臨時(shí)標(biāo)記節(jié)點(diǎn),判斷權(quán)值是否更新后,在所有臨時(shí)標(biāo)記節(jié)點(diǎn)中提取權(quán)值最小的節(jié)點(diǎn),修改為最短路徑節(jié)點(diǎn)后作為下一次的擴(kuò)展源,再重復(fù)前面的步驟,當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)都做過擴(kuò)展源后算法結(jié)束。具體算法描述如下:設(shè)在一非負(fù)權(quán)簡單連通無向圖G=[V,E,W ](V:頂點(diǎn)集;E:邊集;W:邊權(quán)值)中,D 為圖G的鄰接矩陣,求源點(diǎn)P0到其余所有節(jié)點(diǎn)P(i)的最短路徑長度。①將V分為未標(biāo)記節(jié)點(diǎn)子集N、臨時(shí)最短路徑節(jié)點(diǎn)子集T和最短路徑節(jié)點(diǎn)子集S,每個節(jié)點(diǎn)上的路徑權(quán)值為 D(i),初始化:S=P0,T=φ,N=V-C,D(0)=O,D(i)=∞;②更新:將新加入 S集合的節(jié)點(diǎn)P(s)作為擴(kuò)展源,計(jì)算從擴(kuò)展源到相鄰節(jié)點(diǎn)的路徑值。若該值比原值小,則替換原值,否則保持原值不變,將相鄰節(jié)點(diǎn)之中的未標(biāo)記節(jié)點(diǎn)歸為臨時(shí)標(biāo)記節(jié)點(diǎn),即T=T∪ P(i),N=N- P(i);③選擇:在T中選擇具有最小路徑值D(s)的節(jié)點(diǎn)P(s),歸入集合S中,即 S=S∪P(s),T=T-P(s);④迭代判斷:若T=φ算法結(jié)束,否則轉(zhuǎn)②。

        1.3 建立JACOBI矩陣

        JACOBI矩陣A(M,N)是反映速度節(jié)點(diǎn)與各條射線關(guān)系的矩陣,M為射線根數(shù),N為速度網(wǎng)格單元個數(shù)。當(dāng)最短射線路徑確定后,A(i,j)即為第i條射線在第j單元中的長度。由于每條射線只通過少數(shù)幾個單元,只對這幾個單元的節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生影響,故JACOBI矩陣是大型稀疏矩陣,并且通常是病態(tài)的。

        1.4 反演計(jì)算

        網(wǎng)格離散化后,第j條射線旅行時(shí)理論值Tt

        迭代方法有代數(shù)重建法(ART)、聯(lián)合迭代重建法(SIRT)以及最小二乘正交分解法(LSQR)等幾種。LSQR算法[9]計(jì)算速度快、易收斂,故采用此種方法。

        2 假定物理模型

        筆者設(shè)計(jì)了2個帶有異常速度區(qū)域的假定物理模型。模型寬6 m,深8 m,離散網(wǎng)格間距0.5 m,每邊內(nèi)插9個節(jié)點(diǎn),發(fā)射點(diǎn)22個,接收點(diǎn)24個,炮點(diǎn)間距均為0.5 m,左側(cè)發(fā)射時(shí)頂部接收,頂部發(fā)射時(shí)左右兩側(cè)接收,射線布置圖如圖1。

        圖1 射線布置圖Fig.1 Ray disposal figure

        模型1(圖2)設(shè)置水平低速異常帶,帶寬2 m,位置在頂面以下2 m,背景速度4 000 m/s,異常帶速度為3 500 m/s。經(jīng)7次迭代后射線圖和色塊圖及波速三維圖分別為圖3~圖5。

        圖2 模型1Fig.2 Model No.1

        圖3 經(jīng)7次迭代射線圖Fig.3 Ray after 7 times inversion

        圖4 經(jīng)7次迭代后色塊圖Fig.4 Result after 7 times inversion

        圖5 經(jīng)7次迭代后波速3D圖Fig.5 Velocity 3D figure after 7 times inversion

        模型2(圖6)設(shè)置4個速度異常塊,2個高速異常塊,2個低速異常塊,尺寸均為1 m×1 m。背景速度4 000 m/s,高低速異常塊速度分別為4 500,3 500 m/s。經(jīng)6次迭代后的射線圖和色塊圖及波速三維圖分別為圖7~圖9。

        圖6 模型2Fig.6 Model No.2

        圖7 經(jīng)6次迭代后射線圖Fig.7 Ray after 6 times inversion

        圖8 經(jīng)6次迭代后色塊圖Fig.8 Result after 6 times inversion

        圖9 經(jīng)6次迭代后波速3D圖Fig.9 Velocity 3D figure after 6 times inversion

        通過觀察圖4及圖8可見,成像結(jié)果能較好的反映速度異常區(qū)域的位置,但在形狀和尺寸上存在失真,究其原因有以下幾點(diǎn):①本文模型中,射線是水平和傾斜的,缺少垂直方向或接近垂直方向上的射線,因此成像橫向分辨率較垂向分辨率要高;②由于通過底部區(qū)域的射線數(shù)較少,導(dǎo)致這一區(qū)域的失真情況較明顯;③由于在邊界處數(shù)據(jù)的覆蓋程度不足引起邊界圖像失真并影響反演的中間區(qū)域,使遠(yuǎn)離邊界很大一段距離內(nèi)的圖象都發(fā)生畸變。

        模型節(jié)點(diǎn)速度真值與反演值之間相關(guān)系數(shù)為:

        模型1反演結(jié)果的平均相對誤差為2.34%,相關(guān)系數(shù)為0.84,低速異常帶相對誤差為-4.4% ~12.5%;模型2平均相對誤差為2.59%,相關(guān)系數(shù)為0.85,低速區(qū)節(jié)點(diǎn)相對誤差為 -1.73% ~7.44%,高速區(qū)相對誤差為-6.24% ~4.06%。節(jié)點(diǎn)相對誤差如圖10、圖11。結(jié)果表明,異常區(qū)偏差較大,且結(jié)果值大都偏近于速度背景值;平均相對誤差較小,相關(guān)系數(shù)值較高;成像結(jié)果能較好地反映模型值。

        圖10 模型1節(jié)點(diǎn)相對誤差Fig.10 Node relative difference of model NO.1

        圖11 模型2節(jié)點(diǎn)相對誤差Fig.11 Node relative difference of model NO.2

        3 結(jié)論

        對基于最小走時(shí)射線追蹤方法和LSQR反演方法的波速層析成像從方法原理、假定物理模型等方面進(jìn)行了研究,得出了以下2點(diǎn)結(jié)論:

        1)基于最小走時(shí)射線追蹤的LSQR波速層析成像方法可靠穩(wěn)定,收斂性好,效率高。

        2)由于射線分布不均及射線數(shù)據(jù)覆蓋程度不足等原因引起圖像局部失真。以上情況可通過完善射線布置情況和加密網(wǎng)格等方法得以改善。

        [1]楊文采,杜劍淵.層析成像新算法及其在工程檢測上的應(yīng)用[J].地球物理學(xué)報(bào),1994,37(2):239 -244.

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