孟 飛

南京郵電大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京 210003

流體運(yùn)動(dòng)的幾類(lèi)模型

孟 飛

南京郵電大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京 210003

流體力學(xué)是一門(mén)重要的學(xué)科，描述流體運(yùn)動(dòng)通常有幾種方法，本文主要介紹了描述流體運(yùn)動(dòng)常用的幾種數(shù)學(xué)模型，分析了它們的原理，并討論了它們的優(yōu)缺點(diǎn)。

流體力學(xué)；連續(xù)介質(zhì)；分子動(dòng)力學(xué)；Boltzmann方程

流體力學(xué)是一門(mén)研究流體宏觀運(yùn)動(dòng)的學(xué)科。雖然流體的微觀運(yùn)動(dòng)在時(shí)間和空間上都非常復(fù)雜，具有不均勻性、離散型、隨機(jī)性，但是流體的宏觀運(yùn)動(dòng)一般總是呈現(xiàn)出均勻性，連續(xù)性，確定性。流體的宏觀運(yùn)動(dòng)和其他性質(zhì)是流體分子微觀運(yùn)動(dòng)的平均結(jié)果。在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)基礎(chǔ)上，流體的宏觀運(yùn)動(dòng)可以用Navier-Stokes方程來(lái)描述，盡管連續(xù)介質(zhì)是一種假設(shè)，但由于在很多情況下這一假設(shè)都可以成立。所以這種觀點(diǎn)已經(jīng)被流體力學(xué)廣泛地采用，并獲得了很大的成功；另一方面，近些年，人們提出從微觀的角度來(lái)理解宏觀流體力學(xué)的概念和現(xiàn)象，能夠深刻地揭示宏觀現(xiàn)象的本質(zhì)，對(duì)于更好的認(rèn)識(shí)這些現(xiàn)象具有重要的意義。

本文著重介紹下通常研究流體力學(xué)的幾種數(shù)學(xué)模型，分析一下它們的理論及優(yōu)劣。

首先，我們先來(lái)看大家所熟悉的流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)模型，在這里，流體可以看作是充滿整個(gè)流場(chǎng)的連續(xù)介質(zhì)，可以在流場(chǎng)中的每一個(gè)空間點(diǎn)定義留意的密度、速度、溫度，壓力等物理量，并建立一系列的偏微分方程來(lái)描述流體的運(yùn)動(dòng)。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是流體力學(xué)中的一個(gè)基本假設(shè)，是對(duì)流體結(jié)構(gòu)的一種近似，當(dāng)研究對(duì)象的尺度比粒子結(jié)構(gòu)尺度大得多時(shí)，這一假設(shè)就成立，這一假設(shè)對(duì)于日常生活和工程中的絕大多數(shù)情況是合理的，依賴(lài)于這一假設(shè)，研究獲得了很大的成功，比如飛機(jī)在空氣中的運(yùn)動(dòng)，輪船在水中的運(yùn)動(dòng)，由于其特征尺度遠(yuǎn)大于粒子的結(jié)構(gòu)尺度，所以，空氣和水都可以被認(rèn)為是連續(xù)介質(zhì)，但是對(duì)于一些特殊情況，比如血液在動(dòng)脈中的運(yùn)動(dòng)，高空稀薄氣體中物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，就不能當(dāng)做連續(xù)介質(zhì)。此外由于描述此運(yùn)動(dòng)的Navier-Stokes方程的復(fù)雜性，除了少數(shù)非常簡(jiǎn)單的情況，一般情況是得不到方程的解析解，所以，以傳統(tǒng)的解方程的方法來(lái)解決流體問(wèn)題暫時(shí)是行不通的，所以利用計(jì)算機(jī)利用數(shù)值方法找近似解是常見(jiàn)的方法，這就是計(jì)算流體力學(xué)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和相關(guān)數(shù)學(xué)的發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛，現(xiàn)在很多工業(yè)部門(mén)及研究單位，這是采用得比較普遍的一種方法，而且隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，相應(yīng)的也出現(xiàn)了很多應(yīng)用軟件，可以這樣說(shuō)，以往通過(guò)理論和實(shí)驗(yàn)解決不了流體的問(wèn)題，現(xiàn)在很大程度上可以通過(guò)計(jì)算機(jī)去解決。

其次，我們?cè)賮?lái)了解下從微觀方面來(lái)描述流體運(yùn)動(dòng)的分子動(dòng)力學(xué)模型，因?yàn)閺奈锢砩蟻?lái)說(shuō)，流體是由分子構(gòu)成的，流體的宏觀運(yùn)動(dòng)時(shí)微觀分子熱運(yùn)動(dòng)的平均結(jié)果，如果我們知道了分子的微觀運(yùn)動(dòng)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)平均這種方法就可以得到流體的宏觀物理量。分子動(dòng)力學(xué)模型可以是確定性的，也可以是隨機(jī)性的。在分子動(dòng)力學(xué)模型中，分子遵循經(jīng)典的牛頓運(yùn)動(dòng)方程，所以，通過(guò)求解方程就可以確定任意分子在任意時(shí)刻的速度和位置。由于分子動(dòng)力學(xué)模擬是基于分子最基本的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，所以原則上可以模擬任意流體系統(tǒng)。利用計(jì)算機(jī)對(duì)這種模型進(jìn)行模擬是其一個(gè)重要的特點(diǎn)，由于計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，這種模型也得到了很大的發(fā)展，它也應(yīng)用于物理、生物、化學(xué)等各個(gè)學(xué)科上，雖然分子動(dòng)力學(xué)模擬方法有這樣的優(yōu)點(diǎn)，但由于在模擬過(guò)程中，對(duì)一個(gè)流體系統(tǒng)而言，其分子的數(shù)量非常巨大，而且在每一個(gè)步長(zhǎng)中，每個(gè)分子的新位置和新速度都要重新計(jì)算，所以這需要很大的計(jì)算量和存儲(chǔ)量，因此，這種模型現(xiàn)在只能用于二維運(yùn)動(dòng)，對(duì)于三維復(fù)雜流動(dòng)進(jìn)行模擬幾乎是不可能的，它的進(jìn)一步發(fā)展及推廣決定于計(jì)算機(jī)的發(fā)展。

第三，類(lèi)模型是從介觀的角度來(lái)描述流體，稱(chēng)為氣體動(dòng)理論。而此時(shí)我們用Boltzmann方程來(lái)描述流體，這個(gè)方程是統(tǒng)計(jì)力學(xué)中描述非平衡態(tài)分布函數(shù)演化規(guī)律的方程，這個(gè)方程的基本想法是不去確定每個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而是求出每一個(gè)分子處在某一狀態(tài)下的概率，通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法得到系統(tǒng)的宏觀參數(shù)，Boltzmann方程是基于二體碰撞，分子混沌性假設(shè)及沒(méi)有外力的影響而得到的，但這個(gè)方程也是一個(gè)非常復(fù)雜的積分微分方程，所以直接求解也不可能。因此，人們提出了很多的簡(jiǎn)化的模型，比如對(duì)碰撞算子做一些近似，如著名的BGK模型，這個(gè)近似使得碰撞算子線性化，從而簡(jiǎn)化方程，利用這個(gè)模型來(lái)求解流體的宏觀物理量的方法我們稱(chēng)為格子Boltzmann方法，實(shí)際上，格子Boltzmann方程可以看做是連續(xù)的Boltzmann的方程的一種特殊的離散格式，在格子方法中，流體被抽象為大量的微觀粒子，并且根據(jù)一些簡(jiǎn)單的方式在規(guī)則的格子上碰撞和遷移，通過(guò)粒子運(yùn)動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，就可以得到流體的宏觀特性。從離散的網(wǎng)格說(shuō)，這種方法具有Euler方法的特性，從離散的粒子來(lái)說(shuō)，這種說(shuō)法又有Langrange方法的特性，而且，格子方法還具有一些常規(guī)數(shù)值方法所沒(méi)有的優(yōu)點(diǎn)，如物理圖像清晰，邊界條件處理簡(jiǎn)單，程序易于實(shí)施，計(jì)算具有并行性，所以，從格子Boltzmann方法剛誕生起，就引起了物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家，計(jì)算機(jī)學(xué)家和其他領(lǐng)域的科學(xué)家的關(guān)注，現(xiàn)在它被認(rèn)為是最有前途的數(shù)值模擬方法之一。格子Boltzmann方法除了在一般的流體力學(xué)中有比較好的應(yīng)用外，在多相流、滲流、粒子懸浮流等相關(guān)領(lǐng)域也得到了相關(guān)的應(yīng)用，所以，也必將成為大家研究的熱點(diǎn)。

[1]何雅玲，王勇，李慶.格子方法的理論及應(yīng)用.科學(xué)出版社.

[2]郭照立，鄭楚光，李青，王能超.流體動(dòng)力學(xué)的格子Boltzmann方法.湖北科學(xué)技術(shù)出版社.

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1674-6708（2010）24-0134-01