王 軍，曹 平

（1.湖南工程學(xué)院建筑工程學(xué)院，湘潭 411104；2.中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院，長沙 410083）

滑移線積分變換在土坡穩(wěn)定性中的應(yīng)用

王 軍1，曹 平2

（1.湖南工程學(xué)院建筑工程學(xué)院，湘潭 411104；2.中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院，長沙 410083）

根據(jù)邊坡變形潛在滑體勢能變換的特點(diǎn)，用Bishop法、耗散能法和有限單元法分別對(duì)雙層和3層土質(zhì)邊坡進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。首先通過對(duì)邊坡滑移線積分公式的轉(zhuǎn)化和推導(dǎo)，建立了以勢能耗散能量表示的改進(jìn)極限平衡法求解安全系數(shù)的計(jì)算式。結(jié)合平面應(yīng)變兩類型邊坡算例分析，并利用VC++程序語言編制簡易的安全系數(shù)和滑移線方程的求解程序，對(duì)雙層和3層土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算分析。計(jì)算結(jié)果顯示：耗散能法得到的潛在滑移線解析式滿足指數(shù)方程，且在層面附近間斷；Bishop法得到的潛在滑移線經(jīng)過坡腳，其解析式滿足圓方程；耗散能法所得安全系數(shù)介于Bishop法和有限元法之間，為研究邊坡穩(wěn)定性和工程加固的合理范圍提供了借鑒，這對(duì)極限平衡法求解邊坡穩(wěn)定性也是一種有益的補(bǔ)充。

邊坡工程；耗散能法；安全系數(shù)；積分變換

1 概 述

邊坡是巖土工程中最常見的構(gòu)筑物形式之一，應(yīng)用于交通土建、基坑、水利和礦山等工程的建設(shè)，也是巖土工程中研究的重要內(nèi)容之一，其中土質(zhì)邊坡又占了很大的比例。目前對(duì)于土質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性已有了相當(dāng)廣泛的研究，并獲得了眾多研究成果，能夠?qū)吰路€(wěn)定性做出合理的安全評(píng)價(jià)和安全系數(shù)的解答［1-3］。安全系數(shù)是評(píng)價(jià)邊坡穩(wěn)定性的重要參量，其定義較為被公認(rèn)和應(yīng)用較多的有3種形式：強(qiáng)度儲(chǔ)備安全系數(shù)；超載儲(chǔ)備安全系數(shù)和下滑力超載儲(chǔ)備安全系數(shù)，且以第一種應(yīng)用最廣泛。

評(píng)價(jià)邊坡穩(wěn)定性常用的方法有極限平衡法、極限分析法、數(shù)值計(jì)算法、智能算法和工程類比法，大都是基于各種假定搜索滑移線和求解安全系數(shù)。然而能量法作為一種全局動(dòng)態(tài)變化，計(jì)算獲取滑移線和安全系數(shù)等優(yōu)點(diǎn)已被應(yīng)用。羅一忠［4］利用耗散能原理和有限元技術(shù)對(duì)工程邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行了合理的評(píng)價(jià)；朱青山［5］利用能量守衡原理研究爆破震動(dòng)下露天節(jié)理巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性與監(jiān)測結(jié)果相吻合；趙進(jìn)勇等［6］利用干擾能量和非線性有限元技術(shù)對(duì)長江下游某岸坡進(jìn)行了模擬，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測相符合等等，很多研究學(xué)者都是結(jié)合了數(shù)值技術(shù)。本文根據(jù)邊坡工程潛在滑體滑動(dòng)的特點(diǎn)，在滑動(dòng)過程中，沿軌跡邊坡的滑體其形狀在不斷地變化，且在滑移線兩側(cè)巖土介質(zhì)也不滿足協(xié)調(diào)條件，并結(jié)合極限法和能量轉(zhuǎn)換規(guī)律公式推導(dǎo)求解邊坡的安全系數(shù)，并搜索其潛在的滑移線，其物理意義直觀，參數(shù)容易獲取，所得結(jié)果具有較大的工程意義和學(xué)術(shù)價(jià)值。

2 基于能量轉(zhuǎn)換的安全系數(shù)

邊坡穩(wěn)定性的求解問題主要是得到潛在滑移線和安全系數(shù)，目前廣大科研工作者對(duì)安全系數(shù)的求解大都基于強(qiáng)度折減法，對(duì)滑移線上土體的實(shí)際抗剪強(qiáng)度進(jìn)行折減，使之達(dá)到極限平衡狀態(tài)，用式（1）表示［7］：

式中：Fs為折減系數(shù)，τf為滑移線上土的抗剪強(qiáng)度，τ為潛在滑移線上土的實(shí)際剪應(yīng)力，l為滑動(dòng)弧長，φ為內(nèi)摩擦角，c為粘結(jié)力，φ′為邊坡達(dá)到臨界破壞時(shí)的內(nèi)摩擦角，c′為邊坡到達(dá)臨界破壞時(shí)的粘結(jié)力，F(xiàn)s為折減系數(shù)，在臨界破壞時(shí)，即為安全系數(shù)。

根據(jù)邊坡工程潛在滑體滑動(dòng)變形的特點(diǎn)，起先該滑體具有最大的勢能和最大初始摩阻力，這是滑體自重和滑移線上摩擦阻力提供的，文中稱為耗散能。然而滑體在滑動(dòng)過程中，其勢能逐漸轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，剩余耗散能和剩余勢能（滑體重心對(duì)于參考面），文中不考慮構(gòu)造應(yīng)力和最終剩余勢能的影響，利用文獻(xiàn)安全系數(shù)的定義，表達(dá)式為

式中：K為安全系數(shù)；U為滑體沿滑移線的總耗散能（主要提供阻滑作用）；π為滑體的初始總自重勢能。

根據(jù)總耗散能與總自重勢能的關(guān)系，安全系數(shù)滿足如下關(guān)系：

當(dāng)總耗散能等于總自重勢能時(shí)，邊坡處于極限平衡狀態(tài)；當(dāng)安全系數(shù)K＞1時(shí)，邊坡處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)安全系數(shù)K＜1時(shí)，邊坡處于失穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)安全系數(shù)K＝1時(shí)，邊坡處于極限狀態(tài)。

又根據(jù)能量耗散定義（這里指滑動(dòng)面上摩擦力耗掉的能量），得

式中：ni為沿滑動(dòng)線的單位切向向量；f為矢量，表示為剩余阻力；i為劃分的條塊數(shù)，其表達(dá)式為

式中：W為滑體的總自重，α為滑移線與水平面的夾角。

圖1 耗散能法計(jì)算示意圖Fig.1 Sketch on energy dissipation method

圖1 中：γi，ci，φi分別為第i層土的重度，粘結(jié)力和內(nèi)摩擦角；hi為第i層土的計(jì)算邊界高度；fi（x）為第i級(jí)坡面的方程；gi（x）為第i層土分界面的方程；y＝f（x）為滑移線的方程。

其中，耗散能沿滑移線的積分表達(dá)式為

根據(jù)對(duì)坐標(biāo)曲線積分的轉(zhuǎn)化關(guān)系，則式（6）改寫為對(duì)坐標(biāo)的積分關(guān)系式

根據(jù)邊坡土體的分布情況，由式（10）到（13）計(jì)算得到的滑移線切割邊坡土體時(shí)，應(yīng)分別對(duì)多層土質(zhì)邊坡所劃分條塊的重量（為重度與其包圍面積的乘積）進(jìn)行求解。

邊坡滑體的初始總自重勢能為

式中：L為邊坡滑體形心的高度；Li為分條塊的形心高度；h為被滑移線所包圍的土層數(shù)。

結(jié)合式（6）、（7）和（8）得出安全系數(shù)為滑移線坐標(biāo)的函數(shù)解析式為

式中y＝f（x）為潛在滑動(dòng)線的函數(shù)表達(dá)式。

根據(jù)式（11）和式（13）可知，針對(duì)不同的滑移線，邊坡的安全系數(shù)不一樣。

3 多層土質(zhì)邊坡的算例分析

本文就雙層和3層土質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性對(duì)邊坡的潛在滑移線方程和安全系數(shù)的求解進(jìn)行了簡易程序WJED的編寫。文中計(jì)算分別對(duì)雙層和3層土質(zhì)邊坡用Bishop法、有限元法和能量耗散法進(jìn)行了比較分析（為節(jié)省篇幅，本文僅對(duì)以上2種情況作比較分析，另外Bishop法和有限差分法的計(jì)算過程將另外行文，本節(jié)省略）。

采用耗散能法對(duì)雙層和3層土質(zhì)邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，邊坡的分層高度分別為h1＝10 m，h2＝10 m，總高度H＝30 m，坡頂和坡腳距左右邊界的距離均為20 m，其邊坡計(jì)算范圍和力學(xué)參數(shù)見圖2和圖3。

首先對(duì)雙層土質(zhì)邊坡經(jīng)Bishop法、有限元法和耗散能法計(jì)算，滑移線的函數(shù)式為：

圖2 雙層土坡計(jì)算結(jié)果圖Fig.2 Calculated results of double-layer soil slope

圖3 3層土坡計(jì)算結(jié)果圖Fig.3 Calculated results of three-layer soil slope

再對(duì)3層土質(zhì)邊坡經(jīng)Bishop法、有限元法和耗散能法計(jì)算，滑移線的函數(shù)式為：

比較分析可得，Bishop法所得出的滑移線滿足圓的方程，耗散能法得出的滑移線呈分段形式，在層面附近發(fā)生間斷，且其滑移線方程均滿足指數(shù)方程。上述方法搜索其潛在滑移線在邊坡的分布見圖2和圖3。

從圖2和圖3可知，耗散能法所得出的分段滑移線均介于Bishop法和有限單元法之間。安全系數(shù)的計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 土質(zhì)邊坡安全系數(shù)的結(jié)果Table1 Results on safety factors

從表1安全系數(shù)的計(jì)算結(jié)果顯示：Bishop法計(jì)算的安全系數(shù)為0.82，其值最??；有限單元法計(jì)算得到的安全系數(shù)為0.96，顯最大值；耗散能法計(jì)算得到的安全系數(shù)為0.87，介于兩方法之間，誤差介于7%～17%，主要接近于Bishop法。表1安全系數(shù)的計(jì)算結(jié)果還顯示：Bishop法計(jì)算的安全系數(shù)為0.75，其值最?。挥邢迒卧ㄓ?jì)算得到的安全系數(shù)為0.89，顯最大值；耗散能法計(jì)算得到的安全系數(shù)為0.79，介于兩方法之間，誤差介于10%～19%，也主要接近于Bishop法。主要是隨著層數(shù)的增加，潛在滑體的勢能快速變化，且耗散的能量也逐漸增加，導(dǎo)致安全系數(shù)減小。同時(shí)耗散能法沒有考慮滑體內(nèi)摩擦能量的損耗和滑體滿足變形協(xié)調(diào)條件，這是耗散能法得到的安全系數(shù)介于Bishop法和有限單元法之間的原因所在。雙層和3層土質(zhì)邊坡的算例均表明，本文方法對(duì)剛體極限平衡法是一種有效的改進(jìn)，是極限平衡法求解邊坡穩(wěn)定性的有益補(bǔ)充。

4 結(jié) 論

（1）根據(jù)極限平衡法和邊坡潛在滑移線上抗剪強(qiáng)度折減技術(shù)，基于重力勢能耗散的特點(diǎn)，建立了改進(jìn)的極限平衡法求解安全系數(shù)的定義式。

（2）通過對(duì)邊坡潛在滑移線的積分變換，推出了邊坡安全系數(shù)的計(jì)算式。對(duì)雙層土質(zhì)邊坡進(jìn)行了計(jì)算分析，其滑移線表達(dá)式滿足指數(shù)方程。

（3）通過3種方法對(duì)雙層和3層土質(zhì)邊坡安全系數(shù)的算例分析表明，耗散能法得到的安全系數(shù)是介于Bishop法和有限單元法之間，其邊坡潛在滑移線也是介于Bishop法和有限單元法搜索的滑移線之間，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況較吻合。

（4）針對(duì)多層巖土混合邊坡三維分析的復(fù)雜性，將有待進(jìn)一步研究。

［1］ 劉金龍，陳陸望.變形參數(shù)對(duì)邊坡安全系數(shù)的影響［J］.長江科學(xué)院院報(bào)，2008，（1）：36-39.（LIU Jinlong，CHEN Lu-wang.Evaluation of effect of deformation parameters on slope stability［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2008，（1）：36-39.（in Chinese））

［2］ 譚曉惠，王建國，王 印.邊坡穩(wěn)定的非線性有限元分析［J］.巖土力學(xué)，2008，29（8）：2047-2050.（TAN Xiao-hui，WANG Jian-guo，WANG Yin.Nonlinear finite element analysis of slope stability［J］.Rock and Soil Mechanics，2008，29（8）：2047-2050.（in Chinese））

［3］ 鄒 沫，段亞輝.土質(zhì)邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)影響因素的正交試驗(yàn)分析［J］.中國農(nóng)村水利水電，2006，（6）：73-75.（ZOU Mu，DUAN Ya-hui.Orthogonal test anal-ysis of safety coefficient influencing factors for soil slope stability［J］.China Rural Water and Hydropower，2006，（6）：73-75.（in Chinese））

［4］ 羅一忠.邊坡穩(wěn)定性分析中的能量法及其工程應(yīng)用［J］.中國錳業(yè)，1998，（3）：12-15.（LUO Yi-zhong.Energymethod in slope stability analysis and its applied engineering examples［J］.China’sManganese Industry，1998，（3）：12-15.（in Chinese））

［5］ 朱青山.爆破震動(dòng)下露天礦臺(tái)階邊坡穩(wěn)定性能量分析法［J］.金屬礦山，2005，（9）：14-17.（ZHU Qing-shan.Energy analysis approach for stability of open-pit bench slopes subjected to blast vibration［J］.Metal Mine，2005，（9）：14-17.（in Chinese））

［6］ 趙進(jìn)勇，章 青，邵國建，等.用干擾能量法模擬邊坡失穩(wěn)過程［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2002，24（3）：367-370.（ZHAO Jin-yong，ZHANGQing，SHAO Jian-guo，etal.The unstabilization process of slope simulated by disturbing energymethod［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2002，24（3）：367-370.（in Chinese））

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（編輯：趙衛(wèi)兵）

Application of Integral Transformation to Slip Line in Soil Slope Stability

WANG Jun1，CAO Ping2
（1.College of Architecture Engineering，Hunan Institute of Engineering，Xiangtan 411104，China；2.School of Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha 410083，China）

From the character of energy transformation on slope sliding curve，the stability analysis on double-and three-layer soil slope is calculated in order to take in energy dissipationmethod gaining an advantage over other calculated methods，including Bishop method and finite elementmethod.Through the derivation of integral transform on slip line，the safety factor formula is built based onmodified limit equilibrium method to sliding curve，and the slip line formula is also obtained by limit safety factor value on differential coefficientof the slope safety factor equation.The slope examples on 2D strain are cited to validate the reliability on energy dissipationmethod.TheWJED program for calculating safety factor and sliding line equation is firstly applied to evaluate stability for double-and three-layer soil slopes.The results show the parse formula for latent sliding curve accordswith exponential equation for energy dissipation method and coincideswith circle equation for Bishop method.Simultaneously，the safety factor for energy dissipation is one between two values obtained from Bishop method and finite differencemethod respectively.The experience on slope reinforcement engineering and its stability is obtained and the energy dissipation method is a supplement in the limit equilibrium method.

slope engineering；energy dissipation method；safety factor；integral transformation

TU441.35

A

1001-5485（2010）08-0054-04

2009-11-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10972238，50774093）

王 軍（1978-），男，湖南澧縣人，博士，主要從事巖土力學(xué)與工程的科研與教學(xué)工作，（電話）13787420570（電子信箱）csufjwj＠126.com。