劉 敏， 陳 光，石 燚

（東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620）

0 引言

超寬帶（UWB）是一種相對帶寬(信號頻譜的帶寬與其中心頻率之比)大于等于 20%,或者絕對帶寬大于等于 500 MHz的信號。UWB的發(fā)展主要集中在傳輸距離約為10公尺的無線PAN，其數(shù)據(jù)傳輸速度為110～480 Mb/s。這種高速的傳輸能力可使室內(nèi)中的娛樂系統(tǒng)建立起多媒體傳輸?shù)墓艿繹1]。UWB多用戶網(wǎng)絡(luò)也會受到遠(yuǎn)近效應(yīng)的影響，同時多用戶間也存在明顯的信號互干擾，因此功率控制是很重要的。通過控制發(fā)射功率可提高電源的有效應(yīng)用，降低用戶間的相互干擾，并可適應(yīng)信道改變和設(shè)備移動產(chǎn)生的鏈路變化。

近年來，博弈理論在功率控制方面的應(yīng)用得到了廣泛研究。博弈論是研究理性參與人在競爭沖突的環(huán)境下的決策行為，通過數(shù)學(xué)模型的求解和分析，探討局中人的決策行為。博弈包括非合作博弈和合作博弈。非合作博弈的典型應(yīng)用就是功率控制、分布式的信道分配、接納控制等；合作博弈用來進(jìn)行OFDM中子載波的調(diào)度、功率分配等等。D.Goodman等人提出了一種非合作博弈功控的基本模型（Noncooperative Power Control Game）[2]；文獻(xiàn)[3]研究了基于代價函數(shù)的博弈功控問題，并證明了這種博弈功控具有更好的性能（得到了帕累托改善）。

目前，對UWB網(wǎng)絡(luò)的功率控制的問題也有一些研究。文獻(xiàn)[4]采用了吞吐量最大化博弈來分析 UWB功率控制問題。而本文在針對多用戶UWB網(wǎng)絡(luò)中提出一種新的效用函數(shù)，并引入價格函數(shù)以提高系統(tǒng)的效率。

1 UWB多用戶博弈功率控制

1.1 系統(tǒng)模型

在博弈論數(shù)學(xué)模型中，博弈者在爭取最大利益的同時總是盡可能地減少自身的代價，博弈者的這兩種行為可以分別用效用函數(shù)和代價函數(shù)來描述，各博弈者為自己力爭最大利益的行為則可以等價為使效用函數(shù)最大化或者是使代價函數(shù)最小化。

在UWB的兩種體制中，單頻帶體制的DS-UWB系統(tǒng)是室內(nèi)網(wǎng)絡(luò)比較理想的方案。在室內(nèi)環(huán)境中，很多因素都會影響無線電波的傳輸，物體上折射或其他無線信號都會導(dǎo)致嚴(yán)重的信號質(zhì)量問題。DS-UWB利用可能的最大帶寬，生成最短的脈沖，這種方法可以確保順利進(jìn)行連接，讓設(shè)備能夠清楚地識別其他設(shè)備的位置，最大程度地提高連接性能和服務(wù)質(zhì)量。

考慮一個具有N個用戶DS-UWB系統(tǒng)的信號通過多徑室內(nèi)信道，假設(shè)每個用戶的信息符號由cN個碼片組成，第i個用戶的發(fā)射信號表示為：

1.2 基于價格函數(shù)的博弈功率控制

在 NPG博弈模型中，用戶的自我優(yōu)化常常會產(chǎn)生降低他人利益的外部影響，價格機制就是解決這類問題的一種有效工具。根據(jù)邊際效用理論，邊際效用將隨著信噪比的增加而遞減，即效用的增長率會逐步降低。在文獻(xiàn)[5]中設(shè)計了一個基于用戶SIR的log型效用函數(shù)，正是體現(xiàn)了這一思想。本文設(shè)計一個線性的基礎(chǔ)效用函數(shù)，來體現(xiàn)用戶對數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)的滿意程度。定義用戶i的效用函數(shù)為：

iα為陡峭系數(shù)，表示反正切函數(shù)的陡峭程度；iλ為價格因子，

用來表示用戶i的發(fā)射功率大小。

1.3 納什（Nash）均衡

每個用戶要最大化自己的效用，不僅要改變自己的發(fā)射功率那么簡單，還要考慮其他用戶的干擾，每個用戶均最大化自己的效用函數(shù)，達(dá)到任何用戶都不背離均衡，即納什均衡。因此功率控制問題，就成了使效用函數(shù)最大化的問題。為了求得納什均衡，效用函數(shù) ui(p)在 pi上的一階導(dǎo)數(shù)為：

此算法的迭代公式為：

從式（6）可知，功率向量不僅依賴于表征用戶的參數(shù)αi，λi以及 hi，還依賴于UWB通信方式的一些參數(shù)，如處理增益G，其他用戶的總接收功率

1.4 Nash均衡的存在性和唯一性證明

下面分析功率控制博弈中納什均衡的存在性和唯一性。

1.4.1 納什均衡的存在性證明

①iP是歐幾里得空間NR 中非空的、閉的、有界的凸集；

② ui(p)在p上連續(xù)，在 pi上擬凹。

證明：

對效用函數(shù)求ip的二階微分：這里 γi≥。由上式可知，效用函數(shù)ui(p)在 pi上凹的，而一個凹函數(shù)也是擬凹的，所以效用函數(shù) ui(p)在 pi上擬凹的。

由此證明此非合作博弈功率控制存在納什均衡。

1.4.2 納什均衡的唯一性證明

設(shè)p為非合作博弈的納什均衡。根據(jù)前面納什均衡的定義，假設(shè) p =r (p)，其中。證明納什均衡唯一性的關(guān)鍵是證明對應(yīng) r(p)是一個標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，一個函數(shù)如果滿足以下性質(zhì)則稱為是標(biāo)準(zhǔn)的：

正性（Positivity）， r(p) ＞ 0 ；

證明：

單調(diào)性：假設(shè) p/＞p，則對?i有

上式滿足大于0的充分條件是：

所以性質(zhì)2滿足。

因此，此非合作博弈功率控制的納什均衡點唯一，算法收斂于唯一點。

2 算法仿真與性能分析

系統(tǒng)模型為一個室內(nèi)的 DS-UWB多用戶通信系統(tǒng)，室內(nèi)隨機分布著10個用戶，其終端間的通信半徑 10d≤ m。系統(tǒng)中其他仿真參數(shù)如表1所示。本文將博弈算法與傳統(tǒng)功率控制算法進(jìn)行比較，證明其收斂性。

表1 仿真參數(shù)

當(dāng)B=500 MHz在頻率范圍3.1～10.6 GHz內(nèi)，可以得到：

傳統(tǒng)的典型的功率控制算法的迭代公式為[6]：

將博弈算法與傳統(tǒng)算法進(jìn)行仿真比較如下：博弈算法的收斂速度明顯比傳統(tǒng)算法收斂速度提高一倍，博弈算法在迭代次數(shù)小于10次的時候就收斂，而傳統(tǒng)算法需要迭代20次才收斂；且博弈算法的發(fā)射功率低于傳統(tǒng)算法的發(fā)射功率。

3 結(jié)語

本文在分析DS-UWB室內(nèi)多用戶通信系統(tǒng)的功率控制的基礎(chǔ)上，提出一種基于博弈論的功率控制分布式算法，論證了非合作功率控制博弈中納什均衡的存在性和唯一性。通過對新算法和傳統(tǒng)算法的仿真實驗比較，結(jié)果表明新算法可以用較低的傳輸功率獲得較高的效用，且算法具有較好的收斂性能。

[1] 葛利嘉,朱林,袁曉芳,等.超寬帶無線電基礎(chǔ)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2006.

[2] Goodman D, Manda Y N. Power Control for Wireless Data[J].IEEE Personal Communications Mag.,2000.7(04):48-54.

[3] Saraydar C, Manda Yam N, Goodman D. Efficient Power Control via Pricing in Wireless Data network[J].IEEE Trans Common.,2002,50(02):291-303.

[4] Bacci I,Luise M, Poor H V. Game Theory and Power Control in Ultrawideband Networks[J].Physical Communication,2008:21-39.

[5] Alpcan T, Basar T, Strikant R, et, al. CDMA uplink Power Control as A Non-cooperative game[C]//The 40thConf on Decision and Control.Orlando,Florida,USA:[s.n.],2001.

[6] Nash J F.Equilibrium Points in N-Person Games[J].Proceedings of the National Acadency of Sciences,1950,36(01):48-49.