陸鵬程 林冬偉

(1.同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系,上海 200092；2.中船勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司,上海 200063)

1 概述

我國(guó)高速鐵路建設(shè)正在大規(guī)模開(kāi)展,對(duì)測(cè)量的精度要求很高。根據(jù)《客運(yùn)專(zhuān)線(xiàn)無(wú)砟軌道鐵路工程測(cè)量技術(shù)暫行規(guī)定》要求,平面坐標(biāo)系統(tǒng)采用工程獨(dú)立坐標(biāo)系,坐標(biāo)系的設(shè)計(jì)滿(mǎn)足如下要求[1]：邊長(zhǎng)投影在對(duì)應(yīng)的線(xiàn)路設(shè)計(jì)平均高程面上(軌面高程)；投影長(zhǎng)度的變形值不大于10 mm/km。按照這種要求,當(dāng)前工程中常用的高斯投影在不考慮高程對(duì)長(zhǎng)度變形影響的情況下,東西方向最多只能控制50多km,這樣就會(huì)導(dǎo)致一條東西跨度較大的鐵路沿線(xiàn)需要建立多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)系,給整條鐵路工程施工帶來(lái)很多不便。本文提出沿鐵路線(xiàn)方向,采用等角斜切圓柱投影即斜軸墨卡托投影的原理、方法、計(jì)算步驟,使圓柱面與線(xiàn)路中心線(xiàn)相切,并通過(guò)數(shù)據(jù)分析其應(yīng)用于高速鐵路測(cè)量的優(yōu)越性。

2 斜軸墨卡托投影的基本原理、方法、計(jì)算步驟

墨卡托投影是一種保角圓柱投影[2]。它以圓柱作為投影面,將經(jīng)緯線(xiàn)投影到圓柱面上,將圓柱面展成平面而成。圓柱面可與地球橢球相切或相割,根據(jù)位置的不同,分為正圓柱、橫圓柱、斜圓柱三種。圓柱投影示意圖如圖1所示,其中圖1(a)為正圓柱,圖1(b)為橫圓柱,圖1(c)為斜圓柱。

圖1 圓柱投影示意

正軸圓柱投影適用于低緯度地區(qū)或沿緯度線(xiàn)擴(kuò)展的區(qū)域,假如投影區(qū)域是沿除赤道圈以外的某一大圓方向,或沿經(jīng)線(xiàn)方向伸展的地區(qū),則可考慮采用斜軸或橫軸圓柱投影以改善投影條件,從而使變形減小。

采用斜軸圓柱投影時(shí),用橢球體表示地球則計(jì)算甚為不便,在幾百公里的工程范圍內(nèi),通常將地球橢球體視為半徑等于R的圓球體,斜軸投影與半徑R的圓球體相切的大圓稱(chēng)投影中線(xiàn),投影前后其長(zhǎng)度保持不變。離開(kāi)投影中線(xiàn)的點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生長(zhǎng)度變形,其變形性質(zhì)與高斯投影類(lèi)似。若線(xiàn)路工程?hào)|西長(zhǎng)度太長(zhǎng)(超千公里),圓球表示地球帶來(lái)的誤差將不可忽視,宜分段處理。

2.1 選擇投影參考圓球

設(shè)線(xiàn)路工程范圍中心某點(diǎn)經(jīng)緯度為(B0,L0),線(xiàn)路設(shè)計(jì)平均高程面(軌面高程)為H0,假設(shè)基準(zhǔn)點(diǎn)為(B0,L0,H0),在基準(zhǔn)點(diǎn)處投影圓球的半徑方向與WGS-84橢球法線(xiàn)重合,投影圓球球面通過(guò)基準(zhǔn)點(diǎn)(B0,L0,H0),使線(xiàn)路設(shè)計(jì)平均高程面位于投影參考圓球上。

投影圓球的半徑(即中心線(xiàn)走向的法截弧半徑)取為

式中：A0為線(xiàn)路工程中心線(xiàn)走向的大地方位角,M0、N0分別為工程中心基準(zhǔn)點(diǎn)處的子午圈和卯酉圈半徑。

2.2 建立圓球空間直角坐標(biāo)系

設(shè)X′軸為過(guò)球心指向基準(zhǔn)點(diǎn)P(B0,L0,H0),過(guò)基準(zhǔn)點(diǎn)P沿橢球大地方位角A0方向形成的投影圓球的大圓為投影圓球的假想赤道面,過(guò)基準(zhǔn)點(diǎn)P垂直于假想赤道面的大圓為假想零子午面,Z′軸為過(guò)球心垂直于假想赤道面(如圖2所示)。

圖2 橢球空間直角坐標(biāo)系與圓球空間直角坐標(biāo)系

設(shè)基準(zhǔn)點(diǎn)(B0,L0,H0)所對(duì)應(yīng)的WGS-84空間直角坐標(biāo)為(X0,Y0,Z0),計(jì)算公式為

則各控制點(diǎn)在新投影圓球空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)計(jì)算公式為

則基準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)(B0,L0,H0)在圓球空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(R0,0,0)。

2.3 投影圓球球面坐標(biāo)經(jīng)緯度

顯然各點(diǎn)并非正好都位于投影圓球的球面上,而參考圓球體表面與地面越吻合則投影變形越小。一般來(lái)說(shuō),對(duì)于地勢(shì)起伏不大的線(xiàn)路工程,選擇合適的投影圓球半徑,使得圓球表面與測(cè)區(qū)表面大致吻合,就能比較好的控制高差投影差影響；對(duì)于地勢(shì)起伏較大、范圍較廣的線(xiàn)路工程,要控制高差投影差的變形,可以采取將各點(diǎn)沿其重力線(xiàn)方向投影到投影參考圓球球面上,而非用投影圓球的半徑方向代替。在垂線(xiàn)偏差較小的情況下,可將橢球的法線(xiàn)看作是該點(diǎn)的重力線(xiàn)方向。

各點(diǎn)距投影圓球球面的高度為

各點(diǎn)法線(xiàn)在橢球空間直角坐標(biāo)系中的矢量為(cos B cos L,cos B sin L,sin B)T。

考慮高度H′引起的改正后,圓球球面上點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為

根據(jù)球面各點(diǎn)的坐標(biāo)(X″,Y″,Z″),則可計(jì)算斜軸圓球上的經(jīng)緯度為

2.4 斜切圓柱投影坐標(biāo)

斜軸墨卡托投影中,要使線(xiàn)路中心線(xiàn)的長(zhǎng)度在投影前后保持不變,就要將圓柱面沿線(xiàn)路工程中心相切,即取圓柱面沿投影參考圓球的假想赤道線(xiàn)相切。圓柱面展開(kāi)后,設(shè)投影后的假想赤道線(xiàn)為x軸,假想零子午線(xiàn)為y軸,則圓球面上假想的緯度圈展開(kāi)后就是x軸的平行直線(xiàn),假想子午圈成了y軸的平行直線(xiàn)。

切圓柱投影的一般公式為

即保持線(xiàn)路中心線(xiàn)(x軸)的長(zhǎng)度不變。

投影變換條件主要包括等距離變換、等角度變換和等面積變換。為了在常規(guī)測(cè)量中的邊角改化方便,本文采用等角度投影

采用等角度投影,可以保持投影前后各點(diǎn)的方向值不變；離線(xiàn)路中心線(xiàn)越遠(yuǎn),則長(zhǎng)度變形越大,但各方向上的長(zhǎng)度變形相等；等角度投影便于常規(guī)測(cè)量中的邊角改化換算,即角度不變,邊長(zhǎng)乘以相應(yīng)變形系數(shù)。

3 斜軸墨卡托投影的應(yīng)用

在工程測(cè)量實(shí)際應(yīng)用中,距離投影長(zhǎng)度綜合變形主要由高差投影變形和高斯地圖投影變形兩部分組成[3-4]：

①將實(shí)際測(cè)量真實(shí)長(zhǎng)度歸化至國(guó)家統(tǒng)一的橢球面上,會(huì)產(chǎn)生高差投影變形。

②將橢球面上的長(zhǎng)度投影到高斯平面上,會(huì)產(chǎn)生地圖投影變形。

由高速鐵路工程實(shí)際情況可知,要使高差投影變形小于1/10萬(wàn),則線(xiàn)路的高程至歸化高程面的距離不宜大于60 m；要使高斯投影變形值不大于1/10萬(wàn),應(yīng)將投影帶邊緣至中央子午線(xiàn)的距離控制在28 km以?xún)?nèi),即投影帶東西向的寬度不大于56 km。

而工程實(shí)際情況是,對(duì)于一些東西走向范圍較大的線(xiàn)路工程來(lái)說(shuō),采用上述做法就需要根據(jù)線(xiàn)路分布范圍選取不同中央子午線(xiàn)劃分區(qū)域,導(dǎo)致高斯投影帶的寬度較小,投影帶數(shù)量過(guò)多,施工過(guò)程中將頻繁進(jìn)行投影換帶計(jì)算,嚴(yán)重影響施工變形精度的控制。

因此,采用斜軸墨卡托投影,目前一般方法是建立斜軸投影坐標(biāo)系,即將地球假設(shè)為一個(gè)圓球體,通過(guò)在圓球上建立極坐標(biāo)系過(guò)渡來(lái)計(jì)算斜軸圓球上各點(diǎn)的經(jīng)緯度[5,6],進(jìn)而再投影到平面上。將線(xiàn)路走向的中心線(xiàn)作為投影中心線(xiàn),在切圓柱投影時(shí)將圓柱面與線(xiàn)路的中心線(xiàn)相切,使線(xiàn)路范圍內(nèi)點(diǎn)到投影中心線(xiàn)的距離小于28 km,滿(mǎn)足2.2中地圖投影的要求；同時(shí)通過(guò)參考圓球的半徑選擇,使圓球球面與測(cè)區(qū)表面大致吻合,控制高差投影變形的影響。

本文介紹的斜軸墨卡托投影,同樣是將地球假設(shè)為一個(gè)圓球體,所不同的是建立投影圓球空間直角坐標(biāo)系來(lái)過(guò)渡計(jì)算圓球上的經(jīng)緯度,再采用切圓柱投影來(lái)滿(mǎn)足地圖投影的要求；對(duì)于高差投影變形的影響,采取將各點(diǎn)沿其重力線(xiàn)方向投影到投影參考圓球球面上,而非用投影圓球的半徑方向代替。在垂線(xiàn)偏差較小的情況下,可將橢球的法線(xiàn)看作是該點(diǎn)的重力線(xiàn)方向,這對(duì)于高差投影差的控制具有重要意義。

圖3是某線(xiàn)路工程各點(diǎn)在WGS-84橢球面上的經(jīng)緯度分布圖,可知線(xiàn)路走向大致是東西方向,且東西范圍跨度較大。采用斜軸墨卡托模型計(jì)算,選取測(cè)區(qū)中央4號(hào)點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn),建立線(xiàn)路工程獨(dú)立坐標(biāo)系(點(diǎn)4為原點(diǎn))。表1為各點(diǎn)在WGS-84橢球上的經(jīng)緯度,其空間直角坐標(biāo)由轉(zhuǎn)化而來(lái)。

圖3 線(xiàn)路上各點(diǎn)經(jīng)緯度分布

表1 某線(xiàn)路工程各點(diǎn)WGS-84橢球經(jīng)緯度及空間坐標(biāo)

確定線(xiàn)路設(shè)計(jì)平均高程面(軌面高程)為165.5 m,線(xiàn)路中心線(xiàn)走向大地方位角分別取兩個(gè)不同值,可得到下面兩個(gè)算例結(jié)果。

3.1 算例一

設(shè)線(xiàn)路工程區(qū)域中心線(xiàn)走向的大地方位角為224°00′00″,則投影參考圓球的半徑R0=6 368 171.619 082 55 m。表2為各點(diǎn)在投影圓球球面上的經(jīng)緯度和投影后的平面坐標(biāo)以及長(zhǎng)度變形。

3.2 算例二

設(shè)線(xiàn)路工程區(qū)域中心線(xiàn)走向的大地方位角為227°00′00″,則投影參考圓球的半徑R0=6 369 791.471 096 39 m。表3為各點(diǎn)在投影圓球球面上的經(jīng)緯度和投影后的平面坐標(biāo)以及長(zhǎng)度變形。

表2 斜軸墨卡托投影結(jié)果(一)

表3 斜軸墨卡托投影結(jié)果(二)

從本文所述斜軸墨卡托投影原理,計(jì)算過(guò)程和表1、表2的計(jì)算數(shù)據(jù)可以看出：

(1)斜軸墨卡托投影是將地面點(diǎn)投影到平面的投影,從地球橢球面到投影圓球球面和從球面到斜軸墨卡托投影都是等角投影,即在整個(gè)投影過(guò)程中角度不變形,符合一般工程測(cè)量和高速鐵路工程測(cè)量的要求和習(xí)慣。

(2)由表1和表2的數(shù)據(jù)可以看出,算例二的線(xiàn)路走向大地方位角取得更為合理,長(zhǎng)度變形更小。算例一的投影長(zhǎng)度變形最大為0.732 8/100 000,算例二最大的長(zhǎng)度變形為0.301 9/100000,而高速鐵路測(cè)量要求長(zhǎng)度變形小于1/100 000。因此,將斜軸墨卡托投影應(yīng)用于高速鐵路測(cè)量具有明顯優(yōu)勢(shì)。

(3)結(jié)合圖3、表1和表2來(lái)看,隨著距離線(xiàn)路中心線(xiàn)的垂直距離的增加,斜軸墨卡托投影的長(zhǎng)度變形在增大。因此,選擇合適的中心線(xiàn)大地方位角很重要,確保各測(cè)點(diǎn)距離投影中心線(xiàn)的平均垂直距離(即y值)更小,從而更好地控制投影引起的長(zhǎng)度變形。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)斜軸墨卡托投影的研究,對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行程序?qū)崿F(xiàn),并對(duì)算例計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析,可以得出以下觀點(diǎn)：

(1)對(duì)于東西走向、范圍較廣的線(xiàn)路工程,采用高斯投影將會(huì)因分帶過(guò)多、換算頻繁而導(dǎo)致難以控制長(zhǎng)度變形,采用斜軸墨卡托投影可以有效地控制地圖投影差。投影中心線(xiàn)不一定與設(shè)計(jì)坐標(biāo)系的坐標(biāo)一致,可以進(jìn)行平面轉(zhuǎn)換,但不會(huì)引起長(zhǎng)度變形。

(2)采用斜軸墨卡托投影選擇線(xiàn)路中心線(xiàn)走向時(shí),要確保各測(cè)點(diǎn)處在中心線(xiàn)的有效偏距(28 km)內(nèi)。在從地球橢球面向投影圓球球面投影時(shí),采取將各點(diǎn)沿其橢球法線(xiàn)方向投影到投影圓球球面上,而非用投影圓球的半徑方向代替,能夠更好地控制高差投影差。

[1]鐵道第二勘察設(shè)計(jì)院.客運(yùn)專(zhuān)線(xiàn)無(wú)砟軌道鐵道工程測(cè)量技術(shù)暫行規(guī)定[S].北京：中國(guó)鐵道出版社,2006

[2]朱 穎.客運(yùn)專(zhuān)線(xiàn)無(wú)砟軌道鐵路工程測(cè)量技術(shù)[M].北京：中國(guó)鐵道出版社,2008：60-65

[3]范一中,王繼剛,趙麗華.抵償投影面的最佳選取問(wèn)題[J].測(cè)繪通報(bào),2000(2)：20-21

[4]陳順寶,任建春.抵償任意帶高斯平面坐標(biāo)系選擇的研究[J].測(cè)繪通報(bào),2005(7)：22-24

[5]劉靈杰,衛(wèi)建東,白振慧.雙重投影在高速鐵路測(cè)量中的應(yīng)用分析[J].測(cè)繪科學(xué)技術(shù)學(xué)報(bào),2009(2)

[6]劉靈杰,原玉磊,衛(wèi)建東.斜軸墨卡托投影在高速鐵路測(cè)量中的應(yīng)用分析[J].測(cè)繪通報(bào),2009(2)：43-45

[7]任留成,楊曉梅.空間墨卡托投影研究[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2003,32(1)：78-81

[8]李國(guó)藻,楊啟和,胡定荃.地圖投影[M].北京：解放軍出版社,1993

[9]孔祥元,郭際明,劉宗泉.大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2006 ：156-170

[10]胡毓鋸,龔劍文.地圖投影[M].北京：測(cè)繪出版社,1992