姚俊良，楊小牛，李建東，付衛(wèi)紅，李釗，張琰

(1.西安電子科技大學 綜合業(yè)務網(wǎng)理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西 西安 710071；2.中國電子科技集團公司 第三十六研究所，浙江 嘉興 314001)

1 引言

在源信號和信道狀態(tài)都未知的情況下，僅利用接收的混合信號來獲得源信號的技術，稱為盲源分離(BSS,blind source separation)[1]。近年來，BSS已成功應用到通信信號處理、語音的識別和增強、圖像處理以及腦電信號處理等諸多領域[2～6]。

現(xiàn)有的盲源分離算法通常都假定接收天線個數(shù)等于源信號個數(shù)，即適定的盲源分離問題。但在許多實際的應用中，源信號個數(shù)并不等于接收天線個數(shù)（非適定盲源分離包括超定和欠定2種情況）。在這種情況下，混合矩陣不再是方陣，并且不再可逆，因此非適定情況下盲源分離算法的研究有更大的實際意義。而對于欠定盲源分離，如果沒有源信號的額外先驗信息，即使獲得混合矩陣也無法分離出源信號，因此本文的討論僅限于超定的情況。

對于超定盲源分離的研究，目前主要有2大類算法：第1類算法中，Amari、Zhang等人從李群(Lie group)和Stiefel流形出發(fā)[7,8]，將適定自然梯度算法推廣到超定情況。這類基于梯度的算法收斂速度較慢，算法穩(wěn)定性受混合矩陣的影響很大[9]。第2類算法首先通過白化預處理[10,11]將超定分離問題轉(zhuǎn)化為適定分離，然后再利用傳統(tǒng)的適定盲分離算法，這類算法的缺點是沒有充分利用接收端的天線來獲得分集增益。

在移動通信中，通常采用分集接收、合并處理的方法來獲得分集增益，從而抵抗信道衰落[12]。最大比合并(MRC,maximum ratio combining)是一種較好的合并處理方式，它可以最大化接收信號的信噪比(SNR)，但MRC并沒有考慮到干擾信號。FastICA算法[10]是目前常用的復信號BSS算法之一，它可以消除期望信號中的多用戶干擾，但是算法并不能很好地處理噪聲。

2 信號模型和FastICA算法介紹

2.1 信號模型和假設

FastICA算法是基于獨立分量分析(ICA)的一種盲源分離算法，瞬時線性ICA模型可以表示為

其中，x=(x1,x2,…,xm)T、s=(s1,s2,…,sd)T和 n=(n1,n2,…,nm)T分別表示m×1維的觀測信號向量、d×1維的非高斯源信號向量和m×1維的加性高斯噪聲向量，A表示m×d維的混合矩陣。m、d是接收天線數(shù)目和源信號數(shù)目(本文主要研究m＞d的情況)，上標T表示轉(zhuǎn)置，高斯白噪聲n與源信號s的各個分量統(tǒng)計獨立并且方差為2σ。在本文的信號模型中源信號s、混合矩陣A和噪聲信號n都是復信號。

ICA的基本假設是各個源信號分量相互統(tǒng)計獨立并且非高斯，混合矩陣A列滿秩。ICA的目的是在A未知的情況下，通過尋找一個線性變換使得線性變換輸出信號y的各個分量盡可能統(tǒng)計獨立，則y就是源信號s的估計信號。下面介紹一種目前常用的解決ICA問題的算法——FastICA。

2.2 FastICA算法介紹

復信號的 FastICA算法最早由 E.Bingham[10]提出，它有串行算法(S-FastICA,serial FastICA)和并行算法(P-FastICA,parallel FastICA) 2種實現(xiàn)方式，它們都需要對觀測信號進行白化預處理。白化處理過程如下：

S-FastICA算法的輸出可表示為

其中，wi(i=1,2,…,d)表示分離矩陣W的第i個列向量，上標H表示共軛轉(zhuǎn)置，yi是第i個分離信號，S-FastICA算法的核心迭代步驟如下：

式(5)中上標*表示復數(shù)共軛，E[·]表示數(shù)學期望。式(6)中B是由已經(jīng)獲得的分離向量wj(j=1,2,…,i-1)組成的矩陣，當計算w1時，B取元素全為0的m 維列向量 0m×1，式(6)的目的是使 wi與已分離向量wj(j=1,2,…,i-1)相互正交，以保證算法每次分離出不同的信號分量。

并行算法 P-FastICA每次對所有分離向量W=(w1,w2,…,wd)進行迭代，為了保證分離出不同信號分量，算法在每次迭代后要進行對稱正交化，這個正交化可以采用下面公式：

在超定情況下(m＞d)，F(xiàn)astICA算法通過白化可以降低信號維數(shù)和噪聲，提高算法的分離性能。然而傳統(tǒng)的FastICA算法沒有充分利用接收天線的信息來獲得分集增益，并且為了保證每次分離出不同的源信號，串行算法采用的壓縮影射(deflation) 會引入誤差累積，使得源信號恢復質(zhì)量逐漸惡化。并行算法采用的對稱正交化會增大分離信號中的殘留干擾，導致算法性能下降。

3 MRC-FastICA算法

3.1 算法具體過程

針對傳統(tǒng)FastICA算法存在的上述問題，本文提出一種基于最大比合并的 FastICA算法(MRC-FastICA)。算法的基本結(jié)構如圖 1所示，包括下面4個實現(xiàn)步驟。

1) 觀測信號分組

天線的接收信號為x=[x1,x2,…,xm]，分組的目的是將x分為k組：{x1,x2,…,xk}，其中xi(i=1,2,…,k)是由d個天線陣元的接收信號組成的向量。為了保證xi的混合矩陣列滿秩，并且算法可以獲得盡可能多的分集增益，分組需要遵循以下3個原則：①每個分組信號xi不能包含多個相同天線陣元接收的信號，因此k的理論最大值為；②這 k個分組信號包含了所有天線接收的信號，即x=x1∪x2∪…∪xk； ③不同分組信號xi、xj(i≠j)包含的分量盡可能不完全相同。

2) 源分離

d維觀測向量xi的每個分量都是由d個源信號混合而成，因此對xi可以利用適定BSS算法進行信號分離。本文中BSS算法采用S-FastICA，對所有i=1,2,…,k對應的xi進行分離后，可以得到k組源信號的估計

3) 分離信號歸類

這一步完成對k組估計信號的歸類：將屬于同一源信號的估計信號歸為一類。由于FastICA算法存在順序不確定性，因此不能簡單地根據(jù)分離次序來歸類信號。考慮到源信號之間相互獨立，本文利用相關性作為信號歸類的依據(jù)。

用向量 yl(l=1,2,…,d)來存儲與1,l有相同源信號的估計信號，其初始值如果

4) 最大比合并

如果在步驟3)得到的yl是第j個源信號的估計，則有如下信號模型：

其中，s-j表示源信號s中除了sj的剩余信號組成的信號向量，b、C 為未知的 k×1、k×(d-1)維系數(shù)矩陣。最大比合并的目的就是尋找一個合并向量vl，使得合并輸出的信號?l（即源信號sj的最終估計值）信干噪比（SINR）最大。合并輸出信號為的SINRl為

圖1 MRC-FastICA算法結(jié)構

式(11)是標準的廣義Rayleigh商形式，從文獻[13]可知，使其最大化的權值向量為

其中，Ryl=Rs?j+Ri+n?是第l組歸類信號(式(9))的自相關矩陣，最佳系數(shù)

式(12)得到的權值向量vl-opt雖然是最佳的，但它需要知道向量b，在本文中b是無法獲得的。通過分析發(fā)現(xiàn)，式(12)與最大化目標函數(shù)(13)所得的收斂解vl[14,15]僅相差一個常系數(shù)。

目標函數(shù)J(vl)的最大化可以采用梯度法。

其中，μ是步長因子，p表示迭代次數(shù)，文獻[14]給出式(14)中?vlJ(vl)的表達式如下：

當μ值的選擇合適，梯度法(14)可以保證算法收斂，但它存在收斂速度慢的缺點。為了提高收斂速度，在本文的算法中，先采用超指數(shù)算法[17]得到一個 vl的初始值，然后利用梯度法(14)迭代直至收斂。超指數(shù)算法的核心迭代公式如下：

其中，

1) 令p=1，隨機選取一個k維的單位模值合并向量vl(p)，可得

2) 利用式(16)對 vl(p)進行迭代，得到 vl(p+1)和(p+1)。

3) 如果(式 13)目標函數(shù) J(vl(p+1))＞J(vl(p))，令p=p+1，返回2)繼續(xù)迭代；否則令p=p+1執(zhí)行4)。

4) 利用式(14)對vl(p)進行迭代，得到vl(p+1)。

5) 如果式(14)中?vlJ(vl(p))大于設定的門限值β，則算法還沒有收斂，令p=p+1，返回4)繼續(xù)迭代，否則算法收斂，第l個估計信號為

3.2 算法總結(jié)

綜上所述，MRC-FastICA算法執(zhí)行的具體過程如下。

1) 觀測信號分組：從m個天線陣元的觀測信號中隨機選擇d個，組成d維的觀測信號向量xi。重復執(zhí)行k次，形成k組d維觀測信號向量：{x1,x2,…,xk}。

2) 源分離：利用S-FastICA算法對xi(i=1,2,…,k)進行分離，可以得到 k組源信號的估計

4) 最大比合并：利用MRC算法對yl進行合并，得到估計信號?l。對l從1到d重復執(zhí)行，可以得到所有源信號的估計：

下面對MRC-FastICA算法進行討論。

1) 如果信源數(shù) d已知，可以直接利用MRC-FastICA算法進行信號分離。而在實際的情況下，源信號個數(shù)有可能是未知的，首先需要估計 d的值。估計方法包括：子空間方法[18]和基于信息論準則的方法[19]。

2) MRC-FastICA算法的分離信號依然存在順序模糊性，對于復信號，還存在相位模糊性，這對很多實際系統(tǒng)(特別是無線通信系統(tǒng))的后續(xù)處理是非常不利的，這個問題可以通過利用其他先驗信息設計半盲算法來解決[20]。

3.3 算法示例及定性分析

下面通過一個簡單示例來描述 MRC-FastICA算法的執(zhí)行過程。

例：圖1中源信號數(shù)d=2、接收天線數(shù)m=3，因此觀測信號向量。

如果算法的分組數(shù) k=2，按照分組原則，2組適定混合的觀測信號向量可表示為

利用傳統(tǒng)的串行S-FastICA算法對x1、x2進行適定盲源分離，得到2組源信號的估計如下(這里不考慮觀測信號的預白化)：

如果對式(21)的2組分離信號進行歸類后得到：其中，y1和y2分別為對應于s1和s2的歸類信號，對y1、y2分別進行最大比合并，可得到源信號的最終估計值：

定性分析：從式(22)可以看出，屬于源信號 s1的 2個估計信號為1,1和2,2，這 2個信號有不同的SINR性能，這主要是以下2個原因造成的：①1,1和2,2分別屬于觀測信號x1和x2的分離信號，而x1、x2的混合系數(shù) A1和 A2不同將會使1,1和2,2的 SINR性能不同；② 從式(21)可知，1,1是 x1的第 1個分離信號，2,2是x2的第 2個分離信號(S-FastICA算法存在順序模糊性)，而由于S-FastICA算法存在誤差累積，不同的分離次序會導致不同的分離性能，因此1,1和2,2的 SINR 性能不同。

從上面的討論可知，MRC-FastICA算法是對具有不同SINR性能的多個分離信號(對應于同一源信號)進行最大比合并，來得到最終的分離信號。移動通信中經(jīng)常采用多條具有獨立衰落特性的路徑來傳輸相同的信息，并在接收端對接收到的信號進行適當合并來獲得分集增益，從而抵抗信道衰落。同樣本文算法通過對多個具有不同SINR性能的分離信號進行最大比合并，也可以獲得分集增益。

4 仿真實驗和結(jié)果分析

實驗中源信號個數(shù)d=4，并且4個獨立源信號為同頻數(shù)字調(diào)制信號，分別為2個16PSK信號，2個QPSK信號。接收端是m陣元的等距線陣，因此混合矩陣的第i個列向量為

其中，da表示等距線陣相鄰天線之間距離，它的值取為信號波長的一半，c是光速，ωi、θi分別是第i個信源的角頻率和入射角度，θi在[0,π]內(nèi)服從均勻分布，MRC算法中的門限值β=10-4，式(14)的步長因子μ=1，算法采用的樣本數(shù)為1 000。

實驗1 在m=8和SNR=20dB時，仿真了4種算法的分離效果，這4種算法分別是S-FastICA算法[10]、P-FastICA 算法[10]、基于相對梯度的 EASI算法[11]和本文提出的MRC-FastICA算法。圖2是一次實驗的仿真結(jié)果，分別畫出了源信號、混合信號以及4種算法得到的分離信號的星座圖。

在本次實驗中，源信號入射角 θ=[θ1,θ2,θ3,θ4]和混合矩陣 A=[a(θ1);a(θ2);a(θ3);a(θ4)]分別為：

圖2 源信號、分離信號以及4種算法得到的分離信號星座圖

圖 2(c)是 S-FastICA算法的分離信號星座圖，從中可以看出，算法存在誤差累積，分離的信號質(zhì)量越來越差；圖2(d)、圖2(e)分別給出了P-FastICA和 EASI算法的分離信號星座圖，可以看出P-FastICA和EASI算法的性能基本相同，這2種算法在每次迭代中都對分離矩陣進行了正交化處理(前者是對每次迭代得到的分離矩陣進行對稱正交化，后者是在算法中加入了正交化約束)，這個正交化處理會增大分離信號中的殘留干擾，導致算法分離性能下降；圖2(f)是MRC-FastICA的分組數(shù)k=4時的分離結(jié)果，從圖中可以看出其分離性能最好，這是因為當k=4時，MRC-FastICA算法可以充分利用接收天線的信息來獲得分集增益，降低了串行算法誤差累積的影響。與并行算法相比，本文算法避免了正交化處理帶來的互干擾，因此它的分離效果最好。上述4種算法都存在順序模糊性問題，因此分離信號與源信號之間的對應關系不完全一致，這可以通過設計半盲算法來解決。

實驗2 從第3節(jié)中算法的分析過程可知，對多組分離信號的正確歸類是最大比合并的基礎，本文利用信號的相關性來進行信號歸類，并仿真了在不同 SNR情況下，算法正確歸類概率隨樣本數(shù)的變化。實驗中衡量歸類正確的方法是：如果歸類信號中所有分量兩兩之間都滿足步驟 3)所提出的歸類原則(相關函數(shù)模值矩陣中對應元素最大)，并且在每次歸類結(jié)束后，所有分離信號都被歸到某一類中，則認為本次歸類正確。

圖3給出了m=8時的仿真曲線，仿真中MRCFastICA算法分組數(shù)k=4，仿真結(jié)果是1 000次獨立仿真后統(tǒng)計得到的。從圖3可以看出，隨著SNR和樣本數(shù)的增加，算法正確歸類的概率也呈增大趨勢。當SNR=10dB，正確歸類概率在樣本數(shù)大于400時基本保持在0.9左右。當SNR=20dB時，正確歸類概率在樣本數(shù)大于200時保持穩(wěn)定，達到0.96左右。

圖3 分離信號正確歸類概率與樣本數(shù)之間的關系

實驗 3 本實驗仿真了分離信號的輸出 SINR(signal-to-interference- plus-noise ratio)性能，仿真結(jié)果是500次獨立仿真后進行平均得到的。下面給出仿真中分離信號SINR的表達式。

若第i個分離信號的最終分離向量為fi，，則第i個分離信號為

它的SINR可以表示為

其中，Ps為源信號功率，max(gi)是向量gi的最大元素、sum(gi)是向量gi所有元素之和。分母第1項、第2項分別表示分離信號中干擾分量和噪聲分量的功率。

圖4給出了當m=8，SNR=20dB時，4種算法分離信號SINR隨分離信號次序變化的曲線。其中MRC-FastICA算法的分離信號次序是按照 x1的分離次序來排列的，算法的分組數(shù) k=4。從圖中可以看出，S-FastICA算法由于誤差累積的影響，分離性能隨著分離次序的增大逐漸下降，圖中S-FastICA算法第一個分離信號SINR高于輸入SNR(20dB)，這是因為在本實驗中，接收天線陣元數(shù)(m=8)大于信源個數(shù)(d=4)，這種情況下算法采用的預白化可以降低噪聲的影響；P-FastICA算法和EASI算法由于正交化約束使得整體分離性能下降，這與實驗1的結(jié)果是吻合的。MRC-FastICA算法由于獲得了分集增益，因此大大降低了誤差累積的影響，算法的整體性能最好。圖5給出了4種算法的SINR性能隨SNR的變化曲線。從圖中可以看出，隨著SNR的增加，4種算法的各個分離信號SINR都隨SNR的增加而增大。由于可以獲得分集增益，MRC-FastICA算法的性能要優(yōu)于其他3種算法。

圖4 分離信號SINR與分離信號次序

圖6給出了分組數(shù)k取不同值時MRC-FastICA算法得到的分離信號SINR性能曲線。從圖中可以看出，k值越大，MRC-FastICA算法的性能越好。這是因為k值越大，算法利用的天線組合越多，分集增益也就越大。當k=1時，算法沒有利用到多余天線來提供分集，而且也沒有利用多余天線來降低噪聲，因此算法性能要劣于傳統(tǒng)S-FastICA算法。

圖 7所示為當接收天線數(shù) m取不同值時，MRC-FastICA算法(k=4)得到的分離信號SINR性能曲線。從圖中可以看出，m值越大，算法性能越好。這是因為接收天線數(shù)越多，算法可利用的觀測信號信息越多，分集增益也就越大。

圖5 分離信號SINR性能隨SNR的變化曲線

圖6 分組數(shù)對MRC-FastICA算法分離性能的影響

圖7 接收天線數(shù)對MRC-FastICA分離性能的影響

5 結(jié)束語

本文提出一種基于最大比合并的超定盲源分離算法，該算法利用 S-FastICA來消除期望信號中其他用戶的干擾，為 MRC提供同一源信號的多個分集信號，并利用 MRC得到最終的分離信號。仿真實驗和分析表明，所提算法通過對不同觀測信號組合的分離信號進行最大比合并，可以獲得分集增益，并且隨著分組數(shù)和接收天線數(shù)的增大，分集增益也增加。該分集增益不僅可以降低 S-FastICA中誤差累積的影響，而且避免了串行算法由于正交化處理帶來的殘留干擾，算法有更好的SINR性能。

[1] CICHOCHI A,AMARI S I.Adaptive Blind Signal and Image Processing[M].New York: Wiley,2002.

[2] 付衛(wèi)紅,楊小牛.基于盲源分離的CDMA多用戶檢測與偽碼估計[J].電子學報,2008,36(7): 1319-1323.FU W H,YANG X N.The multi-user detection and chip sequence estimation for CDMA system based on the blind source separation[J].Acta Electronica Sinica,2008,36(7): 1319-1323.

[3] 張晉東，秦貴和.基于FastICA-TDS的DS-CDMA盲源分離系統(tǒng)[J].通信學報，2008，29(8): 124-128.ZHANG J D,QIN G H.DS-CDMA BSS system based on FastICA-TDS[J].Journal on Communications,2008,29(8): 124-128.

[4] ERDOGAN A T.Globally convergent deflationary instantaneous blind source separation algorithm for digital communication signals[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2007,55(5): 2182-2192.

[5] CHAN T H,MA W K.Blind separation of non-negative sources by convex analysis: effective method using linear programming[A].IEEE International Conference on Acoustics,Speech,and Signal Processing(ICASSP)[C].Las Vegas,Nevada,USA,2008.3493-3496.

[6] ZHANG Q,SUN J D.A novel ICA-based image/video processing method[A].7th International Conference on Independent Component Analysis and Signal Separation(ICA2007)[C].London UK,2007.836-842.

[7] AMARI S I.Natural gradient learning for over and under-complete bases in ICA[J].Neural Computation,1999,11(8): 1875-1883.

[8] ZHANG L Q,CICHOCKI A,AMARI S I.Natural gradient algorithm for blind separation of overdetermined mixture with additive noise[J].IEEE Signal Processing Letters,1999,16(11): 293-295.

[9] SQUARTINI S,ARCANGELI A.Stability analysis of natural gradient learning rules in overdetermined ICA[J].Signal Processing,2008,88(3): 761-766.

[10] BINGHAM E,HYVARINEN A.A fast fixed-point algorithm for independent component analysis of complex valued signals[J].Journal of Neural Systems,2000,10(1):1-8.

[11] CARDOSO J F,LAHELD B H.Equivariant adaptive source separation[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1996,44(12): 3017-3030.

[12] 張輝,曹麗娜.現(xiàn)代通信原理與技術[M].西安: 西安電子科技大學出版社,2002.ZHANG H,CAO L N.Modern Principle and Technology of Telecommunications[M].Xi’an: Xidian University Press,2002.

[13] ZHANG X D.Matrix Analysis and Applications[M].Beijing:Tsinghua University Press,2004.

[14] DING Z,NGUYEN T.Stationary points of a kurtosis maximization algorithm for blind signal separation and antenna beamforming[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2000,48(6): 1587-1596.

[15] CHI C Y,CHEN C Y.Blind beamforming and maximum ratio combining by kurtosis maximization for source separation in multipath[A].Proceedings of the IEEE Signal Processing Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications[C].Taoyuan,Taiwan,China,2001.20-23.

[16] CHI C Y,CHEN C Y.Batch processing algorithms for blind equalization using higher-order statistic[J].IEEE Signal Processing Magazine,2003,(1): 25-49.

[17] SHALVI O,WEINSTEIN E.Super-exponential methods for blind deconvolution[J].IEEE Transactions on Information Theory,1993,39(2):504-519 .

[18] OZGUL B,DELIC H.Wireless access with blind collision-multiplicity detection and retransmission diversity for quasi-static channels[J].IEEE Transactions on Communications,2006,54(5):858-867.

[19] WAX M,KAILATH T.Detection of signals by information theoretic criteria[J].IEEE Transactions on Acoust,Speech,Signal Processing,1985,32: 387-392.

[20] ZENG Y H,NG T S.A semi-blind channel estimation method for multiuser multiantenna OFDM systems[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2004,52(5): 1419-1429.