梁偉，張順頤，寧向延，徐蘇磊

（1. 南京郵電大學 信息網(wǎng)絡技術研究所，江蘇 南京 210003；2. 常熟理工學院 計算機科學與工程學院，江蘇 常熟 215500）

1 引言

關于擁塞控制的研究工作當中，除了平穩(wěn)狀態(tài)性能分析，另一個主要就是擁塞控制算法的動態(tài)性能分析。尤其是要考慮不計反饋時延時的穩(wěn)定性，以確保系統(tǒng)工作狀態(tài)的確是趨于平衡的[1]。FAST TCP是在Vegas基礎上采用反饋時延作為擁塞度量的改進方案，目的是解決高速大時延環(huán)境下傳統(tǒng)算法帶寬利用率不高的問題[2]。在高速網(wǎng)絡環(huán)境下，帶寬利用率可達90%以上，這一點是其他算法所無法比擬的。FAST根據(jù)距離平衡點位置的遠近非線性地調整窗口大小變化的快慢，以此提高窗口的響應速度和減緩窗口的波動幅度，使得數(shù)據(jù)流始終處在最佳傳輸狀態(tài)。直到最近2年才出現(xiàn)了對FAST穩(wěn)定性能的實驗探索和理論研究，在FAST TCP中參數(shù)γ是數(shù)據(jù)源控制強度，對網(wǎng)絡性能有顯著影響，而其設置范圍的研究工作還遠遠不夠。文獻[3～6]提到相關的工作。在文獻[7]中，對影響穩(wěn)定的微觀因素做了探討，分析了2個RTT有差別的FAST數(shù)據(jù)流共享一條瓶頸鏈路時的穩(wěn)定情況。文獻[8]采用離散時間鏈路模型，推導了FAST的局域漸趨穩(wěn)定的條件。文獻[9]提到了一個數(shù)據(jù)源在一條瓶頸鏈路傳輸時，F(xiàn)AST的參數(shù)α、γ對穩(wěn)定性的影響，有待于進一步分析多個數(shù)據(jù)源共享一條瓶頸鏈路的穩(wěn)定情況。文獻[10]應用Lyapunov函數(shù)分析了穩(wěn)定條件，也是局限于一個FAST數(shù)據(jù)流傳輸?shù)那闆r。在文獻[11]中，參數(shù) γ的值限定在(0,1]，在文獻[12]中推薦γ設為0.5，在文獻[13]中，γ的條件分析不夠全面不夠深入。

針對以上不足，本文對FAST TCP的穩(wěn)定性進行深入探討，目的是得出參數(shù)γ的邊界條件。本文從分析穩(wěn)態(tài)流量FAST負反饋模型來解決這個問題的，具體分析了1個數(shù)據(jù)流，2個數(shù)據(jù)流在一條瓶頸鏈路上傳輸時，網(wǎng)絡的FAST參數(shù)γ的設置是如何影響穩(wěn)定的。本文也對于一條瓶頸的鏈路上傳輸無數(shù)條數(shù)據(jù)流的情況作出了證明。

2 數(shù)學模型

2.1 網(wǎng)絡流量模型

考慮在一條容量為C的瓶頸鏈路上有多條TCP數(shù)據(jù)流進行傳輸，如圖1所示。各TCP流依次記為在本文中用p表示鏈路的排隊時延，wn表示數(shù)據(jù)流 n的擁塞窗口大小， xn表示排隊隊列中數(shù)據(jù)源n的數(shù)據(jù)到達率，dn表示數(shù)據(jù)流n的鏈路傳播時延，τn表示數(shù)據(jù)流n的往返時延RTT，其中它們均為時間t的函數(shù)，不帶t加小括號的時候表示該變量平衡狀態(tài)的值。設τnf為前一段鏈路傳播時延，即從數(shù)據(jù)源n到瓶頸鏈路的傳播時延。相應地，τb( t )為數(shù)據(jù)分組到達瓶頸鏈路后到

圖1 TCP連接拓撲

n

研究表明基于窗口的擁塞控制假定發(fā)送速率與窗口大小除以往返時延成比例，把排隊隊列看成一個簡單的積分器，對鏈路上大于鏈路容量的傳輸速率進行積分，于是有積分鏈路模型[14]：

2.2 FAST模型和網(wǎng)絡

FAST TCP依據(jù)數(shù)據(jù)分組的排隊時延 pn(t -τ)來設置擁塞窗口，它的發(fā)送速率是通過擁塞窗口機制來調整的，每個發(fā)送源根據(jù)下式的離散時間更新窗口大小[15]：

其中，αn∈Z+，αi是數(shù)據(jù)分組中的度量常數(shù)。γn為步長大小，是協(xié)議參數(shù)。窗口大小在每一個RTT之后執(zhí)行更新一次。排隊時延 qn(k)是由數(shù)據(jù)發(fā)送端

∧估計出的，第 k次的估計表示為 qn(k )。窗口算法是以RTT為基礎進行，而估計值是以數(shù)據(jù)分組經(jīng)歷的時間為基礎估算的。

3 穩(wěn)定分析

3.1 二階穩(wěn)定分析

式(1)和式(2)的連續(xù)時間形式拉普拉斯變換為

消去 ()Ps得：

運用padé二階近似得傳遞函數(shù)的特征多項式為

由以上2式，代入FAST TCP通常設置α、c和d的范圍，可得穩(wěn)定范圍的上界約為1.55。為了得到工程應用上所許可的參數(shù)設置范圍，下面對系統(tǒng)進行一階近似來求系統(tǒng)穩(wěn)定γ的設置范圍。

3.2 一階穩(wěn)定性分析

瓶頸鏈路除了傳輸TCP流之外，也傳輸非窗口控制TCP流量，如UDP流量。令 xc(t)∈ [0 ,c]為非TCP流量大小，則TCP流量可以獲得的鏈路帶寬為c - xc(t)。根據(jù)來自于觀察經(jīng)驗流量模型，窗口大小和鏈路緩存之間的關系可以表示為穩(wěn)態(tài)鏈路模型[16]：

采用歐拉一階微分近似，式(2)的連續(xù)時間形式的拉普拉斯變換式為[17]

多個數(shù)據(jù)源共享一條瓶頸鏈路的窗口擁塞控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

聯(lián)立式(10)和式(9)的拉普拉斯變換式可以建立基于穩(wěn)態(tài)鏈路模型的一個負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)具有式(11)的形式，其中這里

由此得到穩(wěn)態(tài)鏈路的開環(huán)傳遞函數(shù)：

當 q → 0 時，每一項 Ln(s)都會增大，整個環(huán)路的傳遞函數(shù)的模會增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性會下降，所以集中討論 q → 0 的情況。這時穩(wěn)態(tài)鏈路的開環(huán)傳遞函數(shù)式(14)變?yōu)?/p>

以下利用式(15)對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析。

3.2.1 1個FAST流在瓶頸鏈路上傳輸?shù)那闆r

當N=1時，只有1個數(shù)據(jù)流，則1μ=，式(15)變?yōu)?/p>

在頻域內考察式(16)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以jω代替s，繪制ω由0→∞奈奎斯特曲線。根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，如果曲線自下而上順時針穿越區(qū)間( ,1)-∞- 的次數(shù)為0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式(16)系統(tǒng)的頻率特性為

3.2.2 2個FAST流在瓶頸鏈路上傳輸?shù)那闆r

設2個FAST流的往返時延有關系式τ2=ητ1，其中，η表示2個數(shù)據(jù)流往返時延差別系數(shù)，取值范圍為(1,+ ∞ )。式(15)變?yōu)?/p>

圖2 時系統(tǒng)的Nyquist曲線

圖3 2個FAST流不同RTT情況下γ的穩(wěn)定邊界

圖4 當η和μ變化時，γ使系統(tǒng)穩(wěn)定的取值

3.2.3 N=∞個FAST流在瓶頸鏈路上傳輸?shù)那闆r

在實際的網(wǎng)絡中，鏈路上有很多數(shù)據(jù)流同時傳輸。求出這種情況下穩(wěn)定邊界條件的統(tǒng)計平均是有意義的?？紤]很多個數(shù)據(jù)流的RTT呈均勻分布的情況，即令其中τ0為所有數(shù)據(jù)流中RTT最小值，τ為最大值，其最大可以為無窮大。

這時式(15)穩(wěn)定條件可以表示為：在條件

定理 如果

在式(18)描述的系統(tǒng)中，如果取η在區(qū)間(1,)+∞變化，1μ在(0,1)區(qū)間變化，可求出γ的穩(wěn)定邊界如三維圖4所示。圖中的曲面是γ值的穩(wěn)定邊界，γ取值在曲面上方時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，γ取值在曲面下方時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。觀察γ的極小值點，可以看出1μ趨于0或者趨于1時，這時實際上退化到了1個FAST流傳輸?shù)那闆r，γ的穩(wěn)定邊界最小，1μ在0和1之間γ的穩(wěn)定邊界都較大。這就是說，2個FAST流傳輸時γ的穩(wěn)定邊界要大于1個FAST流傳輸?shù)那闆r。

則在式(20)條件下，式(22)所確定的系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明設 H (ω)為復平面過點 - 1 + j0，斜率為的直線以下的半個平面如圖 5所示，如果Nyquist曲線在這個平面以下，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這個平面可以表示為

圖5 過點，斜率為的直線以下的半個平面

如果式(22)所確定的 L (s)滿足 L (jω)∈ H(ω)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

L(jω)∈ H(ω)等價于

令s=jω，將式(22)代入式(25)，并考慮到

即當

時，有 L (jω)∈ H(ω)。

當有無窮多個數(shù)據(jù)源N→∞時，式(26)變?yōu)?/p>

令θωτ=，由于有式(20)的條件，并假定總體上所有數(shù)據(jù)流的往返時延RTT服從均勻分布：

可得

因為 L (jω)∈ H(ω)，根據(jù)Nyquist準則系統(tǒng)收斂，定理得證。

圖6 定理中不等式(23)所確定的γ的曲線

4 仿真

FAST的ns2仿真軟件在網(wǎng)站[18]上可以下載，設計實驗仿真場景來驗證參數(shù)γ對FAST 數(shù)據(jù)流傳輸穩(wěn)定性的影響。多條FAST TCP數(shù)據(jù)流在一條容量為40Mbit/s的瓶頸鏈路上進行數(shù)據(jù)傳輸如圖1所示，傳輸?shù)臄?shù)據(jù)分組大小為 1 000byte，傳輸延時d= 2 0ms ，瓶頸鏈路的傳播時延為 4 ms，α=50packet。在1～500之間隨機選擇FAST數(shù)據(jù)流的個數(shù)進行傳輸，傳播時延在400～700ms之間均勻分布。研究γ穩(wěn)定界限的最小上界，發(fā)現(xiàn)當設置 γ=1.55，γ=1.63或γ=1.75時，排隊隊列的變化如圖7(a)，圖7(b)和圖7(c)所示。圖7(a)表明當γ=1.55時，排隊隊列依然穩(wěn)定，圖7(b)表明當γ=1.63時，排隊隊列開始出現(xiàn)波動，而圖7(c)表明當γ=1.75時，排隊隊列的波動很大了。這說明得出的參數(shù)γ的設置選擇范圍與實驗結果非常吻合。

圖7 不同γ時的排隊隊列

5 結束語

本文根據(jù)穩(wěn)態(tài)鏈路模型和積分鏈路模型對FAST TCP算法在復頻域建立了負反饋控制系統(tǒng)，深入地分析了在一條瓶頸鏈路上FAST流的傳輸情況。對系統(tǒng)傳遞函數(shù)進行了二階定性穩(wěn)定分析，對1個FAST流、2個以及無窮多個數(shù)據(jù)源的情況下參數(shù)γ穩(wěn)定邊界條件進行了分析，在1個數(shù)據(jù)流時，γ= 1 . 57。隨著傳輸?shù)臄?shù)據(jù)流的增多，參數(shù)γ的穩(wěn)定邊界增大，系統(tǒng)穩(wěn)定將趨于寬松，穩(wěn)定取值將大大高于1.57，接著ns2仿真證實了所得結論。所得結論以控制理論作為依據(jù)，仿真結果與本文的理論研究符合很好。本文的研究成果有助于FAST TCP的實際應用，使得參數(shù)γ的設置選擇范圍有了明確的理論指導方針。在將來大規(guī)模地實際應用 FAST TCP情況下，對采用本文建議的參數(shù)γ的效果可以做進一步研究。

[1] BELHAJ S. VFAST TCP∶ an improvement of FAST TCP[A]. Proc Tenth International Conference on Computer Modeling and Simulation[C]. 2008.88-93.

[2] CHEN M, FAN X. Normalized queueing delay∶ congestion control jointly utilizing delay and marking[J]. IEEE/ACM Transactions on Networking, 2009,17(2)∶618-631.

[3] ZHANG H, PENG L, FAN B, et al. Stability of FAST TCP in single-link multi-source network[A]. Proc 2009 World Congress on Computer Science and Information Engineering[C]. 2009. 369-373.

[4] BAIOCCHI A, VACIRCA F. TCP fluid modeling with a variable capacity bottleneck link[A]. Proc IEEE INFOCOM [C]. 2007. 1046-1054.

[5] TAN L, ZHANG W, YUAN C. On parameter tuning for FAST TCP[J].IEEE Commun Letters, 2007, 11(5)∶ 458-460.

[6] WANG J, WEI D X, LOW S H. Modeling and stability of FAST TCP[A]. INFOCOM 2005.24th Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Societies[C]. 2005.938-948.

[7] JACOBSSON K, HJALMARSSON H, MOLLER N. ACK-clock dynamics in network congestion control—an inner feedback loop with implications on i nelastic flow impact[A]. Proceedings of IEEE Conference on Decision and Control[C]. San Diego, USA, 2006.1882-1887.

[8] JACOBSSON K, ANDREW L L H, TANG A, et al. ACK-clocking dynamics∶ modeling the interaction between windows and the net-work[A]. Proc IEEE Infocom[C]. 2008. 2146-2151.

[9] WEI D, JIN C, LOW S H, et al. FAST TCP∶ motivation, architecture,algorithms, performance[J]. IEEE/ACM Trans Networking, 2006,14(6)∶ 1246-1259.

[10] ZHAO F, ZHOU J, LU N. Stability analysis of FAST TCP based on lyapunov function[A]. Proc 7th Word Congress on Intelligent Control and Automation[C]. 2008.2136-2140.

[11] WANG J, TANG A, LOW S H. Local stability of FAST TCP[A].Proceedings of IEEE Conference on Decision and Control[C].2004.1023-1028.

[12] KOO K, CHOI J, LEE J S. Parameter conditions for global stability of FAST TCP[J]. IEEE Communications Letters, 2008,12(2)∶155-157.

[13] CHOI Y J, KO J W, YUN S W, et al. Improved global stability conditions of the tuning parameter in FAST TCP[J]. IEEE Communications Letters, 2009, 13(3)∶ 202-204.

[14] JACOBSSON K, ANDREW L, TANG A, et al. An improved link model for window flow control and its application to FAST TCP[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, 54(3)∶ 551-564.

[15] WEI D. Microscopic Behavior of Internet Congestion Control[D]. Pasadena, California, USA∶ California Institute of Technology, 2007. 36-37.

[16] TANG A, ANDREW L L H, JACOBSSON K, et al. Window flow control∶ macroscopic properties from microscopic factors[A]. Proc IEEE INFOCOM[C].2008.91-95.

[17] TANG A, JACOBSSON K, ANDREW L L H, et al. An accurate link model and its application to stability analysis of FAST TCP[A]. Proc IEEE INFOCOM[C]. 2007. 161-169.

[18] CUI T, ANDREW L. FAST TCP simulator module for ns-2, version 1.1[EB/OL]. http∶//www.cubinlab.ee.mu.oz.au/ns2fasttcp, 2009.