張 鋼，阮 娟，殷慶振，張 雪，蔣德得，劉 瑩

(上海大學(xué) 軸承研究所，上海 200072)

交叉滾子軸承廣泛應(yīng)用在機(jī)器人關(guān)節(jié)、減速器、旋轉(zhuǎn)單元、加工中心轉(zhuǎn)臺(tái)、醫(yī)療設(shè)備、精密轉(zhuǎn)臺(tái)、測(cè)量裝置、IC卡制造設(shè)備和紡織機(jī)械等領(lǐng)域。大型交叉圓柱滾子轉(zhuǎn)盤軸承還應(yīng)用于礦山機(jī)械、建筑工程機(jī)械等大型回轉(zhuǎn)臺(tái)上。下文采用遺傳優(yōu)化算法建立了交叉滾子軸承的結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，對(duì)軸承的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行了多目標(biāo)遺傳優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算。結(jié)果表明，通過改進(jìn)軸承的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以顯著提高軸承的額定動(dòng)載荷，從而提高軸承的額定壽命。

1 交叉滾子軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)

優(yōu)化設(shè)計(jì)必須建立軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，包括目標(biāo)函數(shù)、約束條件和優(yōu)化算法的選定。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通常包括：疲勞壽命最長(zhǎng)；旋滾比最??；耐磨壽命最長(zhǎng)；摩擦力矩最?。活~定靜載荷最大或者包含多項(xiàng)指標(biāo)的多目標(biāo)函數(shù)[1]。

考慮到在實(shí)際應(yīng)用中要求交叉滾子軸承具有承載能力高、轉(zhuǎn)速高、回轉(zhuǎn)精度高、安裝簡(jiǎn)便等特點(diǎn)，認(rèn)為交叉滾子軸承的旋滾比、耐磨壽命和摩擦力矩等使用性能比較充裕，并不是要解決的主要矛盾，而疲勞壽命和額定靜載荷對(duì)交叉滾子軸承的使用性能具有相當(dāng)重要的意義[2]。因此，優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)以交叉滾子軸承的疲勞壽命最長(zhǎng)和額定靜載荷最大組建多目標(biāo)函數(shù)。

圓柱滾子軸承的基本額定動(dòng)載荷計(jì)算公式為[3]：

(1)

式中：λv為接觸狀態(tài)系數(shù)，可參照標(biāo)準(zhǔn)查得；γ=Dw/Dpw，Dw為滾子直徑，Dpw為滾子組節(jié)圓直徑；i為滾子列數(shù)；Lw為滾子有效長(zhǎng)度；Z為每列滾子個(gè)數(shù)。

額定靜載荷公式為[3]：

C0=44(1-γ)iLwZDw

(2)

這是多目標(biāo)約束函數(shù)的優(yōu)化問題，采用線性加權(quán)法確定幾個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)數(shù)，再進(jìn)行相加即得到統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)。為了便于計(jì)算，通常取其負(fù)數(shù)或倒數(shù)，轉(zhuǎn)化為極小值問題，其表達(dá)式為：

F(X)=-ω1C-ω2C0

(3)

式中：F為目標(biāo)函數(shù)；X為優(yōu)化參數(shù)；ω為權(quán)數(shù)，根據(jù)各目標(biāo)函數(shù)對(duì)交叉滾子軸承性能的影響因素，?。?/p>

ω=[0.8 0.2]

(4)

優(yōu)化問題一般求的是極小值，故目標(biāo)函數(shù)為：

F(X)=-0.8C-0.2C0

(5)

1.2 設(shè)計(jì)變量

從(1)和(2)式可知，有關(guān)軸承結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量的參數(shù)包括滾子組節(jié)圓直徑Dpw、滾子直徑Dw、滾子有效長(zhǎng)度Lw和滾子個(gè)數(shù)Z。根據(jù)軸承幾何學(xué)關(guān)系，確定了以上的結(jié)構(gòu)參數(shù)，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)可以通過它們計(jì)算出來。因此，軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)變量可表示為：

X=[DpwDwLwZ]

(6)

1.3 約束條件

1.3.1 滾子組節(jié)圓直徑

滾子組節(jié)圓直徑關(guān)系到滾子直徑的大小和套圈的厚度，進(jìn)而關(guān)系到軸承的壽命。其與軸承平均直徑的差應(yīng)小于規(guī)定值，取值范圍在0.5(de+di)～(0.5+e)(de+di)之間，這里de與di分別為軸承的外徑與內(nèi)徑，e為規(guī)定的常數(shù)[4](e的取值為0.02～ 0.1)。交叉滾子軸承套圈壁薄且極限轉(zhuǎn)速高，其節(jié)圓直徑要相對(duì)稍大一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)e取0.04，則滾子組節(jié)圓直徑Dpw的約束條件為：

0.5(de+di)≤Dpw≤0.54(de+di)

(7)

即有：

G1(X)=0.5(de+di)-Dpw≤0

(8)

G2(X)=Dpw-0.54(de+di)≤0

(9)

1.3.2 滾子直徑

滾子直徑Dw的變化對(duì)徑向基本額定動(dòng)載荷C的影響較大，必須充分利用有限的滾子軸承橫截面積，盡可能增大Dw[4]，根據(jù)交叉滾子軸承設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，Dw的取值范圍為：

(10)

轉(zhuǎn)化約束條件為：

G3(X)=0.106(de-di)-Dw≤0

(11)

G4(X)=Dw-0.212(de-di)≤0

(12)

1.3.3 保持架約束條件

保持架最小厚度h根據(jù)軸承大小和類型來確定，交叉滾子軸承保持架通常為隔離塊，為實(shí)現(xiàn)交叉滾子軸承的高承載能力，需要適當(dāng)減小隔離塊的厚度，以增多滾子的數(shù)目，這里保持架(隔離塊)設(shè)計(jì)的約束條件可取為：

1.5≤h≤5

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

1.3.4 滾子長(zhǎng)度

交叉滾子軸承的滾子是相互垂直交叉地排列在夾角為90°的V形溝槽滾道面上，結(jié)合其滾道特殊性，滾子長(zhǎng)度的約束條件[4]為：

0.6B-2Lwcos 45°≥0

(18)

G7(X)=2Lwcos 45°-0.6B≤0

(19)

式中：B為軸承寬度。

1.3.5 外圈壁厚

外圈有效壁厚是影響外圈剛度和強(qiáng)度以及滾子直徑和滾子長(zhǎng)度的重要參數(shù)，最小壁厚應(yīng)不小于εDw，ε為規(guī)定的常數(shù)[4](ε的取值范圍為0.3～ 0.35)，根據(jù)交叉滾子軸承特殊的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，ε取0.3，因此外圈壁厚的約束條件可以表示為：

(20)

(21)

在所有的約束中，除了約束條件G5，G6為非線性約束條件外，其他約束條件都為線性約束，可用矩陣表示。

2 遺傳優(yōu)化算法和程序框圖

2.1 遺傳算法

采用Matlab自帶的遺傳算法與直接搜索工具箱(Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox)，簡(jiǎn)稱GADS工具箱[5]。其可以處理傳統(tǒng)優(yōu)化技術(shù)難以解決的問題，包括難以定義或不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的問題；可以解決目標(biāo)函數(shù)不連續(xù)或具有高度非線性、隨機(jī)性以及目標(biāo)函數(shù)不可微等復(fù)雜問題。

遺傳算法工具箱有兩種調(diào)用方式：一種是以命令行調(diào)用遺傳算法函數(shù)ga；另一種是通過命令gatool調(diào)用圖形用戶界面使用遺傳算法工具?，F(xiàn)用第一種方式進(jìn)行調(diào)用。

2.2 程序框圖

基于Matlab軟件中的遺傳工具箱編制優(yōu)化計(jì)算程序，利用計(jì)算機(jī)對(duì)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算尋優(yōu)，大大節(jié)省了人力，縮短了軸承設(shè)計(jì)周期，其程序框圖如圖1所示[5]。

圖1 遺傳優(yōu)化計(jì)算的程序框圖

3 計(jì)算實(shí)例分析

根據(jù)交叉滾子軸承的優(yōu)化模型編制Matlab程序，選擇計(jì)算參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。利用Matlab軟件的圖形用戶界面(Graph User Interface，GUI)模塊創(chuàng)建用戶界面(圖2)，從而使工程技術(shù)人員不必了解Matlab語(yǔ)言即可使用此優(yōu)化程序進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算。

圖2左側(cè)是優(yōu)化計(jì)算程序的輸入?yún)?shù)，分別為軸承的內(nèi)徑、外徑和寬度，這些參數(shù)是軸承的外形參數(shù)，是確定軸承與軸和軸承座配合的已知尺寸。圖2右側(cè)輸出優(yōu)化計(jì)算結(jié)果，分別為滾子組節(jié)圓直徑、滾子直徑、滾子個(gè)數(shù)、滾子長(zhǎng)度、適應(yīng)度函數(shù)值、額定靜載荷和額定動(dòng)載荷。其中，滾子組節(jié)圓直徑、滾子直徑、滾子個(gè)數(shù)和滾子長(zhǎng)度為優(yōu)化變量參數(shù)。適應(yīng)度函數(shù)為衡量?jī)?yōu)化結(jié)果的評(píng)價(jià)函數(shù)，值越小，說明優(yōu)化狀態(tài)越好。額定靜載荷和額定動(dòng)載荷則是通過優(yōu)化結(jié)果計(jì)算出來的衡量軸承使用壽命的重要指標(biāo)。另外，該程序還設(shè)置了重置和計(jì)算兩個(gè)控件按鈕，重置按鈕使面板中的輸入和輸出參數(shù)置0，計(jì)算按鈕則是在輸入?yún)?shù)為正數(shù)的情況下進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

圖2 優(yōu)化程序界面

由于遺傳優(yōu)化算法的隨機(jī)性，故需要以統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。以出口的交叉滾子軸承KBCB060-A為例，其外形參數(shù)為：內(nèi)徑24 mm，外徑60 mm，寬度18 mm，基本額定動(dòng)載荷5 257.8 N。通過計(jì)算，隨機(jī)抽取10組有效數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 10組優(yōu)化參數(shù)的數(shù)據(jù)

從表1可以看出，這10組的適應(yīng)度函數(shù)值差距不大，說明所編的優(yōu)化算法具有很好的穩(wěn)定性。同時(shí)，通過優(yōu)化后的設(shè)計(jì)參數(shù)計(jì)算出的額定動(dòng)載荷C值也比較穩(wěn)定。第5組數(shù)據(jù)中的適應(yīng)度函數(shù)最小，是優(yōu)化函數(shù)的最優(yōu)值，并且用這組數(shù)據(jù)計(jì)算出來的額定動(dòng)載荷值也達(dá)到了最大。因此，從這10組數(shù)據(jù)來看，第5組數(shù)據(jù)應(yīng)作為最終的優(yōu)化結(jié)果。

優(yōu)化前、后的對(duì)比結(jié)果如表2所示。實(shí)際設(shè)計(jì)中用圓整后的數(shù)據(jù)，軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)確定為：Dpw=44.6 mm，Dw=4 mm，Z=24個(gè)，Lw=3.8 mm。優(yōu)化后軸承的額定動(dòng)載荷提高到5 833.4 N，比優(yōu)化前提高了10.95%，根據(jù)軸承壽命和額定動(dòng)載荷的關(guān)系，額定壽命提高了41.4%。

表2 優(yōu)化前、后數(shù)據(jù)對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

通過建立交叉滾子軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，對(duì)軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)遺傳優(yōu)化計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明，改進(jìn)軸承的內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)能顯著提高軸承的額定動(dòng)載荷，并且試驗(yàn)證明優(yōu)化后的軸承壽命有了明顯的提高。為軸承的設(shè)計(jì)提供了具有實(shí)際指導(dǎo)意義的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，具有較好的創(chuàng)新意義和工程應(yīng)用價(jià)值，優(yōu)化結(jié)果可直接作為工程設(shè)計(jì)的參考，充分顯示了滾動(dòng)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)的經(jīng)濟(jì)意義。