張 強(qiáng)，李 成，吳騰飛

(天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

聚類分析是一種重要的無指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法，有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域．在圖像處理方面，聚類被用來實(shí)現(xiàn)圖像的自動分割、人臉的自動識別．在地球物理方面，聚類被用來處理衛(wèi)星遙感信息．在生物醫(yī)學(xué)方面，聚類被用來分析基因表達(dá)的關(guān)系．在文本處理方面，聚類被用來實(shí)現(xiàn)因特網(wǎng)中文本的自動分類．

當(dāng)前的聚類算法主要有 4類：①劃分方法，如文獻(xiàn)[1-2]等，其缺點(diǎn)是確定參數(shù) K困難，算法對噪聲敏感；②層次方法，如文獻(xiàn)[3-5]等，其缺陷是聚類質(zhì)量較低；③密度方法，如文獻(xiàn)[6-7]等，其缺點(diǎn)是計(jì)算量過大，不適合處理大量數(shù)據(jù)，對參數(shù)過分敏感；④網(wǎng)格的方法，如 CLUGD[8-9]等，其缺點(diǎn)是對網(wǎng)格大小過于敏感，生成的簇的形狀不是水平的就是垂直的，結(jié)果精度低．

針對以上問題，筆者提出了基于濾波器的聚類算法 (filter-based clustering algorithm，F(xiàn)BCLUS)．其主要貢獻(xiàn)是：①利用卷積定理和傅里葉變換，提出了頻率濾波法來消除噪聲的干擾；②提出了單閾值、多閾值幅度濾波法消除噪聲和提取不同密度的感興趣區(qū)域(可能包含聚類簇的區(qū)域)；③提出了一個(gè)新的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子，從感興趣區(qū)域中提取聚類簇．

FBCLUS算法的特點(diǎn)有：①能夠發(fā)現(xiàn)任意形狀的聚類；②計(jì)算復(fù)雜度與數(shù)據(jù)量呈線性關(guān)系；③能夠區(qū)分不同密度性質(zhì)的聚類簇；④抗噪聲能力強(qiáng)；⑤對網(wǎng)格大小有一定的適應(yīng)性；⑥聚類結(jié)果與數(shù)據(jù)輸入順序無關(guān)．

1 FBCLUS聚類算法

FBCLUS算法在思想上借鑒了數(shù)字信號處理的原理：提出聚類濾波方法降低噪聲水平，通過數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法提取聚類簇．FBCLUS分為 3步：①將數(shù)據(jù)空間網(wǎng)格化；②進(jìn)行頻率濾波和幅度濾波；③以數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)聚類簇．

FBCLUS的第 1步是將數(shù)據(jù)空間劃分為等間距的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格保存著其包含數(shù)據(jù)對象的個(gè)數(shù)．如果將數(shù)據(jù)集看作多維度信號，那么網(wǎng)格中數(shù)據(jù)對象的個(gè)數(shù)就標(biāo)志著該網(wǎng)格處信號的強(qiáng)弱，通過信號的濾波和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理，最終得到聚類簇．?dāng)?shù)據(jù)空間網(wǎng)格化的目的是濃縮信息，提高后續(xù)處理的速度．確定合理的網(wǎng)格大小(或者疏密)對后續(xù)處理有重要影響，目前提出的網(wǎng)格聚類算法對網(wǎng)格大小十分敏感，網(wǎng)格大小的變化對聚類結(jié)果有嚴(yán)重的影響．筆者提出的FBCLUS算法由于采用了模板濾波和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)聚類，所以對網(wǎng)格的大小有一定的適應(yīng)性．

1.1 頻率濾波

實(shí)際應(yīng)用中獲得的數(shù)據(jù)通常含有大量的噪聲對象，它們不但影響聚類的精度，同時(shí)也加大了計(jì)算量，所以有必要將它們?yōu)V除．如果將數(shù)據(jù)集視為多維度信號，那么聚類簇和噪聲所在區(qū)域表現(xiàn)為不同的特征[10]：聚類簇所在的區(qū)域信號以低頻為主，信號的幅度大，信號的能量高；噪聲所在的區(qū)域信號以高頻為主，信號的幅度小，能量低．

文中提出了使用頻率和幅度兩種濾波器過濾數(shù)據(jù)集的方法，以提高聚類處理的精度．首先，使用頻率低通濾波器去除噪聲所對應(yīng)的高頻信號；然后，使用幅度濾波器濾除殘存的小幅度噪聲信號．經(jīng)過兩次濾波處理后，噪聲水平明顯降低，為提高聚類簇的質(zhì)量提供了保證．為了降低頻率濾波的計(jì)算復(fù)雜度，提出了時(shí)域和頻域的綜合濾波法，避免了對整個(gè)空間的變換和反變換．實(shí)驗(yàn)表明，該方法有很好的精度和效率．

頻率濾波可以直接施加于信號，也可以先對信號做變換(如傅里葉變換、小波變換等)，然后對變換后的結(jié)果進(jìn)行濾波．前者稱為時(shí)域?yàn)V波，因?yàn)樾盘査幍目臻g是時(shí)域空間；后者稱為頻域?yàn)V波，因?yàn)樽儞Q后的空間是頻域空間．在時(shí)域中進(jìn)行頻率濾波的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量低，因?yàn)樗恍枰M(jìn)行空間變換．但是在時(shí)域中信號的頻率特性沒有被明顯展示，所以頻率濾波器設(shè)計(jì)困難．在頻域中進(jìn)行頻率濾波的優(yōu)點(diǎn)是濾波器設(shè)計(jì)簡單直觀，因?yàn)樾盘栔苯颖憩F(xiàn)為頻率的函數(shù)．但是頻域?yàn)V波需要對數(shù)據(jù)集進(jìn)行變換，計(jì)算量大．

文獻(xiàn)[11]在聚類中采用了頻域?yàn)V波，使用小波變換實(shí)現(xiàn)時(shí)域到頻域的變換，在頻域中使用低通濾波器實(shí)現(xiàn)過濾．文獻(xiàn)[11]只考慮了不同區(qū)域的頻率特性而沒有考慮幅度特性．其算法優(yōu)點(diǎn)是抗噪聲強(qiáng)、精度高；缺點(diǎn)是需要對整個(gè)數(shù)據(jù)空間做小波變換和反變換，計(jì)算量大．

筆者提出的頻率濾波方法綜合了時(shí)域和頻域?yàn)V波的優(yōu)點(diǎn)，避免了各自的缺點(diǎn)，不但精度高而且減小了計(jì)算量．其核心思想是：在頻域中設(shè)計(jì)低通濾波器；根據(jù)卷積定理，使用傅里葉反變換得到時(shí)域空間中對應(yīng)的低通濾波器；在時(shí)域中完成濾波．其優(yōu)點(diǎn)是：①在頻域中能夠方便地設(shè)計(jì)出高質(zhì)量的濾波器，通過傅里葉反變換在時(shí)域中得到的對應(yīng)濾波器具有頻域中相同的性能，這是由卷積定理保證的；②使用時(shí)域?yàn)V波器直接濾波避免了空間的傅里葉變換和傅里葉反變換，減少了計(jì)算量．

下面詳細(xì)討論頻域中低通濾波器的設(shè)計(jì)和時(shí)域中對應(yīng)濾波器的獲得以及時(shí)域中濾波的處理．

頻域中頻率濾波的數(shù)學(xué)模型為

式中： (,)F u v為數(shù)據(jù)集 (,)f x y在頻域的傅里葉變換，也就是要被濾波的對象； (,)H u v是頻域中濾波器函數(shù)，完成對信號的濾波； (,)G u v是對 (,)F u v濾波后的結(jié)果．問題的關(guān)鍵是如何確定頻率濾波器 (,)H u v．以原型法設(shè)計(jì)頻率濾波器，確定濾波器的類型，再確定濾波器的參數(shù)．采用原型法的最大好處是現(xiàn)有的濾波器理論成熟，可以很容易地設(shè)計(jì)出符合要求的濾波器．主要考慮理想低通濾波器、巴特沃思低通濾波器和高斯低通濾波器[12]．以這 3種濾波器為設(shè)計(jì)原型是因?yàn)樗鼈兊念l率特性曲線涵蓋了從尖銳陡峭(理想低通濾波器)到圓滑平緩(高斯低通濾波器)的整個(gè)范圍．理想低通和高斯低通濾波器是兩個(gè)極端，巴特沃思低通濾波器則介于二者之間，為過渡類型．

在頻域中完成濾波器的設(shè)計(jì)之后需要將它變換到時(shí)域中，進(jìn)而完成濾波．卷積定理提供了理論依據(jù)，即頻域的乘積對應(yīng)于時(shí)域的卷積

由卷積定理和傅里葉反變換就可以獲得需要的時(shí)域?yàn)V波器 (,)h x y，從而可以直接對時(shí)域中的數(shù)據(jù)濾波．現(xiàn)在時(shí)域空間是大小為R T×的網(wǎng)格，應(yīng)采用離散形式的卷積運(yùn)算，即式中：(,)h x y的大小(作用范圍)是R T×個(gè)網(wǎng)格．為了提高處理速度需要將 (,)h x y做得小一些，文獻(xiàn)[12] 指出以小尺寸的 (,)h x y在時(shí)域?yàn)V波的效率高于頻域?yàn)V波，同時(shí)有很好的濾波效果．下面采用大小為rt×的濾波器，并用模板實(shí)現(xiàn)與網(wǎng)格的卷積，即

式中：iw為掩模的系數(shù)；if是與該系數(shù)對應(yīng)的網(wǎng)格信號強(qiáng)度(即網(wǎng)格中含有數(shù)據(jù)對象的個(gè)數(shù))．

以模板計(jì)算卷積的過程是在網(wǎng)格中逐個(gè)網(wǎng)格地移動模板，在每一個(gè)網(wǎng)格(x，y)處濾波器的響應(yīng)由模板的掩模系數(shù)與相應(yīng)網(wǎng)格乘積之和給出．對于一個(gè)3 3×的模板(見圖1)，在網(wǎng)格(x，y)處卷積結(jié)果為

計(jì)算中要求網(wǎng)格(x，y)與模板中心0,0w 對應(yīng)．對于rt×的模板，r和t都要求是奇數(shù)．

圖1 3×3的模板Fig.1 3×3 mask

經(jīng)過頻率濾波之后高頻噪聲被大幅度衰減，但還會有些殘存，筆者采用幅度濾波法以進(jìn)一步降低噪聲水平．

1.2 幅度濾波

表1 DBSCAN和FBCLUS的運(yùn)行時(shí)間Tab.1 Run time of DBSCAN and FBCLUS

表1為DBSCAN和FBCLUS的運(yùn)行時(shí)間．從表1可知，噪聲區(qū)域的信號強(qiáng)度明顯小于聚類簇區(qū)域，所以文中提出通過信號幅度的差異來進(jìn)一步濾除噪聲．幅度濾波的思想是確定一個(gè)幅度閾值ξ，所有幅度小于ξ的區(qū)域都視為噪聲加以濾除，其數(shù)學(xué)表達(dá)為

式中cell(x, y)為中心坐標(biāo)為(x，y)的網(wǎng)格，Ifrefiltered(x, y )為網(wǎng)格cell(x, y)經(jīng)過頻率濾波后的信號強(qiáng)度；ROI(regions of interest)表示后續(xù)聚類處理的感興趣區(qū)域．如果網(wǎng)格(x，y)的信號強(qiáng)度高于幅度閾值ξ，則表明該網(wǎng)格可能屬于某個(gè)聚類簇，需要算法進(jìn)一步分析處理；反之，表明該網(wǎng)格信號強(qiáng)度太小，則屬于噪聲，要加以濾除．

幅度濾波的關(guān)鍵是如何確定合理的幅度閾值ξ，筆者以直方圖方式選擇幅度閾值．通常情況下，經(jīng)過頻率濾波后的信號幅度是非負(fù)的實(shí)數(shù)，呈現(xiàn)為連續(xù)分布．為了構(gòu)建直方圖，需要對其離散化，采用均勻量化，將信號幅度轉(zhuǎn)化為非負(fù)整數(shù)．然后分別計(jì)算各個(gè)幅度值對應(yīng)網(wǎng)格數(shù)量的百分?jǐn)?shù)，其數(shù)學(xué)處理方法是：設(shè)非空網(wǎng)格的總數(shù)為 M，幅度值為 i的網(wǎng)格數(shù)量是則幅度值為 i的網(wǎng)格數(shù)量百分比為以幅度值 I為橫軸，以iP為縱軸生成幅度直方圖．幅度直方圖一般呈多峰、谷分布，因?yàn)樵肼曅盘柕膹?qiáng)度很低，所以選取第一個(gè)明顯的谷底對應(yīng)的幅度值作為閾值ξ即可．通過以上的幅度濾波，整個(gè)空間被分為 ROI區(qū)域(可能屬于某個(gè)聚類簇)和噪聲區(qū)域，所以這種幅度濾波也可以看作是一種二值劃分問題．

為了進(jìn)一步提高聚類分析的精確性，又提出了多閾值的幅度濾波方法，它對應(yīng)于多值劃分問題，其核心思想是：呈多峰、谷分布的幅度直方圖中每一個(gè)峰及其附近隆起部分都反映某一種特定的信號強(qiáng)度分布，同時(shí)也對應(yīng)于特定的數(shù)據(jù)點(diǎn)密度分布．而兩個(gè)峰之間的谷底則是兩種不同密度分布的分割點(diǎn)，選取這些谷底對應(yīng)的幅度值作為幅度閾值，就可以將數(shù)據(jù)空間劃分為不同密度的區(qū)域，每一種密度區(qū)域都可能對應(yīng)不同的物理性質(zhì)．多幅度閾值的數(shù)學(xué)表達(dá)為

1.3 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)聚類

經(jīng)過頻率和幅度濾波之后，得到 ROI區(qū)域，對于二值幅度濾波，ROI區(qū)域只有一個(gè)，而對于多值幅度濾波，ROI區(qū)域有多個(gè)，每一個(gè) ROI對應(yīng)的區(qū)域密度不同，需要分別處理．下面任務(wù)是從每個(gè)ROI區(qū)域中提取由相連網(wǎng)格構(gòu)成的聚類簇．

筆者提出了一個(gè)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子完成聚類簇的搜索，其偽代碼見算法，其中⊕代表膨脹運(yùn)算，Δ為膨脹運(yùn)算的結(jié)構(gòu)元素．算子處理過程：第 1步，以 ROI區(qū)域作為種子集合 seeds，并從中任意取出一個(gè)沒有被處理的網(wǎng)格p作為起始點(diǎn) Xi進(jìn)行第i輪迭代．第2

0步，以起始點(diǎn)為中心進(jìn)行膨脹，并將膨脹后新得到的網(wǎng)格作為中心繼續(xù)膨脹，直到?jīng)]有發(fā)現(xiàn)新的網(wǎng)格為止．為了保證膨脹不會超出 ROI區(qū)域，需要將新得到的網(wǎng)格與seeds取交．第3步，將上面膨脹得到的結(jié)果歸屬于一個(gè)新的聚類簇 Ci，并從種子集合中去除已經(jīng)處理過的部分，如果種子集合不為空，則返回第1步繼續(xù)第 i+1輪迭代．此外，這一步還濾除了體積過小的聚類簇．第4步，當(dāng)?shù)Y(jié)束后輸出得到的聚類簇．

筆者提出的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子本身具有一定的降噪能力，它主要消除那些體積過小相互集聚的網(wǎng)格，如圖 2所示．圖 2(a)中小黑點(diǎn)是一些高密度網(wǎng)格的聚集體，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子能夠?qū)⑺鼈優(yōu)V除(見圖2(b)．圖 2(a)中小黑點(diǎn)出現(xiàn)的原因是：為了提高效率，對頻率和幅度濾波均采用小尺寸的模板，從而導(dǎo)致抗局部高密度噪聲能力的下降．但是，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子只能區(qū)分體積大小的不同，而不能區(qū)分密度的疏密，所以必須與頻率和幅度濾波相結(jié)合才能取得較好的效果．

圖2 新的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子的降噪效果Fig.2 Filtering effect of new mathematical morphological operator

1.4 算法參數(shù)的選擇

濾波器模板的大小對算法的計(jì)算復(fù)雜度有很大的影響，模板越大，計(jì)算量越大，文獻(xiàn)[12]指出在使用小模板的情況下，卷積的計(jì)算量會明顯小于傅里葉變換．通常模板大小需要由實(shí)驗(yàn)決定，經(jīng)驗(yàn)表明：在數(shù)據(jù)點(diǎn)密集區(qū)域模板中能夠包含10個(gè)以上的數(shù)據(jù)點(diǎn)就能基本滿足要求．在某些情況下，小尺寸模板會導(dǎo)致局部高密度噪聲的濾除不凈(見圖 2)，這可以由提出的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子解決．

膨脹運(yùn)算結(jié)構(gòu)元素的大小決定了算法對提取聚類簇時(shí)的黏合性的強(qiáng)弱．當(dāng)網(wǎng)格劃分過密時(shí)，聚類區(qū)域相對分散，要采用較大的結(jié)構(gòu)元素；反之，當(dāng)網(wǎng)格劃分稀疏時(shí)，聚類簇區(qū)域相對集中，要采用較小的結(jié)構(gòu)元素．可以通過試探法決定結(jié)構(gòu)元素的大?。菏紫冉Y(jié)構(gòu)元素的大小取一個(gè)較小的值，然后逐步增大結(jié)構(gòu)元素的大小，此時(shí)得到的聚類簇個(gè)數(shù)會逐步減小，當(dāng)增加結(jié)構(gòu)元素的大小而聚類簇個(gè)數(shù)變化不大的時(shí)候，就找到了合適的大?。?/p>

對于多閾值幅度濾波得到的多個(gè) ROI區(qū)域，由于不同類聚類簇的密度差異較大，需要分別確定結(jié)構(gòu)元素的大小，然后再提取聚類簇，這樣就能夠保證類內(nèi)樣本較為稀疏的時(shí)候，算法判別正確．

濾波器模板和膨脹運(yùn)算結(jié)構(gòu)元素的形狀在低維度下選擇矩形，以保證高的聚類質(zhì)量；在高維度下選擇十字形，以減少計(jì)算量．因?yàn)榫匦蔚哪０寤蛘哌\(yùn)算結(jié)構(gòu)中包含網(wǎng)格的數(shù)目與維度呈指數(shù)增長，而十字形中包含網(wǎng)格的數(shù)目與維度呈線性增長，所以十字結(jié)構(gòu)可以降低高維度處理的計(jì)算量．

1.5 算法性能分析

為了討論方便，規(guī)定數(shù)據(jù)集中對象的個(gè)數(shù)為 N，非空網(wǎng)格的數(shù)目為 M，濾波模板中網(wǎng)格的數(shù)量為 W，濾波得到的ROI網(wǎng)格的總數(shù)目為R，膨脹結(jié)構(gòu)元素中網(wǎng)格的數(shù)量為D，F(xiàn)BCLUS算法第1步空間網(wǎng)格化的計(jì)算復(fù)雜度為 O(N)，第 2步空間過濾的計(jì)算復(fù)雜度為 O(MW)，第 3步數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的計(jì)算復(fù)雜度為O(RD)，整體復(fù)雜度為 O(N+MW+RD)．通常 MW＜N，RD＜N，整體復(fù)雜度近似為 O(N)，與數(shù)據(jù)量呈線性關(guān)系．

2 實(shí)驗(yàn)測試

2.1 精度測試

測試算法發(fā)現(xiàn)任意形狀聚類簇的能力和抗噪聲性能．測試數(shù)據(jù)集和聚類結(jié)果如圖 3所示，其中數(shù)據(jù)集含有噪聲對象．

圖3 精度測試的數(shù)據(jù)集和聚類結(jié)果Fig.3 Data set and clustering result of accuracy test

2.2 網(wǎng)格適應(yīng)性測試

測試算法對網(wǎng)格尺寸的適應(yīng)性．測試數(shù)據(jù)集如圖4(a)所示，使用兩種網(wǎng)格進(jìn)行聚類．第1種網(wǎng)格是50×50，第 2種網(wǎng)格是 1,000×1,000，網(wǎng)格邊長相差20倍．目前提出的網(wǎng)格聚類算法一般只能在50×50的網(wǎng)格中正常工作，例如 CLUGD[8]算法在提取聚類簇時(shí)只考慮相鄰網(wǎng)格的聯(lián)通性，當(dāng)網(wǎng)格劃分過于密集時(shí)，高密度網(wǎng)格之間被空網(wǎng)格分割開來，其連通性遭到破壞，從而導(dǎo)致算法不能正常工作．而 FBCLUS算法在兩種網(wǎng)格下均能得到圖4(b)的聚類結(jié)果．

圖4 網(wǎng)格適應(yīng)性測試的數(shù)據(jù)集和聚類結(jié)果Fig.4 Data set and clustering result of grid size test

2.3 含障礙物聚類的測試

以含障礙物聚類為例測試算法功能的可擴(kuò)展性，測試數(shù)據(jù)集和聚類結(jié)果如圖5所示，它包含兩個(gè)障礙物，聚類算法需要區(qū)分出被障礙物分割開的聚類簇．本測試將含有障礙物的網(wǎng)格標(biāo)記為膨脹禁止區(qū)，為了防止禁止區(qū)的泄漏采用3 3×的十字形膨脹結(jié)構(gòu)元素．聚類結(jié)果表明，算法區(qū)分出左側(cè)被障礙物完全分割開的聚類簇．

圖5 含障礙物的測試數(shù)據(jù)集和聚類結(jié)果Fig.5 Data set and clustering result of obstacle test

2.4 效率測試

測試算法的效率，數(shù)據(jù)集由隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器生成：每個(gè)數(shù)據(jù)集含有 5個(gè)聚類簇和 10%的噪聲．測試計(jì)算機(jī)為神舟承運(yùn) M715D，算法 FBCLUS和DBSCAN[13]使用 JAVA 語言編寫，處理時(shí)間見表1．測試結(jié)果表明 FBCLUS的速度明顯高于DBSCAN．

3 結(jié) 語

筆者設(shè)計(jì)的基于濾波器的聚類算法 FBCLUS提出以頻率濾波器和幅度濾波器來消除噪聲并獲得感興趣區(qū)域ROI，設(shè)計(jì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子從ROI中提取聚類簇．理論分析和測試結(jié)果表明，F(xiàn)BCLUS算法能夠發(fā)現(xiàn)任意形狀的聚類；計(jì)算復(fù)雜度與數(shù)據(jù)量呈線性關(guān)系；能夠區(qū)分不同密度性質(zhì)的聚類簇；抗噪聲能力強(qiáng)；對網(wǎng)格大小有一定的適應(yīng)性．

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