高劍光

0 引言

在飛機外形設計與機械零件加工中，經常遇到許多有2次曲線弧和2次曲面片表示的形狀,如圓弧、橢圓弧、圓柱面、圓錐面、橢球面等，這些曲線曲面在設計中需要有明確的表現形式，在制造上又要求有較高的精確度。對于這種曲面的加工，一般是用激光坐標測量儀測出每一斷面的一組離散、有序點列，然后對離散點進行曲線擬合。擬合方法是直接用3次樣條或參數樣條或雙圓弧擬合等方法。雙曲圓弧擬合算法是常用的一種算法。

1 雙圓弧擬合算法

按平面曲線給定一列有序型值點（節(jié)點），每相鄰節(jié)點之間有兩條相切圓弧構成，兩圓弧通過一個節(jié)點，且節(jié)點處的切線斜率與曲線在節(jié)點處的斜率相等，叫做曲線的雙圓弧擬合如圖1所示。雙圓弧擬合有6個參數需要確定：兩節(jié)點Pi，Pi+1；兩節(jié)點Pi，Pi+1處的切線斜率；雙圓弧的切點T；雙圓弧切點處的公切線斜率。前4個參數可由曲線的參數方程按給定參數值求得。雙圓弧擬合方法主要根據后兩個參數的求法不同而不同，但不難證明兩圓弧相切點位置結論：相切點位置有無窮多個；相切點的軌跡是一個圓弧——軌跡弧。

為確保雙圓弧的正確擬合，要求：

（1）兩擬合圓弧應滿足保凸要求，即兩相鄰節(jié)點Pi，Pi+1處切線PiM，Pi+1M需有實交點（沿某切線方向前進時，與另一切線的反向延長線的交點，反之為虛交點）；

（2）擬合的圓弧段需要采用劣弧，即兩節(jié)點連線PiPi+1與兩切線PiM，Pi+1M構成的三角形中2/πβ＜+a（如圖1所示）設節(jié)點A和B為在第i+1個區(qū)間[Pi，Pi+1] 上的相鄰節(jié)點，有向直線gA和gB為擬合曲線jΓ在A和B上的有向切線。設C是直線gA和gB的交點，a和β分別是gA和gB與橫軸的夾角，逆時針方向為正；當aβ＜0（保凸）時，雙圓弧同向，為 C形雙圓弧。在局部坐標系下，雙圓弧圓心和半徑可以統(tǒng)一地給出。左圓半徑

圖1 雙圓弧曲線

圓心坐標

右圓半徑

圓心坐標

共切點的坐標

其中，αβω?=；θ是左圓弧的圓心角，ω-θ是右圓弧的圓心角；逆時針方向為正；正圓對應正圓心角，負圓對應負圓心角，πθπ＜＜?，L是AB的長度。對于該區(qū)間，當切線gA和gB確定之后，選取不同的θ（即選取不同的公切點）決定了雙圓弧的參數。這里選取θ=-a，亦即選取三角形的內心作為公切點。

關于雙圓弧擬合，目前國內外常用的方法有兩種。內向法和交點法。內向法計算簡便，但可能法向誤差不能保證符合要求。交點法的法向誤差較小，但交點計算復雜，需解四次非線性方程，計算量之大可想而知。實際自由曲線擬合繪制過程中，也常采用3次B樣條基函數進行擬合運算，為了使得曲線比用折線來代替要繪制的曲線看上去更光滑，應盡可能多地進行曲線上位置點的擬合計算，這樣，繪制一條B樣條曲線就需要反復多次計算各坐標分量的3次多項式，其計算量也相當大，繪制擬合速度極慢，難以滿足實際需要。

2 二次B樣條曲線擬合算法

本文提出了一種簡單的2次B樣條曲線擬合算法，即用兩條2次曲線近似一條3次曲線，以期達到計算量小，光滑度也達到要求，提高 B樣條曲線的繪制速度，適應各應用領域的快速繪制要求。

2.1 算法及其實現過程

通常情況我們是將4點擬合成一條三次B樣條曲線，由于3次曲線有拐點，而2次曲線沒有。所以對于4點我們不可能擬合成一條2次曲線，而是用2條2次曲線拼接，中間出現一拐點，來近似1條3次曲線。

算法實現過程如下：

2次B樣條曲線段參數方程表示為

顯然曲線段從A點出發(fā)到C點中止，在A點曲線與直線B-A相切，在C點與C-B相切。（如圖2所示）

圖2 A、B、C三點控制的曲線段

曲線段由A,B,C3點控制，將它簡記為

給定平面上4個點P1,P2,P3,P4擬合成2條相連的從P2到P3的2次樣條曲線，方法如下：

在此縮放是避免兩條插值曲線段打圈。（如圖3所示）

圖3 兩條插值曲線段打圈情形

乘系數0.293不是一定要這個值，其實可以用其他參數，不超過0.5都合適。取這個值是保證正方形角上4點恰好可以擬合成一個圓。

把T1作為目標曲線在P2點處的一階導矢，T2作為目標曲線在點P3處的一階導矢：（如圖4所示）

假設組成目標曲線的兩條B樣條曲線段為

取

通過求導易知在連接點導數都是D2-D1，故兩曲線段C在D1和D2的中點(D1+D2)/2處相連且一階導數連續(xù)。

2.2 算法運用實例

給定平面上的一列點P1-P2,……,Pn擬合出一條依次經過這些點的二次B樣條曲線。將點列前后各延拓一點，成為P0,P1,P2……,Pn,Pn+1，延拓辦法為：將P3做線段P1P2中垂線的鏡像，鏡像點作為P0，將點Pn-2做線段Pn-1Pn中垂線的鏡像，鏡像點作為Pn+1。依次將點列P0,P1,P2……,Pn,Pn+1相鄰4點按上面的算法擬合成兩條B樣條曲線段，所有這些曲線段首尾相連，且在結點處的一階導數連續(xù)，它們構成所需要的目標曲線。（如圖4所示）做出了給定平面上4個點P1,P2,P3,P4，擬合出依次經過這些點的二次B樣條曲線；

圖4 過4點擬合的二次B樣條曲線

（如圖5所示）做出了經過平面上給定的5個點，擬合出2次B樣條曲線。同樣的方法，可以做出經過給定的 n個點，擬合出的B樣條曲線。

圖5 過5點擬合的二次B樣條曲線

3 算法的比較

用雙圓弧擬合離散型值點生成自由曲線，是近年來非圓曲線的零件自動編程與加工中常用的一種數學模型。雙圓弧擬合方法以其計算相對簡單，總體上一階光滑，易于局部處理等特點，已得到了較為廣泛的應用。但其計算量大。本文討論的簡單的2次B樣條曲線擬合算法。采用4點來確定2條2次曲線，用2條2次曲線近似1條3次曲線的方法。既彌補了3次曲線以及雙圓弧擬合中計算量大的缺陷，又彌補了2次曲線的不足，具有以下優(yōu)點：

1、計算量小，快速性。因為擬合采用二次曲線擬合算法，擬合速度較快，而且避免了解大量的方程組，提高了運算速度。

2、光滑性。由于B樣條曲線是連續(xù)的，且它不通過任何一個控制點（型值點），比Bezier曲線更光滑。

3、局部性。B樣條曲線具有非整體性，即改變某一個控制點僅影響其附近的一段曲線，更有效地解決了4個以上控制點的擬合問題。

4 結語

本文針對雙圓弧擬合算法繪制一條 B樣條曲線需要反復多次計算各坐標分量的3次多項式，計算量大，繪制擬合速度極慢，難以滿足實際需要等情況，提出了一種簡單的2次B樣條曲線擬合算法——采用4點來確定2條2次曲線，用2條2次曲線近似1條3次曲線，既彌補了3次曲線以及雙圓弧擬合中計算量大的缺陷，又彌補了2次曲線的不足，更有效地解決了4個以上控制點的擬合問題。

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