梅婷，李建勛

0 引言

β系數(shù)是度量證券系統(tǒng)風險的一個重要指標,在經(jīng)典的金融分析中，CAMP中的β系數(shù)是假設不變的。大量的實證研究證明，β系數(shù)穩(wěn)定的假設在很多金融股市是無效的，如Australia[1]， UK[2]。Brooks[1]，Torben G.Andersen[3]等人的研究均支持β值不穩(wěn)定的觀點。隨著研究的深入，β的時變性得到廣泛的承認。同樣國內(nèi)的文獻,如李云翼[4]均表明了β的時變性；王春峰、張亞楠、房振明和李曄[5]，吳武清、陳敏和劉偉[6]等支持β的時變性，并對時變CAMP下的理論模型進行建模研究。從直觀上判斷，宏觀經(jīng)濟因素、行業(yè)特征、企業(yè)自身的因素都會影響β值的變化，換而言之，經(jīng)濟增長率、通貨膨脹率、利率水平、特定行業(yè)的景氣程度、企業(yè)自身的會計變量等因素均會通過不同的渠道對β構(gòu)成影響。因此在對β系數(shù)的研究中，時變性是必須加以考慮到重要因素，它不但有利于投資者進行動態(tài)組合投資，還有利于投資者構(gòu)建有效的套期保值策略。

本文對時變的β系數(shù)進行研究，通過市場模型描述單個資產(chǎn)收益率和市場組合收益率的關系，假定β系數(shù)服從隨機行走過程，因為不能對所有的資產(chǎn)收益率成分進行完整的建模，于是給出一個隨機模型。在此模型中需要對參數(shù)β進行估計，隨機變量是高斯分布的，并且方差未知。在估計參數(shù)β前，通過極大似然法估計那些未知的參數(shù)。由于所有提出的參數(shù)都是隨機并且高斯的，本文將Kalman filter運用到參數(shù)的估計算法中。

1 數(shù)學模型

1.1 理論的市場模型

資產(chǎn)收益率和市場組合收益率間的關系可以通過下面標準的市場模型表示：

式中：

Rit為證券i的收益率；

RMt為市場組合的收益率；

ait為證券i的收益率中與組合收益率無關的隨機變量；

εit為服從均值為0的高斯分布隨機項。方程(1)表明在時間t期間，資產(chǎn)i收益率Rit與同期間的市場組合收益率RMt相關，這兩個變量間呈線性關系。系數(shù)β是相當重要的一個參數(shù)，它表明單個資產(chǎn)收益率怎樣隨著市場收益率變化，并且可以用來測量資產(chǎn)的系統(tǒng)風險或者市場風險。

1.2 時變參數(shù)的狀態(tài)空間模型（隨機游走模型）

狀態(tài)空間表示一個系統(tǒng)是現(xiàn)代控制論的基本技術(shù)，由兩個方程構(gòu)成:一個是狀態(tài)方程，另一個是觀測方程。其中，狀態(tài)方程表示從目前狀態(tài)向下一個時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)換的方法，即相互間的轉(zhuǎn)換關系；而測量方程表示實際觀測到的自變量和因變量之間的相互關系。

文獻中有很多具體的模型來描述系統(tǒng)風險，但是總結(jié)起來可以用兩個簡單方程的模型來表示。大量的研究認為資產(chǎn)定價服隨機游走模型。文獻[11] ,[12]用大量的篇幅證明β服從隨機游走模型。隨機游走（RW）模型表達如下。

εit、μit和ηit均是服從高斯分布的。我們根據(jù)文獻[2]所使用的風險系數(shù)的卡爾曼濾波方法，在隨機游走模型的回歸變量前加上未知的常量F1、F2，于是本文的模型如下所示：

初始條件是：

其中，ф、Q、Q2均是未知的。下面會給出模型的狀態(tài)空間形式。

1.3 系統(tǒng)方程

由(5)、(6)、(7)我們很容易想到狀態(tài)空間形式，將a和β作為狀態(tài)變量，組成一個2×1維的向量，即下面的(11)式所示，于是我們?nèi)菀椎玫綘顟B(tài)方程和觀測方程，分別如下所示。

觀測方程：

上面的方程代表時變系數(shù)的市場模型。C(t)是T×2維的矩陣，每行代表確定點時間的觀測值，我們認為它已知。

狀態(tài)向量x(t)是2×1維的，包含t時刻的a和β系數(shù)：

ε(t)是資產(chǎn)收益y(t)沒有建模的一部分，它的方差未知，假設其值有限并且

我們知道，狀態(tài)方程的一般形式是：

ξt的方差矩陣F是有限對角形式的，對角處因子的值未知。

我們所采用的隨機游走（RW）模型中，ψ是一個對角矩陣，

狀態(tài)噪聲的矩陣方差形式：

于是，我們的模型中有 5個參數(shù)要估計：ф和矩陣F對角處的因子，也即是狀態(tài)方程隨機干擾項的方差；我們要估計的未知參數(shù)向量

2 算法

2.1 模型的最大似然函數(shù)

需要估計誤差項的位置方差值，參數(shù)估計所需要的數(shù)據(jù)包括單個證券收益率和市場組合收益率。對方程 (9)進行變換，即：

將v0(t)的方差記為ψv0(t),則：

對(20)式兩邊同取對數(shù)，那么最小化的似然函數(shù)為：

2.2 卡爾曼濾波及其似然函數(shù)

處理標準狀態(tài)空模型的基本工具是Kalman filter遞歸算法，它通過t-1時刻狀態(tài)的最優(yōu)估計和t時刻的輸出給出了t時刻狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。(其原理和功能是:首先進行模式狀態(tài)的預報，接著引入觀測數(shù)據(jù)，然后根據(jù)觀測數(shù)據(jù)對模式狀態(tài)進行重新分析(即更新)；隨著模式狀態(tài)預報的持續(xù)進行和新觀測數(shù)據(jù)的陸續(xù)輸入，這個過程可以不斷向前推進。本文模型的卡爾曼濾波的更新迭代過程如下：

(1).協(xié)方差矩陣的預測：

(2).濾波增益

(3).估計協(xié)方差陣（更新）

(4).狀態(tài)向量的預測

(5).狀態(tài)向量的估計（更新）

參數(shù)β值每個時間t的最優(yōu)估計可以通過提取向量的第二部分得到，即令新息其協(xié)方差矩陣則卡爾曼濾波的正態(tài)對數(shù)似然函數(shù)為

參數(shù)估計的過程：

1)先利用卡爾曼濾波得到t時刻的新息v(t)與其協(xié)方差陣M(t)，從而獲得了似然函數(shù)；

2)將似然函數(shù)最大化，得到t時刻的估計值；

3)然后將估計的值代回濾波方程和更新方程，進行濾波和預測，獲得t+1時刻的新息與其協(xié)方差矩陣；

4)繼續(xù)循環(huán)t時刻的過程，即循環(huán)1)、2)、3)的過程，并且依此遞推下去。

所以，我們的參數(shù)估計過程是卡爾曼濾波與極大似然函數(shù)融合的過程，是不可分割的。

應用Kalman filter來估計時變參數(shù)的優(yōu)點在于:首先,計算是遞歸的,當前的估計是基于過去所有的歷史觀測,不需要比回歸更多的觀測或者存儲；其次是收斂快?，F(xiàn)在已經(jīng)成為處理標準狀態(tài)空模型的基本工具，廣泛被應用于各種領域。近年來，一些金融計量學家應用Kalman filter及其擴展來探索金融時間序列的動態(tài)特征。

3 仿真

3.1 樣本數(shù)據(jù)

我們選擇 A股指數(shù)作為市場指數(shù)。由于實踐中很難找到一個接近市場組合的市場指數(shù)，國外金融服務機構(gòu)通常采用標準普爾500指數(shù)、紐約證券交易所指數(shù)，ilshire5000指數(shù)或 Russen3000指數(shù)等，而不同的市場指數(shù)均導致不同的β估計值。鑒于A股指數(shù)發(fā)布至今己為計算市場收益率提供了大量基本數(shù)據(jù)，且實踐表明 A股指數(shù)能夠較為準確地反映整體行情的變化和股票市場的整體發(fā)展趨勢，比較符合CAPM所描述的市場組合。因此，本研究選擇A股指數(shù)這一價值加權(quán)指數(shù)，符合CAPM市場組合構(gòu)造的要求。

本文選取 Wind行業(yè)指數(shù)中一級行業(yè)指數(shù)作為數(shù)據(jù)樣本，Wind行業(yè)指數(shù)成分股僅包含A股股票，包括能源指數(shù)、材料指數(shù)、金屬指數(shù)、工業(yè)指數(shù)、可選消費指數(shù)、日常消費指數(shù)、醫(yī)療保健指數(shù)、信息技術(shù)指數(shù)、電信服務指數(shù)和公用事業(yè)指數(shù)10個行業(yè)的指數(shù)。選取滬市2001年8月——2006年10月作為研究的時間段。對于以上數(shù)據(jù)的選取，我們解釋如下:盡管股票市場始于 1990年,但上市之初一方面股票數(shù)量較少，不滿足統(tǒng)計分析的需要；另一方面股市法規(guī)不健全、市場體制不完善，大多數(shù)投資者不具條理性投資者的特點，因而分析和檢驗所選用的歷史數(shù)據(jù)不能從創(chuàng)市之初算起。我們截取2001年8月到2006年10月的交易數(shù)據(jù)作為研究的對象，其間我國股市運作已基本正常，約束法規(guī)已較為健全，交易和投資活動日趨理性，投資者的心態(tài)也較為平穩(wěn)。

3.2 收益率的計算與初始值

對于模型的待估參數(shù)的初始值，我們是通過滾動最小二乘法來獲得的(rolling OLS),由于滾動回歸比真實的模型噪聲大很多，對于大多數(shù)的系數(shù)的值為按照由OLS方法所得系數(shù)的一半來計算。

3.3 預測方差

我們采用兩個指標對模型的優(yōu)劣進行評價，兩個指標是針對模型的預測精確度所設計的：平均平方預測誤差 MSE和平均絕對預測誤差MAE，計算公式分別如下：

3.4 仿真結(jié)果比較與分析

一般來說，β值描述了證券收益率對市場投資組合收益率的標準差的邊際貢獻。通過對 β值大于、小于或等于 1的描述我們可以看出該證券的收益率是趨向于放大、縮小或等于市場投資組合整體的收益率。β系數(shù)描述了股票的收益和風險狀況。我們希望積極型或者說高杠桿率的公司的風險系數(shù)高些，而那些一般市場行為對公司行為影響不大或沒有影響的公司風險系數(shù)低些。

我們是利用MATLABR2007a來進行估計和仿真的。當F1、F2均未知時，模型參數(shù)的估計結(jié)果如下面表1所示；當F1=1，F(xiàn)2未知時，模型參數(shù)估計的結(jié)果如表2所示。

表1 模型參數(shù)估計結(jié)果、MAE和MSE

下面為表1的續(xù)表：

行業(yè) F1 F2 MAE MSE能源 -0.17335 1 0.0105 2.3438e-04材料 0.19249 0.99986 0.0064 8.7215e-05工業(yè) 0.55003 0.99996 0.0071 1.0441e-04可選消費 0.18144 0.99997 0.0088 1.5078e-04日常消費 -1 0.99843 0.0109 2.2306e-04醫(yī)療保健 1.0166 0.95371 0.0122 2.8955e-04金融 0.09413 0.99927 0.0109 2.1938e-04信息技術(shù) -0.3445 0.99997 0.0140 3.6479e-04電信服務 0.05835 0.98949 0.0147 4.8780e-04公用事業(yè) -0.10273 1 0.0081 1.3747e-04

表2 F1=1時模型參數(shù)估計結(jié)果、MAE和MSE

表2的續(xù)表如下所示：

行業(yè) F2 MAE MSE能源 1.0211 0.0115 2.7237e-04材料 0.99792 0.0075 1.3595e-04工業(yè) 0.98344 0.0082 1.5025e-04可選消費 0.99576 0.0097 1.8032e-04日常消費 0.99455 0.0115 2.4411e-04醫(yī)療保健 0.99289 0.0120 2.7977e-04金融 0.99571 0.0112 2.3389e-04信息技術(shù) 0.51055 0.0214 7.9545e-04電信服務 0.99365 0.0148 4.8950e-04公用事業(yè) 1.0002 0.0090 1.6009e-04

比較表1與表2，我們發(fā)現(xiàn)表1中預測誤差明顯低于表2中的預測誤差，而兩表中F2的值均近似為1；也即對于隨機行走模型，風險系數(shù)β是適合的，而模型中關于α的方程引進未知參數(shù)F1是合理且更優(yōu)的。

β系數(shù)的仿真圖、行業(yè)擬合預測的序列與實際序列的比較圖均如下10幅圖所示。從β的仿真圖容易看出金融行業(yè)的風險系數(shù)較高，而且變化幅度也大，這是與行業(yè)特征相關；電信服務因為從2002年10月份才開始，所以前面一段為0；而波動幅度也是與市場需求和業(yè)務發(fā)展有關。能源行業(yè)、可選消費和公共事業(yè)幾個行業(yè)的需求彈性比較小，所以這幾個行業(yè)的風險系數(shù)變化得比較平緩?？v觀擬合曲線與序列的真實曲線，通過表1中平均平方預測誤差MSE和平均絕對預測誤差MAE值可看出，醫(yī)療保健、金融行業(yè)、信息技術(shù)行業(yè)和電信服務行業(yè)誤差比較大，因為我國近年來隨著經(jīng)濟的發(fā)展，電信、醫(yī)療保健、金融市場和信息技術(shù)都發(fā)展得比較快，行情不穩(wěn)定，由此可以看出我們所選的模型方法是比較符合現(xiàn)實的。10幅仿真圖分別如下所示：

圖1 能源行業(yè)風險系數(shù)、擬合預測序列與實際序列圖

圖2 材料行業(yè)風險系數(shù)、擬合預測序列與實際序列圖

圖3 工業(yè)風險系數(shù)、擬合預測序列與實際序列圖

圖4 可選消費行業(yè)風險系數(shù)、擬合預測序列與實際序列圖

圖5 日常消費行業(yè)風險系數(shù)、擬合預測序列與實際序列圖

圖6 醫(yī)療保健行業(yè)風險系數(shù)、擬合預測序列與實際序列圖

圖7 金融行業(yè)風險系數(shù)、擬合預測序列與實際序列圖

圖8 IT行業(yè)風險系數(shù)、擬合預測序列與實際序列圖

圖9 電信服務風險系數(shù)、擬合預測序列與實際序列圖

圖10 公用事業(yè)風險系數(shù)、擬合預測序列與實際序列圖

由以上分析可知，上海行業(yè)股票組合的系統(tǒng)風險系數(shù)β是不穩(wěn)定的，存在時變性。至于β的行為特征，上海行業(yè)股票組合系統(tǒng)風險系數(shù)β的時變行為用隨機游走模型來描述是恰當?shù)摹＿@一結(jié)論同時表明，對上海當前的股票市場，不能采用恒定的β系數(shù)進行模擬；若知β系數(shù)的時變性行為特征，就可以對條件β系數(shù)進行預測，從而可以利用CAPM進行投資組合和業(yè)績評價。

4 結(jié)論

資產(chǎn)的系統(tǒng)風險由于一些微觀因素和宏觀因素，會隨時間而變化。本文旨在預測風險系數(shù)，我們對滬市10個行業(yè)的β系數(shù)的時變行為采用隨機游走（RW）模型，在隨機游走模型的回歸變量前引進了未知參數(shù)，仿真預測的結(jié)果表明，引進未知系數(shù)后的模型，其絕對預測誤差MAE和均方預測誤差MSE都比引進未知系數(shù)前的模型更精確，改后的模型更適合描述滬市行業(yè)風險系數(shù)的時變行為。仿真過程是通過卡爾曼濾波的遞推過程獲取新息及其協(xié)方差陣，得到似然函數(shù)，從而推進參數(shù)估計。將估計的結(jié)果返回卡爾曼濾波更新過程，易得觀測變量的預測值。β的研究很重要，本文是采用卡爾曼濾波的方法來處理時變風險系數(shù)改進的模型；而計量經(jīng)濟學、時間序列技術(shù)的各種工具以及最新進展都會為β值的研究提供新的思路和新的視角，以基金為代表的機構(gòu)投資者必定會有越來越多地關注β的研究。

[1] Brooks R D, Faff R W, McKenzie M D.Time-varying beta risk of Australian industry portfolios: A comparision of modeling techniques[J] . Australian Journal of Management, 1998, 23(1):1-22．

[2] Black A,Fraser P. & Power D.UK unit trust performance 1980–1989: A passive time varying approach[J] ,Journal of Banking and Finance, 1992,16 (10):15-33.

[3] Torben G Andersen, Tim Bollerslev,Francis x Diebold,Jin(Ginger)Wu.A framework for exploring the macroeconomic determinants of system risk [D] ．Working Paper, Northwestern University,2005

[4] 李云翼.股指期貨背景下對 β系數(shù)的重新審視[J] .科技信息,2008,(25).

[5] 王春峰,張亞楠,房振明,李曄.中國股市已實現(xiàn) β系數(shù)的特征分析與建模研究[J] .北京理工大學學報(社會科學版),2008, 10(1).

[6] 吳武清,陳敏,劉偉.中國股市時變貝塔的統(tǒng)計特征及其在股指期貨中的應用[J] .系統(tǒng)工程理論與實踐, 2008,10:1-2.