林榮川,郭隱彪,蘇 志

(1.集美大學(xué)機械工程學(xué)院,福建 廈門 361012;2.廈門大學(xué)機電學(xué)院,福建 廈門 361002;3.福建廈門工程機械有限公司,福建 廈門 361012)

液壓缸是機械設(shè)備中常用的執(zhí)行元件,是工程機械設(shè)備及運輸起重設(shè)備常用的執(zhí)行裝置.液壓缸可視為承受軸向壓縮的細長壓桿,當(dāng)軸向力達到或超過一定限度即臨界載荷時會發(fā)生失穩(wěn),導(dǎo)致災(zāi)難性后果.因此,確定許用臨界載荷,抗失穩(wěn)設(shè)計是液壓缸設(shè)計的必要內(nèi)容.國內(nèi)外有關(guān)學(xué)者對液壓缸穩(wěn)定性提出了很多有價值的分析方法.開灤(集團)有限責(zé)任公司章之燕[1]根據(jù)軸向力運移規(guī)律研究液壓支架的穩(wěn)定性,西安理工大學(xué)陳世其,王忠民[2,3]利用Hamilton原理,引入狀態(tài)變量,根據(jù)Floquet理論確定了液壓缸的不穩(wěn)定區(qū)域,大慶石油學(xué)院董世民[4]用撓度曲線方程,華北電力大學(xué)郭鐵橋[5]用能量法近似計算變截面液壓缸壓桿的臨界載荷,取得豐碩成果.液壓缸工況復(fù)雜多變,約束條件如果發(fā)生變化,則上述方法存在計算繁瑣或者誤差較大問題.如果把液壓缸各段視為細長壓桿,其變形量中的撓度和轉(zhuǎn)角,受力狀態(tài)中的彎矩和剪力都分別表示為1個狀態(tài)向量,可建立狀態(tài)向量微分方程,通過各單元傳遞矩陣的相乘,獲得階梯桿2端狀態(tài)向量的關(guān)系,只需根據(jù)邊界約束條件,即可求得液壓缸臨界載荷,具有一定的通用性.

圖1 液壓缸受力示意圖Fig.1 Force diagram of hydraulic cylinder

1 軸向受壓液壓缸穩(wěn)定問題的特征方程

圖1為液壓缸受力示意圖,活塞桿可視為整體壓桿.缸筒端蓋受到高壓液壓油作用的軸向力P,與鉸支座的軸向反力N構(gòu)成作用與反作用力關(guān)系,所以缸筒本身不受壓力作用,任意截面的彎矩為零.但液壓缸整體失穩(wěn)時,缸筒也存在轉(zhuǎn)角和撓度變形,考慮到缸筒的變形以及對活塞桿變形的約束,把液壓缸視為整體壓桿,采用階梯狀壓桿力學(xué)模型來校核其穩(wěn)定性.

根據(jù)軸向受壓階梯折算法[6],屈曲撓度可以表達為

式中:T為4×4傳遞函數(shù)矩陣.

根據(jù)矩陣傳遞法,可以寫成如下形式:

式中:tij為矩陣單元.根據(jù)文獻[7],在圖2中任一斷面x處的撓度y、轉(zhuǎn)角θ、彎距M及剪力Q滿足方程:

圖2 活塞桿受力狀態(tài)向量圖Fig.2 Vector diagram of piston rod

也滿足微分方程

令k2=P/EI,方程(2),(3)組成線性代數(shù)通解方程組為

式中:A,B,C,D為待定系數(shù),大小與約束條件有關(guān).

把受壓桿上端狀態(tài)向量表示為[yi,θi,Mi,Qi],代入式(4)有

由方程(3)～(5)和連續(xù)條件可以得到:

把方程(6)寫成矩陣形式為

根據(jù)邊界約束條件,把方程(7)中的相應(yīng)元素代入方程(1)可求得其中最小特征值就是臨界載荷.不同約束條件下液壓缸臨界載荷的特征方程如表1所示.

圖3 迭代法Fig.3 Diagram of iteration

表1 不同約束的液壓缸臨界載荷特征方程Tab.1 Characteristic equation of critical load with different constraints

引入穩(wěn)定性系數(shù)a=(kl1)2=Pl12/EI,特征方程可表示為通式:

通過牛頓迭代法可計算穩(wěn)定性系數(shù)a大小,迭代流程如圖3所示,其中a0為方程實根初值;n為最大迭代次數(shù),目的為防止迭代公式發(fā)散;ε為收斂精度.則液壓缸臨界載荷可表示為

式中:l為液壓缸長度.

不同約束方式的臨界荷載表達式見表2所示.

表2 液壓缸臨界載荷表達式Tab.2 Expression of critical load

2 液壓缸MATLAB優(yōu)化計算

工程上選用液壓缸時,一般是根據(jù)載荷大小和活動行程從手冊中選用標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格或者定制非標(biāo)液壓缸,實質(zhì)就是在有設(shè)計變量的尺寸限制的前提下,求當(dāng)軸向力P一定時,活塞桿截面和長度分別取何值時液壓缸的體積或質(zhì)量最小.該問題屬于有約束最優(yōu)化問題.對于液壓缸,在考慮軸向穩(wěn)定性和強度要求的條件下,使用MATLAB優(yōu)化工具箱可對液壓缸優(yōu)化模型求解.設(shè)液壓缸長度為l,活塞桿直徑為d,活塞桿長度為l1,筒外徑為D1,內(nèi)徑為D,壁厚δ=(D1-D)/2,缸筒長度為l2,Pcr為臨界載荷.以液壓缸截面尺寸參數(shù)各桿段長度作為設(shè)計變量;以其體積V作為目標(biāo)函數(shù),以液壓缸失穩(wěn)及尺寸限制為約束條件,在軸向力為Pcr情況下建立優(yōu)化模型如下:

約束條件:包括強度、穩(wěn)定性條件、結(jié)構(gòu)尺寸限制[8]等.

缸筒長度約束:s.t.g6(l2)=l2-30D≤0,s.t.g7(l2)=l2+l1-l≤0.

按照上述所建模型的約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù),先建立M文件,再調(diào)用MAT LAB優(yōu)化工具函數(shù)fmin con,可對有約束多變量非線性函數(shù)的最小值即最優(yōu)化問題進行求解.

3 試驗及分析

以1端固定1端自由的3個液壓缸為實驗對象,活塞桿直徑d=10 mm,伸出長度分別為150,200,250 mm,進行液壓缸穩(wěn)定性試驗,實測不同長度下的臨界載荷,并與Ritz計算值[9]、本文計算值比較,如表3所示.

取液壓缸長度為250 mm,臨界載荷為76 kN,用Ritz計算法和本文優(yōu)化計算的缸筒直徑和活塞桿直徑見表4.

表3 液壓缸臨界載荷Tab.3 Critical load of hydraulic clinder

表4 液壓缸主要參數(shù)計算結(jié)果Tab.4 Main parameters of hydraulic cylinder

工程上常用Ritz法計算臨界載荷或者校核液壓缸尺寸,臨界載荷比實際值小,設(shè)計尺寸通常比實際值略高,即屬于安全裕度偏大的計算,本文優(yōu)化計算后液壓缸主要參數(shù)比Ritz法略小約5%,臨界載荷比Ritz計算法略大約6%,和試驗測量數(shù)據(jù)比較接近,說明本文優(yōu)化計算能滿足工程需要.

4 結(jié)語

軸向受壓液壓缸穩(wěn)定性驗算是個復(fù)雜工程問題,實際尺寸比本文試驗?zāi)Ｐ痛?難以用實驗手段測出其臨界載荷,工程上大都根據(jù)經(jīng)驗公式選用液壓缸,出于安全考慮,通常安全裕度偏大.本文把液壓缸變形量和受力表示為狀態(tài)向量,建立狀態(tài)向量的微分方程,根據(jù)液壓缸不同約束條件,利用傳遞矩陣法可以方便推導(dǎo)液壓缸穩(wěn)定性普遍方程,該方法也適用于多級液壓缸臨界載荷計算.結(jié)合MATLAB優(yōu)化設(shè)計技術(shù),獲取在體積約束條件下液壓缸的合理尺寸,通過和Ritz法計算結(jié)果比對表明該方法可以作為受壓液壓缸的穩(wěn)定性問題的求解手段.隨著液壓缸使用時間的增多,液壓缸筒與活塞之間的間隙變大、活塞桿變形等影響因素增大,許可臨界載荷應(yīng)適當(dāng)減小.

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