蔡 梅

(湖北省十堰市鄖陽中學(xué),湖北十堰 442000)

在教學(xué)運(yùn)動的合成和分解時(shí),都會講到關(guān)于一只小船渡河的問題.后又引申到兩只小船渡河時(shí)的相遇問題,學(xué)生感到很棘手.下面就此問題結(jié)合例題作一探討.

例.甲乙兩船在同一條河流中同時(shí)開始渡河,河寬為H,河水流速為 u,劃船速度均為 v,出發(fā)時(shí)兩船相距甲乙船頭均與岸邊成 α=60°角,且乙船恰好能垂直到達(dá)對岸的A點(diǎn),如圖1,則兩船能否相遇?在哪兒相遇?

圖1

解析:甲乙兩船相遇的條件是在沿河岸方向甲乙兩船位移之差等于.設(shè)經(jīng)時(shí)間 t相遇,對甲船有又乙船恰好能垂直到達(dá)對岸,即vcos60°=u,解得.甲船沿垂直河岸方向上的位移為 h=vtsin60°=H,故甲乙兩船在A點(diǎn)相遇.

下面不妨再討論幾個問題:

1.若兩船在靜水中渡河,經(jīng)計(jì)算易得出相遇點(diǎn)在對岸O點(diǎn).即甲乙兩船在對岸O點(diǎn)相遇.

2.若河水流速 u變大,使乙船到對岸 B點(diǎn),則乙船渡河時(shí)間乙船在沿河岸方向的位移為 s乙=(u-vcos60°)t1.在 t1時(shí)間內(nèi),甲船沿垂直河岸方向上的位移 h'=vt1sin60°=H,即甲船到了對岸.甲船在沿河岸方向的位移 s甲=(u+vcos60°)t1,解得即甲船也到了對岸的B點(diǎn).故甲乙兩船在B點(diǎn)相遇.

綜上所述,O、A、B三點(diǎn)均在對岸(如圖 1).O點(diǎn)為兩船在靜水中渡河的相遇點(diǎn).A點(diǎn)為水速u=vcosα的流水中渡河的相遇點(diǎn).B點(diǎn)為水速u＞vcosα的流水中渡河的相遇點(diǎn).可見,河水流速越大,相遇點(diǎn)越向河的下游移動.

3.在上題中,若甲乙船頭均與岸邊成 β=45°角,則兩船能否相遇?又在哪兒相遇?

解析:分兩種情況分析,如圖 2.

(1)若船在靜水中渡河,兩船必能相遇.

(2)若乙船到對岸C點(diǎn),假設(shè)經(jīng)時(shí)間 t2兩船相遇,由即(u+vcos45°)t2-(u-vcos45°)t2=解得兩船相遇點(diǎn)b距河岸h2=vt2sin45°則h1=h2.

由以上計(jì)算可知,a、b兩點(diǎn)在平行于河岸方向的一條直線上(如圖2),河水流速越大,相遇點(diǎn)越向河的下游移動.

4.若河水流速為 u,出發(fā)時(shí)兩船相距 L.甲劃船速度為v1,船頭與岸邊成α角;乙劃船速度為 v2,船頭與岸邊成β角(如圖3).則兩船能否相遇?在哪兒相遇?

圖2

圖3

解析:分兩種情況分析.

(1)若兩船在靜水中能相遇,則(v1cosα+v2cosβ)t=L,此時(shí)兩船相遇點(diǎn) d距河岸h=v2tsinβ=v1tsinα.

(2)若兩船在流速為u的河水中渡河,相遇時(shí)(v1cosα+u)t'-(u-v2cosβ)t'=L,可見 t=t',相遇點(diǎn) e距河岸 h'=v2t'sinβ=v1t'sinα.故 h=h',即相遇點(diǎn) d、e在平行于河岸方向的一條直線上(如圖3),河水流速越大,相遇點(diǎn)越向河的下游移動.

綜合上述幾種情況,不難發(fā)現(xiàn)兩船渡河時(shí)的相遇問題是有規(guī)律可循的:在靜水中渡河兩船若能相遇,那么在流水中渡河兩船一定能相遇,且兩種情況的相遇點(diǎn)所在的直線平行于河岸,河水流速越大,相遇點(diǎn)越向河的下游移動.