倪紅飛

(江蘇省太倉市教研室,江蘇太倉 215400)

1 問題的提出

例1.做勻速直線運(yùn)動的小車上水平放置一密閉的裝水的瓶子,瓶內(nèi)有一軟木塞,如圖1所示,當(dāng)小車突然向右加速時(shí),軟木塞相對于瓶子怎樣運(yùn)動?

這個(gè)問題已有多次討論,常見的方法是根據(jù)牛頓運(yùn)動定律求解,分析如下:

當(dāng)小車突然向右加速時(shí),瓶子中的水由于向右加速,在垂直于加速度方向的豎直平面的水層之間的壓力發(fā)生了變化,而且左側(cè)的水面間的擠壓力較大,右側(cè)水面間的擠壓力較小,所以在軟木塞的左右兩側(cè)產(chǎn)生了一個(gè)壓力差.

圖1

圖2

對水平方向一段水柱進(jìn)行分析(如圖2),水柱向右加速時(shí),左右兩側(cè)產(chǎn)生了一個(gè)壓力差提供了水柱向右加速需要的外力,即

水柱左右兩側(cè)一個(gè)壓強(qiáng)差為

此時(shí),軟木塞左右兩側(cè)一個(gè)壓力差為

對軟木塞應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律:Fx=m′a′,即 ρ液V排a=ρ木V排a′,因?yàn)?ρ液＞ρ木,所以,a′＞a,軟木塞相對于瓶子向右加速.

引入慣性力場解決這個(gè)問題,則更加思路簡潔,而且分析過程更加體現(xiàn)理性思維的美感.

當(dāng)小車突然向右加速時(shí),以加速系統(tǒng)為參考系,系統(tǒng)水平方向存在著慣性力場,慣性力場a慣的方向與加速度方向相反,大小與加速度相等.

此時(shí),水平方向受到兩個(gè)力的作用,向左的慣性力F慣=ρ木Va和向右的浮力F浮x=ρ液Va(F浮x的方向與加速度的方向一致,大小為同體積水的慣性力的大小).由于液體的密度大于軟木塞的密度,所以在水平方向軟木塞受到的向右浮力F浮x=ρ液Va大于向左的慣性力F慣=ρ木Va,軟木塞相對于瓶子將向右做加速運(yùn)動.

2 加速系統(tǒng)中浮力問題的實(shí)例分析

2.1 豎直加速系統(tǒng)中的浮力問題

例2.如圖3,一個(gè)盛水容器底部固定著一根彈簧,彈簧的上端連接著一質(zhì)量為 m的木塊,開始時(shí),彈簧處于伸長狀態(tài),當(dāng)容器向上加速時(shí),彈簧的長度將如何變化?

對這個(gè)題目,如果直接用牛頓運(yùn)動定律分析,求解煩瑣且不得要領(lǐng).引入慣性力場,說理特別簡明.

圖3

圖4

如圖4,系統(tǒng)靜止時(shí),根據(jù)木塊平衡有

彈簧開始時(shí)的伸長為

系統(tǒng)加速向上時(shí),以加速系統(tǒng)為參考系,則物體視重增加的同時(shí),浮力也等比例增加.所以,彈簧的伸長變?yōu)?/p>

所以,彈簧的伸長增大.

圖5

圖6

2.2 水平加速系統(tǒng)中的浮力問題

例3.如圖5所示,一容器中裝滿了水,在容器的底部和頂部分別用細(xì)線懸掛著木球B和金屬小球A,當(dāng)容器以加速度a向右做加速運(yùn)動時(shí).

(1)A、B兩球分別向哪邊擺動?

(2)細(xì)線與豎直方向的夾角為多少?

(3)連接A、B兩球的細(xì)線受到的拉力分別為多少?

當(dāng)容器向右加速時(shí),以向右加速的系統(tǒng)為參照系,則在這個(gè)系統(tǒng)中同時(shí)存在向下的重力場g和水平向左的慣性力場a慣,合力場的方向 a合斜向左下方(如圖 6),大小為a合=(如果采用類比的思想,這里的合力場a合相當(dāng)于等效重力場).

此時(shí),在垂直a合方向的同一平面內(nèi)液體產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等,而沿a合方向壓強(qiáng)不斷增大Δp=ρ液a合Δh.因此,浸在液體中的物體受到的周圍液體作用的壓力差——即F浮方向與a合方向相反,大小為 F浮=ρ液a合V.公式中的 a合為重力場強(qiáng)度g、慣性力場強(qiáng)度a慣的矢量和.

由于木球B受到的浮力大于其重力與慣性力的合力,木球仍然“上浮”,故向前偏.鐵球 A受到的浮力小于其重力與慣性力的合力,鐵球仍然“下沉”,故向后偏.此時(shí),細(xì)線與豎直方向的夾角為.兩細(xì)線受到的拉力分別為

2.3 旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的浮力問題

圖7

例4.在航天飛船上,如圖7所示,有一長度為 l=20 cm的圓筒,繞著與筒的長度方向垂直的軸線OC以恒定的轉(zhuǎn)速n=100 r/min旋轉(zhuǎn).筒的近軸端離開軸線OC的距離為d=10 cm,筒內(nèi)裝有非常黏稠的、密度為 ρ=1.2 g/cm3的液體.有一質(zhì)量為 1 mg的密度為ρ′=1.5 g/cm3的粒子從圓筒的正中央釋放(釋放時(shí)粒子相對于圓靜止),試求:該粒子在到達(dá)筒端過程中克服液體的黏滯阻力所做的功.若粒子的密度為 ρ″=1.0 g/cm3,其他條件不變,則粒子在到達(dá)筒端過程中克服液體的黏滯阻力所做的功又為多少?

這是全國物理競賽的復(fù)賽題,原標(biāo)準(zhǔn)答案的解釋學(xué)生很不容易理解,引入慣性力場后,問題的理解變得非常清晰.

在旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中,液體中的各點(diǎn)的加速度都指向圓心,所以,粒子在運(yùn)動過程中每一位置受到的浮力都指向圓心,由于各處的向心加速度不同,運(yùn)動過程中受到的浮力也在不斷變化.

圖8

根據(jù)題意,粒子的密度 ρ′為大于液體的密度ρ,所以粒子在每一點(diǎn)受到指向圓心的浮力小于粒子向外的慣性力,粒子將向外運(yùn)動.又因?yàn)樵诹Ｗ酉蛲膺\(yùn)動到達(dá)筒端過程中,由于液體的黏滯阻力非常大,所以,可認(rèn)為粒子緩慢運(yùn)動過程中相對于在旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)近似平衡(如圖8所示),即

粒子受到水平向里的黏滯阻力為

圖9

由上式可知,f∝r,即與 r成線性關(guān)系,(如圖9)粒子由筒中央到筒右端的過程中克服黏滯阻力做的功為直線下的面積,即

解得

當(dāng)粒子 ρ″小于液體密度ρ時(shí),同理可得