俞麗萍

(浙江上虞春暉中學,浙江上虞 312353)

1 構建

作用特征:兩個物體在相互間力的作用下,繞著某一點做勻速圓周運動.

遵循規(guī)律:①兩個物體做勻速圓周運動的角速度ω相同、周期 T相同.

②兩個物體做勻速圓周運動的半徑與物體的質量成反比,若物體的質量分別為 m1、m2,物體的運動半徑分別為r1、r2,則 Fn=m1ω2r1=m2ω2r2,所以得到 m1r1=m2r2.

2 解讀

2.1 從“雙人”到“雙星”

圖1

例1.甲、乙兩名溜冰運動員,面對面拉著彈簧秤做圓周運動的溜冰表演,如圖 1所示.已知 M甲=80 kg,M乙=40 kg,兩人相距0.9 m,彈簧秤的示數為96 N,下列判斷正確的是

(A)兩人的線速相同,約為40 m/s.

(B)兩人的角速相同,約為2 rad/s.

(C)兩人運動半徑相同,都為0.45 m.

(D)兩人運動半徑不同,甲為0.3 m,乙為0.6 m.

解析:甲、乙兩運動員在相互間拉力的作用下做勻速圓周運動,拉力提供向心力,由 M甲r甲=M乙r乙,r甲+r乙=0.9 m,可求得 r甲=0.3 m,r乙=0.6 m.Fn=M甲ω2r甲=M乙ω2r乙,解得 ω=2 rad/s,故此題選(B)、(D).

例2.(2008年寧夏卷)天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星.雙星系統在銀河系中很普遍.利用雙星系統中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質量.已知某雙星系統中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動,周期均為 T,兩顆恒星之間的距離為 r,試推算這個雙星系統的總質量.(引力常量為G)

解析:設兩顆恒星的質量分別為 m1、m2,做圓周運動的半徑分別為 r1、r2,角速度分別為 ω1,ω2.根據題意有

根據萬有引力定律和牛頓定律,有

聯立以上各式解得

根據角速度與周期的關系知

聯立(3)、(5)、(6)式解得

點評:在“雙人”模型中,若將兩運動員看成是兩顆恒星,將兩運動員之間的拉力看成是萬有引力,那么,對于“雙星”模型的理解也就不難了.

2.2 從“雙星”到“雙電荷”

圖2

例3.如圖2所示,兩個正、負點電荷,在庫侖力作用下,它們以兩者連線上的某點為圓心,做勻速圓周運動,以下說法正確的是

(A)它們所需的向心力大小不相等.

(B)它們做勻速圓周運動的角速度相等.

(C)它們的線速度與其質量成反比.

(D)它們運動半徑與電量成反比.

解析:兩個正、負點電荷,以兩者連線上的某點為圓心做勻速圓周運動,庫侖力提供向心力,兩個點電荷構成雙星模型,故兩者向心力的大小相等,角速度相等,又由于m1r1=m2r2,所以 m1ω r1=m2ω r2,m1v1=m2v2, 故此題選(B)、(C).

2.3 從“雙星”到“三星”

例4.(2006年廣東卷)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統,通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的三星系統存在兩種基本的構成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為 R的圓軌道上運行;另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行.設每個星體的質量均為 m.

(1)試求第1種形式下,星體運動的線速度和周期.

(2)假設兩種形式星體的運動周期相同,第2種形式下星體之間的距離應為多少?

解析:第1種形式下,由萬有引力定律和牛頓第二定律,得

第2種形式下,由萬有引力定律和牛頓第二定律,得

2.4 從“三星”到“四星”

例5.宇宙中存在一些離其他恒星很遠的四顆星組成的四星系統,通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用,穩(wěn)定的四星系統存在兩種基本的構成形式:一種形式是四顆質量相等的星位于正方形的四個頂點上,沿外接于正方形的圓形軌道運行:另一種形式是四顆質量不等的星位于同一直線上,間距相等,均圍繞中點做圓周運動,已知第一種形式中每顆星質量均為m,正方形邊長為a,求它們的運行周期T.

解析:已知第一種形式中每顆星質量均為m,正方形邊長為a,每顆星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動,由萬有引力定律和向心力公式得

解得周期

點評:從數量而言,雙星、三星、四星星體數量逐漸增加,而且“三星”與“四星”都出現了兩種不同的穩(wěn)定形式,但無論是哪一種形式,對研究對象進行受力情況分析,找出向心力的來源是解決問題的關鍵所在.

2.5 從“雙星”到“暗星”

圖3

例6.(2006年天津卷)神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規(guī)律.天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時,發(fā)現了LMCX-3雙星系統,它由可見星A和不可見的暗星B構成.兩星視為質點,不考慮其他天體的影響,A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動,它們之間的距離保持不變,如圖3所示.引力常量為 G,由觀測能夠得到可見星 A的速率v和運行周期T.

(1)可見星 A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m′的星體(視為質點)對它的引力,設 A和B的質量分別為m1、m2,試求 m′(用 m1、m2表示);

(2)求暗星 B的質量m2與可見星 A的速率v、運行周期T和質量m1之間的關系式;

(3)恒星演化到末期,如果其質量大于太陽質量 ms的2倍,它將有可能成為黑洞.若可見星 A的速率v=2.7×105m/s,運行周期 T=4.7π×104s,質量 m1=6ms,試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎?

解析:(1)設 A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2,由題意知,A、B做勻速圓周運動的角速度相同,設其為ω.由牛頓運動定律,有

設 A、B之間的距離為r,又 r=r1+r2,由上述各式得

由萬有引力定律可得

將(1)式代入得

(2)由牛頓第二定律,有

又因為可見星 A的軌道半徑

由(2)～(4)式解得

(3)將 m1=6ms代入(5)式,得

代入數據得

m2=nms(n＞0),將其代入(6)式得

若使(7)式成立,則 n必大于2,即暗星B的質量 m2必大于2ms,由此得出結論:暗星B有可能是黑洞.

點評:利用雙星系統的運動規(guī)律可以來研究不可見的暗星B的等效質量m′,進而探討暗星B是否有可能是黑洞.

無論是雙星還是多星,處理“星體”模型的關鍵是通過對研究對象的受力分析明確向心力的來源,通過幾何關系確定圓周運動的半徑,再利用圓周運動的運動規(guī)律展開討論.