楊海燕

(煙臺工程職業(yè)技術(shù)學院,山東煙臺 264000)

人造地球衛(wèi)星“變軌”問題,是一個很“時尚”的問題,由于很“時尚”,所以這一問題常以不同形式出現(xiàn)在各類考題里.事實上,要清楚地解釋這一問題,僅用高中教材的知識是不夠的.鑒于很多人對這一問題感到興趣,筆者在此對這一問題作一詳細解釋.為了清楚地解釋這一問題,先對關于人造衛(wèi)星的知識作如下補充.

1 關于在圓軌道上運行的人造地球衛(wèi)星的動能、引力勢能、總能量的表達式

設地球和衛(wèi)星的質(zhì)量分別為M和m,衛(wèi)星的軌道半徑為 r,它受的萬有引力提供向心力,即

衛(wèi)星的動能為

由(1)、(2)式可得

由上式可見,衛(wèi)星圓軌道的半徑r越大,它的動能越小.

設衛(wèi)星在離地心的距離r為無限大時,它的引力勢能為零(這樣假設符合國際慣例),由這一假設可知,衛(wèi)星在任一軌道上運行時它的引力勢能均為負值.理論上可以證明,當衛(wèi)星的軌道半徑為r時,它的引力勢能為

衛(wèi)星的總能量為

由以上分析可見,r越大,Ek越小,Ep和E越大,所以發(fā)射軌道半徑r較大的衛(wèi)星,火箭需要做較多的功.

2 關于衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時總能量的表達式

當衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時,地心必定在橢圓軌道的一個焦點上,在圖1中,O點是地球的中心,若橢圓的半長軸為 a,則衛(wèi)星的總能量為

圖1

由此式可見,橢圓軌道的半長軸 a越大,衛(wèi)星的總能量也越大.軌道上的 A點離地心的距離最近,稱為軌道的近地點;軌道上的B點離地心的距離最大,稱為遠地點.由開普勒定律可知,衛(wèi)星在沿橢圓軌道運動的過程中,速率是變化著的,在近地點的速率最大;在遠地點的速率最小.由(6)式可見,衛(wèi)星的總能量越大,它沿橢圓軌道運動的半長軸就越大.若軌道的半長軸a為無限大,這意味著衛(wèi)星具有的總能量可使衛(wèi)星飛到無限遠處,即飛出了地球的引力范圍.設衛(wèi)星飛到無限遠處的動能為零,而它的引力勢能也為零,所以它的總能量為零,由于衛(wèi)星在運動過程中機械能是守恒的,所以它在近地點時的總能量也為零.設衛(wèi)星的近地點在地球表面附近,它到地心的距離近似地等于地球的半徑 R0,則它在近地點的引力勢能為設它在近地點的速度為v2,則它的動能為由它的總能量為零可得

在地球表面附近,物體受到的萬有引力等于重力,即

由(7)、(8)式可得

v2稱為第二宇宙速度.由以上分析可見,若衛(wèi)星在地球表面附近的速度大于第二宇宙速度,它將飛出地球引力場,進入其他天體的引力場中運行,而速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s的衛(wèi)星,均沿橢圓軌道繞地球運行,而繞地球做圓周運動的衛(wèi)星,其最大速率為7.9 km/s,圓軌道離地面越近的衛(wèi)星,速率越大,圓軌道半徑越大的衛(wèi)星,其速率越小.

3 什么是衛(wèi)星“變軌”?衛(wèi)星“變軌”的條件是什么?

我們以1998年上海市的高考題為例說明這一問題,該題如下:

圖2

發(fā)射地球同步衛(wèi)星時,先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1,然后經(jīng)點火,使其沿橢圓軌道2運行,最后點火,將衛(wèi)星送入同步軌道3.如圖2所示,軌道 1、2相切于Q點,軌道 2、3相切于 P點,則當衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運行時,以下說法正確的是

(A)衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率.

(B)衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度.

(C)衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點時的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點時的加速度.

(D)衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點時的加速度.

當衛(wèi)星在軌道1上運行到Q點時(Q點是軌道上的任意點),火箭“點火”,使衛(wèi)星在極短的時間內(nèi)速度增加到適當值,衛(wèi)星將離開軌道1,進入橢圓軌道2運行,這一過程稱為“變軌”,衛(wèi)星在 Q點加速后,為什么會離開軌道1進入軌道2呢?對這一問題可作如下解釋:衛(wèi)星在軌道1上運行時,它的速率和總能量是與軌道半徑 r相“適應”的,當它在 Q點被加速后,軌道 1不“適應”它的運行了,它必定進入能量更大的橢圓軌道2運行.由圖2可見,橢圓軌道2半長軸a大于軌道1的半徑,所以它在軌道2上的總能量大于在軌道1上的總能量,即E2＞E1.至此,或許有的人會問,衛(wèi)星在Q點被加速后,是否會直接進入軌道半徑 r更大(總能量也更大)的圓軌道上運行呢?這是絕對不可能的.這是因為衛(wèi)星在半徑 r更大的圓軌道上運行時,對速率的要求十分嚴格:其一,速度方向必須始終與軌道半徑相垂直.其二,速度大小必須與軌道半徑 r相“適應”,衛(wèi)星在圓軌道半徑r更大的軌道上運行時,它的速率反而比在軌道1上的速率更小一些.基于以上兩點,衛(wèi)星在 Q點被加速后,不可能直接進入圓形軌道運行,它只能直接進入橢圓軌道2運行.

當衛(wèi)星沿軌道 2運行到P點時,火箭“點火”,使衛(wèi)星的速度增加一適當值,它就可從P點開始沿圓軌道3運行.這里應特別注意的是,由于衛(wèi)星沿圓軌道運行時,它的速度和總能量必須與圓軌道半徑 r嚴格地對應,所以衛(wèi)星在P點“點火”后的速度必須與軌道半徑嚴格地對應,這一點也正是發(fā)射同步衛(wèi)星的關鍵之一.此外,要使衛(wèi)星從橢圓軌道2進入軌道3,火箭“點火”的位置也十分關鍵,只有衛(wèi)星運動到橢圓軌道的遠地點P時“點火”,才可能實現(xiàn)這樣的“變軌”,因為只有在P點,衛(wèi)星速度的方向才與軌道的半長軸垂直,“變軌”后才能與新的圓形軌道的半徑相垂直,這是衛(wèi)星做圓周運動的必要條件.如果在橢圓軌道2的其他位置“點火”,衛(wèi)星只能進入能量更大的橢圓軌道運行,不可能進入圓形軌道運行.由以上分析可見,衛(wèi)星在由橢圓軌道進入能量更大的圓形軌道的變軌,其技術(shù)關鍵有兩點:其一,火箭“點火”的位置必須在橢圓軌道的遠地點;其二,變軌后的速率必須與新的軌道半徑相適應.

衛(wèi)星返回地面的過程與發(fā)射過程相反,當衛(wèi)星在軌道3上運行到P點時(在軌道3上的任意點都可以),令制動火箭“點火”,使衛(wèi)星的速度適當?shù)販p小,衛(wèi)星將離開軌道3進入能量較小的橢圓軌道2運行(如果點火位置不在 P點,衛(wèi)星將沿其他的橢圓軌道運行),如果衛(wèi)星在軌道2上運動到 Q點時,制動火箭點火,使衛(wèi)星的速度適當?shù)販p小,衛(wèi)星就可離開軌道2進入能量更小的軌道1運行.這里應特別注意的是,要使衛(wèi)星從軌道2進入軌道1,制動火箭必須在 Q點“點火”,因為只有在 Q點(橢圓軌道2的近地點),衛(wèi)星的速度方向才與軌道的半長軸垂直,變軌后,衛(wèi)星的速度才可能與軌道圓的半徑垂直.如果制動火箭在橢圓軌道2的其他位置點火,衛(wèi)星軌道只能為能量更小(半長軸更短)的橢圓運動,不可能變?yōu)閳A形軌道.若在軌道 1上的 A點(圖3示)再次令制動火箭“點火”,使衛(wèi)星的速度適當?shù)販p小,衛(wèi)星就可沿著能量較小的橢圓軌道落到地面上的B點,若衛(wèi)星在A點時,制動火箭使它的速度減為零,衛(wèi)星將做自由落體運動,沿直線落到地面上的C點.

圖3

4 衛(wèi)星變軌遵循的規(guī)律

由以上分析可知,衛(wèi)星變軌遵循以下規(guī)律:

(1)若衛(wèi)星在橢圓軌道上運行,在遠地點(如圖2中的P點)使衛(wèi)星的速度適當增大,可使衛(wèi)星進入能量更大的圓形軌道運行;若在近地點(如圖 2中的 Q點)使其速度適當?shù)販p小,可使衛(wèi)星進入能量更小的圓形軌道運行.如果在橢圓軌道上的其他位置改變(增大或減小)衛(wèi)星的速度,只能使衛(wèi)星由一個橢圓軌道進入另一個能量不同的橢圓軌道.

(2)若衛(wèi)星在圓形軌道上運行,若在軌道上的任一點(如圖2中的Q點)使衛(wèi)星的速度增加,衛(wèi)星將進入能量更大的橢圓軌道運行;若在軌道上的任一點(如圖2中的 P點)使衛(wèi)星的速度減小,衛(wèi)星將進入能量更小的橢圓軌道上運行.也就是說,衛(wèi)星在變軌過程中,不可能由圓形軌道經(jīng)過一次變軌就進入另一個圓形軌道,要從一個圓形軌道進入另一個圓形軌道,最低限度也需經(jīng)過兩次變軌.實際上,在發(fā)射同步衛(wèi)星時,是經(jīng)過多次變軌才使衛(wèi)星進入預定軌道的.