趙旭東，王 禮，凌明祥，曾慶雙

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001，zxd7777777@126.com)

趙旭東，王 禮，凌明祥，曾慶雙

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001，zxd7777777@126.com)

研究了時(shí)變時(shí)滯滿足h1≤d(t)≤h2的It型隨機(jī)Markov切換系統(tǒng)的區(qū)間時(shí)滯相關(guān)指數(shù)穩(wěn)定性.通過(guò)構(gòu)造不同的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，并通過(guò)引入一些改進(jìn)的積分等式方法，以線性矩陣不等式的形式提出了具有較小保守性的區(qū)間時(shí)滯依賴(lài)指數(shù)穩(wěn)定性條件.最后通過(guò)數(shù)值算例說(shuō)明本文結(jié)論的有效性及具有較低的保守性.

時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性;Markov切換系統(tǒng);區(qū)間時(shí)變時(shí)滯;線性矩陣不等式

時(shí)滯馬爾可夫隨機(jī)切換系統(tǒng)

1 系統(tǒng)描述與準(zhǔn)備

在本文中:λmin(·)，λmax(·)表示相應(yīng)矩陣最小和最大特征值，E［·］代表數(shù)學(xué)期望.‖·‖表示向量的Euclidean范數(shù)和矩陣的譜范數(shù).M ＞0用來(lái)表示對(duì)稱(chēng)正定矩陣.當(dāng)r(t)=i∈S={ 1， 2，…，N}時(shí)，記Ai=A(r(t)).

系統(tǒng)(1)中d(t)為區(qū)間時(shí)變時(shí)滯，滿足

注1.有必要指出在已知文獻(xiàn)［6－10］中，有關(guān)具有時(shí)變時(shí)滯的It型Markov切換系統(tǒng)的時(shí)滯項(xiàng)大都定義為0≤d(t)≤h，(t)≤μ＜ 1，而在本文中對(duì)h1，μ并無(wú)限制，因此本文中的時(shí)滯更具一般性.

2 主要結(jié)果

定理1 給定常數(shù)h1，h2.對(duì)任意時(shí)滯d(t)，系統(tǒng)(1)是均方指數(shù)穩(wěn)定的，若存在正常數(shù)ε1，ε2，ε3，ρi和 n × n 階大于0 的矩陣 Pi，Q1i，Q2i，Q3i，Ri，Si，Ti，Z1，Z2，Q1，Q2，Q3及 Lki，Mki，Nki，Hki，k= 1， 2，…， 5，使得對(duì)任意 i= 1， 2，…，N，以下不等式成立:

選擇Lyapunov-Krasovskii函數(shù):

其中:Pi，Q1i，Q2i，Q3i，Q1，Q2，Q3，Z1，Z2，i= 1， 2，…，N，是適當(dāng)維數(shù)正定矩陣，ε1，ε2，ε3為正常數(shù)，定義L為隨機(jī)過(guò)程{xt，t≥0}的弱無(wú)窮小微分算子.則對(duì)任意 r(t)=i，i∈ S，有

所以由定義 1，系統(tǒng)(1)是均方指數(shù)穩(wěn)定的.

下面考慮一般型變時(shí)滯馬爾可夫切換系統(tǒng):

定義2 系統(tǒng)(20)是隨機(jī)穩(wěn)定的，若對(duì)于［－h(huán)2，0］上初值 φ(t)和 r(0)∈ S，以下條件滿足:

推論1 給定常數(shù)h1，h2.對(duì)任意時(shí)滯d(t)，系統(tǒng)(20)是隨機(jī)穩(wěn)定的，如果存在n×n階矩陣Pi＞ 0，Q1i＞ 0，Q2i＞ 0，Q3i＞ 0，Ri＞ 0，Si＞ 0，Ti＞ 0，Z1＞ 0，Z2＞ 0，Q1＞ 0，Q2＞ 0，Q3＞ 0，Lki，Mki，Nki，Hki，k= 1， 2，…， 5，使得對(duì)任意 i= 1， 2，…，N，以下矩陣不等式成立:

證明 類(lèi)似定理1的推導(dǎo)過(guò)程，可以得出推論1成立，這里不再贅述.

3 數(shù)值算例

算例1 考慮具有兩模態(tài)的時(shí)滯馬爾可夫跳躍系統(tǒng)(20)，系統(tǒng)參數(shù)如下［5］:

為了將推論1中結(jié)果與文獻(xiàn)［5］中結(jié)果進(jìn)行比較，首先設(shè)定 h1= 0，μ11= －0. 1，μ22= － 0. 8，對(duì)于給定μ值，滿足式(21)～(25)的最大時(shí)滯h2可以通過(guò)求解quasi凸優(yōu)化問(wèn)題得到.表1中給出了比較結(jié)果.另外，設(shè)定μ22=－0. 8，μ =0. 8，對(duì)于給定的μ11，表2給出了比較結(jié)果.通過(guò)表 1，表2的比較可以看出推論1具有更小的保守性.

表1 算例1中對(duì)于給定μ，允許的最大h2比較

表2 算例1中對(duì)于給定μ11，允許的最大h2比較

算例2 考慮具有兩模態(tài)的時(shí)滯馬爾可夫跳躍系統(tǒng)(1)，系統(tǒng)參數(shù)如下［9］:

同樣設(shè)定h1= 0，μ11= － 1，μ22= － 2，對(duì)于給定μ值，由定理1得出允許的最大時(shí)滯h2比較結(jié)果在表3中給出.算例2表明定理1的結(jié)果比文獻(xiàn)［9］中的結(jié)論具有更低的保守性.

表3 給定μ，算例2中允許的最大h2比較

當(dāng)時(shí)變時(shí)滯為區(qū)間時(shí)滯(即h1≠0)時(shí)，設(shè)定h1=0. 2，μ11= － 1，μ22= － 2，，對(duì)于給定μ值，將定理1所得出允許的最大時(shí)滯h2與文獻(xiàn)［12］中所得結(jié)果列于表4(這里假設(shè)文獻(xiàn)［12］中的干擾輸入v(t)=0).由表4看到當(dāng)時(shí)變時(shí)滯為區(qū)間時(shí)滯時(shí)，本文結(jié)果具有較小的保守性.

表4 給定μ，算例2中允許的最大h2比較

［1］CAO Y，LAM J.Robust H∞control of uncertain Markovian jump systems with time-delay［J］.IEEE TAC， 2000，45:77－83.

［2］MAO X.Exponential stability of stochastic delay interval systems with Markovian switching［J］.IEEE Transactions on Automaic Control， 2002，47(10):1604 －1612.

［3］BENJELLOUN K，BOUKAS E K.Mean square stochastic stability of linear time-delay system with Markovian jumping parameters［J］.IEEE Transactions on Automaic Control， 1998，43(10):1456 －1460.

［4］ZHANG L，HUANG B，LAM J.H∞model reduction of Markovian jump linear systems［J］.Systems and Control Letters， 2003，50(2):103－118.

［5］XU S，LAM J.Delay-dependent H∞control and filtering for uncertain Markovian jump systems with time－varying delays［J］.IEEE Transactions on Circuits and System， 2007，54(9):2070－2077.

［6］舒慧生.時(shí)滯Markov切換It隨機(jī)微分系統(tǒng)的魯棒分析與控制［D］.上海:東華大學(xué)，2005.

［7］孫敏慧，鄒云.隨機(jī)馬爾可夫切換系統(tǒng)的H∞模型降階［J］.控制理論與應(yīng)用， 2006，23(2):268－273.

［8］YUE D，WON S.Delay-dependent robust stability of stochastic uncertain systems with time delay and Markovian jump parameters［J］.Circuits，Systems and Signal Processing， 2003，22(4):351－365.

［9］YUE D，HAN Q L.Delay-dependent exponential stability of stochastic systems with time-varying delay，nonlinearity，and Markovian switching［J］.IEEE Transactions and Automat Control， 2005，50(2):217 －222.

［10］MAO X R，LAM J，HUANG L R.Stabilisation of hybrid stochastic differential equations by delay feedback control［J］.Systems and Control Letters， 2008，57(11):927－935.

［11］CAO Y.Y，LAM J，HU S.Delay-dependent stocastic stability and H∞analysis for time-delay systems with Markovain parameters［J］.Journal of the Franklin Institute， 2003，340(6):423－434.

［12］SHAO H Y.Delay-range-dependent robust H∞filtering for uncertain stochastic systems with mode-dependent time delays and Markovian jump parameters［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2008，342(6):1084－1095.

Less conservative delay-dependent exponential stability for stochastic Markovian jump systems with time-varying delays

ZHAO Xu-dong，WAGN Li，LING Ming-xiang，ZENG Qing-shuang

(Space Control and Inertial Technology Institute，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China，zxd7777777@126.com)

In this paper，the delay-range-dependent exponential stability problems for Itstochastic Markovian jump linear systems with interval time-varying delays satisfying h1≤d(t)≤h2are investigated.In terms of linear matrix inequalities，the criteria of less conservative delay-range-dependent stability for Itstochastic Markovian jump systems are proposed by constructing a different Lyapunov-Krasovskii function and introducing some improved integral-equalities.Numerical examples are provided to demonstrate the efficiency and reduced conservatism of the results in this paper.

delay-dependent stability;markovian jump systems;interval time-varying delays;linear matrix inequalities

TP273

A

0367－6234(2010)03－0378－06

2008－10－17.

趙旭東(1970—)，男，博士研究生;

曾慶雙(1964—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

(編輯 張 宏)