陳 昊，王玉榮

（1.南京供電公司，江蘇 南京210008；2.東南大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇 南京210096）

風(fēng)能清潔無污染，在全球范圍來看風(fēng)力發(fā)電是增長最快的可再生能源發(fā)電方式。風(fēng)電近年來在我國的發(fā)展十分迅猛，到2020年我國風(fēng)電的裝機(jī)容量將達(dá)到30 GW[1]。國內(nèi)外各種與風(fēng)電相關(guān)的研究方興未艾，推動(dòng)著風(fēng)電技術(shù)的發(fā)展。風(fēng)電場短期風(fēng)速時(shí)間序列的研究對于預(yù)測風(fēng)電出力有重要意義。然而由于影響風(fēng)速變化的因素很多（如溫度、氣壓梯度、地表粗糙度等），導(dǎo)致風(fēng)速規(guī)律性較差，波動(dòng)變化較劇烈，預(yù)測難度較大。目前，風(fēng)速預(yù)測的常見方法主要有持續(xù)預(yù)測法，時(shí)間序列法[2]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[3]、卡爾曼濾波法[4]等。GARCH模型是刻畫時(shí)間序列波動(dòng)性的重要模型，近年在電力領(lǐng)域的應(yīng)用不斷拓展[5]。文獻(xiàn)[6]分析了風(fēng)速時(shí)間序列的自回歸條件異方差（ARCH）效應(yīng)，建立了基于ARCH的風(fēng)速預(yù)測模型。目前GARCH風(fēng)速模型主要集中在應(yīng)用層面，進(jìn)一步討論還有待深入展開。Bai,Russell,Tiao研究了GARCH模型的峰度[7]，并提出用于峰度分析的定理（簡稱BRT定理），但該定理峰度的定義采用了Excess kurtosis的形式。按照電力系統(tǒng)文獻(xiàn)更常用的峰度定義u4/σ4重新推導(dǎo)了BRT定理，并使用該定理對GARCH風(fēng)速模型進(jìn)行了一些理論層面的討論，并結(jié)合實(shí)際風(fēng)速數(shù)據(jù)完成了GARCH風(fēng)速模型的峰度分析。

1 GARCH模型與峰度研究

1.1 GARCH模型簡介

Engle（1982）開創(chuàng)性地提出了ARCH模型，拉開了波動(dòng)性研究序幕。Bollerselev（1986）提出ARCH的重要推廣形式GARCH（p，q）模型[8]，如下。

條件均值方程：

條件方差方程：

GARCH模型的另一種重要的表達(dá)形式是GARCH的ARMA（r，q）表示。這種表達(dá)形式對于峰度分析十分重要。記，GARCH模型的條件方差方程變形為：

1.2 峰度分析的定理及證明

GARCH模型的自身結(jié)構(gòu)和條件峰度都可以帶來高峰厚尾，兩者對模型整體峰度分別具有何種影響，對于理解和使用GARCH模型有重要意義。Bai等人定量研究了這一問題，并提出了BTR定理。

文獻(xiàn)[7]對以ARMA形式表示的GARCH模型附加2條假設(shè)：

（1）多項(xiàng)式φ（B）的根在單位圓外；

式中：ψi取自

通過這2條假設(shè)，保證了E（ut）=0，方差有界且不相關(guān)，同時(shí)保證了的弱平穩(wěn)性。

記Zt的峰度為K（z），稱εt的峰度為整體峰度，如果峰度存在，記為K（ε）。如果Zt服從高斯分布，K（z）=3，稱由式（1，2）定義的隨機(jī)過程為正態(tài)GARCH過程，稱高斯GARCH過程的峰度為GARCH峰度，如果峰度存在，記為K（GARCH）。應(yīng)注意峰度的定義采用了異于BTR的形式，將基于該定義的BTR定理改寫成如下形式。

定理1：如果εt服從GARCH（p，q）過程，滿足假設(shè)1，假設(shè)2，則有

下面給出定理1的證明。

由K（GARCH）的定義，令K（z）=3，有：

將式（15）代入式（14），則有：

定理1可方便用于εt的峰度分析，可以從整體峰度中分解出哪些是由GARCH模型本身造成的高峰度，哪些是由條件分布造成的高峰度。

1.3 GARCH模型的條件分布

峰度為K（z）允許有很多種變化，條件分布zt的形式自然也不限于高斯分布[9]。這里介紹算例部分使用的2種非高斯分布。

（1）拉普拉斯分布

拉普拉斯分布又名雙指數(shù)分布，密度函數(shù)形如：

（2）廣義誤差分布（GED）

GED是一種概括性較強(qiáng)的分布，應(yīng)用范圍廣泛。標(biāo)準(zhǔn)GED函數(shù)形如：

2 算例分析

2.1 數(shù)據(jù)及初步分析

文中基于某風(fēng)電場測風(fēng)點(diǎn)（2 kW機(jī)組）2007年連續(xù)12 d、每天96點(diǎn)的風(fēng)速實(shí)測數(shù)據(jù)建立模型，樣本空間共有1 152個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

計(jì)算風(fēng)速數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征，可得均值為0.480，標(biāo)準(zhǔn)差為0.747，偏度為2.411，峰度Ksmpl=9.374。易見，風(fēng)速數(shù)據(jù)具有很高的峰度，使用具有描述高峰厚尾效應(yīng)的GARCH模型是有合理性的。

2.2 ARMA-GARCH模型的建立

采用統(tǒng)計(jì)經(jīng)典方法分析數(shù)據(jù)序列，首先使用ADF檢驗(yàn)和PP檢驗(yàn)風(fēng)速時(shí)間序列的平穩(wěn)性。2種檢驗(yàn)一致拒絕了單位根假設(shè)，從而表明建模的平穩(wěn)性前提是滿足的。

自回歸移動(dòng)平均（ARMA）結(jié)構(gòu)經(jīng)常用于描述風(fēng)速時(shí)間序列的相依關(guān)系。使用ARMA作為條件均值方程，條件方差方程采用GARCH（1，1）。

分析風(fēng)速時(shí)間序列自相關(guān)、偏相關(guān)函數(shù)，建立模型可行階數(shù)的備擇模型集，使用極大似然估計(jì)（MLE）獲得所有備擇模型的參數(shù)估計(jì)。通過權(quán)衡所有備擇ARMA的SIC，兼顧ARCH過程的嚴(yán)平穩(wěn)性等約束條件，最終將模型階數(shù)厘定為ARMA（3，3）-GARCH（1，1）。應(yīng)注意此時(shí)的模型是基于條件正態(tài)假設(shè)的，故將該模型簡記作GARCH-Gaussian模型。

進(jìn)一步GARCH模型推廣非高斯形式（拉普拉斯分布，GED），分別簡記為GARCH-L，GARCH-GED模型?？紤]到可能存在的厚尾效應(yīng)，GED厚尾參數(shù)取1.2。

同樣使用MLE方法獲得GARCH-L和GARCH-GED的參數(shù)估計(jì)，通過BHHH算法控制迭代過程。條件方差方程參數(shù)見表1。

表1 GARCH模型的參數(shù)估計(jì)

3種GARCH模型的所有參數(shù)均顯著，且符合GARCH模型平穩(wěn)性條件，其他統(tǒng)計(jì)指標(biāo)亦良好。峰度分析以這3種模型為基礎(chǔ)。

2.3 GARCH模型的峰度分析

借助2.2節(jié)證明的定理1，可以對風(fēng)電場風(fēng)速時(shí)間序列進(jìn)行峰度分析。

2.3.1 模型的K（GARCH）計(jì)算

據(jù)文獻(xiàn)[8]可知，對于一個(gè)GARCH（1，1）模型有

可以分別根據(jù)表1中的參數(shù)計(jì)算出3種模型的K（GARCH）（見表2）。

表2 GARCH模型的峰度比較

2.3.2 整體峰度K（ε）計(jì)算

正態(tài)和拉普拉斯分布的K（z）為常數(shù)，GED的K（z）可由式（18）計(jì)算。使用定理1可方便求得各模型的整體峰度K（ε），并與樣本實(shí)際峰度相比較，見表2。

由表2可得出以下幾點(diǎn)結(jié)論。

（1）GARCH模型自身的結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生高峰厚尾，即使z為正態(tài)分布，整體峰度K（ε）亦可以出現(xiàn)高于正態(tài)的峰度。

（2）拉普拉斯分布的K（z）較高，最終整體峰度K（ε）也最高。在K（GARCH）相近情況下，K（z）的高下對整體峰度有較大影響。

同時(shí)應(yīng)該注意到，K（GARCH）的變化受模型參數(shù)的約束，控制K（GARCH）相對困難，而z的選擇余地較大，通過K（z）對K（ε）進(jìn)行調(diào)節(jié)相對方便。

（3）本算例的3種模型中，GARCH-N模型的整體峰度不足，GARCH-L模型則超過。相對比較，GARCH-GED刻畫的和數(shù)據(jù)的實(shí)際分布Ksmpl最為接近。

（4）GARCH模型條件分布類型及分布參數(shù)的選擇問題常常困擾著研究者，一般采用樣本外預(yù)測效果來確定。通過對GARCH模型的峰度分析，尋找能使與Ksmpl最匹配的條件分布，可以在參數(shù)估計(jì)完成的同時(shí)就能就分布選型為研究者提供參考，尤其適合于樣本外預(yù)測結(jié)果獲取成本高的情形。

3 結(jié)束語

以往對風(fēng)速的研究討論均值方差者居多，高階矩的討論相對較少。從文中的研究來看，高峰度正是風(fēng)速固有的重要特性之一。對風(fēng)速時(shí)間序列峰度的研究對更好地理解風(fēng)速時(shí)間序列是有益的。

文章根據(jù)電力系統(tǒng)文獻(xiàn)常見峰度定義，給出了BTR定理的新形式，并證明了該定理，為風(fēng)速時(shí)間序列峰度分析在理論上提供了方便。

另外，算例分析中采用不同分布GARCH模型模擬了風(fēng)速數(shù)據(jù)的峰度，并做出比較，為GARCH風(fēng)速預(yù)測模型條件分布的選擇提供了一種可行方案。

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