陳 昊,王玉榮
(1.南京供電公司,江蘇 南京210008;2.東南大學(xué)電氣工程學(xué)院,江蘇 南京210096)
風(fēng)能清潔無(wú)污染,在全球范圍來(lái)看風(fēng)力發(fā)電是增長(zhǎng)最快的可再生能源發(fā)電方式。風(fēng)電近年來(lái)在我國(guó)的發(fā)展十分迅猛,到2020年我國(guó)風(fēng)電的裝機(jī)容量將達(dá)到30 GW[1]。國(guó)內(nèi)外各種與風(fēng)電相關(guān)的研究方興未艾,推動(dòng)著風(fēng)電技術(shù)的發(fā)展。風(fēng)電場(chǎng)短期風(fēng)速時(shí)間序列的研究對(duì)于預(yù)測(cè)風(fēng)電出力有重要意義。然而由于影響風(fēng)速變化的因素很多(如溫度、氣壓梯度、地表粗糙度等),導(dǎo)致風(fēng)速規(guī)律性較差,波動(dòng)變化較劇烈,預(yù)測(cè)難度較大。目前,風(fēng)速預(yù)測(cè)的常見(jiàn)方法主要有持續(xù)預(yù)測(cè)法,時(shí)間序列法[2]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[3]、卡爾曼濾波法[4]等。GARCH模型是刻畫(huà)時(shí)間序列波動(dòng)性的重要模型,近年在電力領(lǐng)域的應(yīng)用不斷拓展[5]。文獻(xiàn)[6]分析了風(fēng)速時(shí)間序列的自回歸條件異方差(ARCH)效應(yīng),建立了基于ARCH的風(fēng)速預(yù)測(cè)模型。目前GARCH風(fēng)速模型主要集中在應(yīng)用層面,進(jìn)一步討論還有待深入展開(kāi)。Bai,Russell,Tiao研究了GARCH模型的峰度[7],并提出用于峰度分析的定理(簡(jiǎn)稱BRT定理),但該定理峰度的定義采用了Excess kurtosis的形式。按照電力系統(tǒng)文獻(xiàn)更常用的峰度定義u4/σ4重新推導(dǎo)了BRT定理,并使用該定理對(duì)GARCH風(fēng)速模型進(jìn)行了一些理論層面的討論,并結(jié)合實(shí)際風(fēng)速數(shù)據(jù)完成了GARCH風(fēng)速模型的峰度分析。
Engle(1982)開(kāi)創(chuàng)性地提出了ARCH模型,拉開(kāi)了波動(dòng)性研究序幕。Bollerselev(1986)提出ARCH的重要推廣形式GARCH(p,q)模型[8],如下。
條件均值方程:
條件方差方程:
GARCH模型的另一種重要的表達(dá)形式是GARCH的ARMA(r,q)表示。這種表達(dá)形式對(duì)于峰度分析十分重要。記,GARCH模型的條件方差方程變形為:
GARCH模型的自身結(jié)構(gòu)和條件峰度都可以帶來(lái)高峰厚尾,兩者對(duì)模型整體峰度分別具有何種影響,對(duì)于理解和使用GARCH模型有重要意義。Bai等人定量研究了這一問(wèn)題,并提出了BTR定理。
文獻(xiàn)[7]對(duì)以ARMA形式表示的GARCH模型附加2條假設(shè):
(1)多項(xiàng)式φ(B)的根在單位圓外;
式中:ψi取自
通過(guò)這2條假設(shè),保證了E(ut)=0,方差有界且不相關(guān),同時(shí)保證了的弱平穩(wěn)性。
記Zt的峰度為K(z),稱εt的峰度為整體峰度,如果峰度存在,記為K(ε)。如果Zt服從高斯分布,K(z)=3,稱由式(1,2)定義的隨機(jī)過(guò)程為正態(tài)GARCH過(guò)程,稱高斯GARCH過(guò)程的峰度為GARCH峰度,如果峰度存在,記為K(GARCH)。應(yīng)注意峰度的定義采用了異于BTR的形式,將基于該定義的BTR定理改寫(xiě)成如下形式。
定理1:如果εt服從GARCH(p,q)過(guò)程,滿足假設(shè)1,假設(shè)2,則有
下面給出定理1的證明。
由K(GARCH)的定義,令K(z)=3,有:
將式(15)代入式(14),則有:
定理1可方便用于εt的峰度分析,可以從整體峰度中分解出哪些是由GARCH模型本身造成的高峰度,哪些是由條件分布造成的高峰度。
峰度為K(z)允許有很多種變化,條件分布zt的形式自然也不限于高斯分布[9]。這里介紹算例部分使用的2種非高斯分布。
(1)拉普拉斯分布
拉普拉斯分布又名雙指數(shù)分布,密度函數(shù)形如:
(2)廣義誤差分布(GED)
GED是一種概括性較強(qiáng)的分布,應(yīng)用范圍廣泛。標(biāo)準(zhǔn)GED函數(shù)形如:
文中基于某風(fēng)電場(chǎng)測(cè)風(fēng)點(diǎn)(2 kW機(jī)組)2007年連續(xù)12 d、每天96點(diǎn)的風(fēng)速實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立模型,樣本空間共有1 152個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。
計(jì)算風(fēng)速數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征,可得均值為0.480,標(biāo)準(zhǔn)差為0.747,偏度為2.411,峰度Ksmpl=9.374。易見(jiàn),風(fēng)速數(shù)據(jù)具有很高的峰度,使用具有描述高峰厚尾效應(yīng)的GARCH模型是有合理性的。
采用統(tǒng)計(jì)經(jīng)典方法分析數(shù)據(jù)序列,首先使用ADF檢驗(yàn)和PP檢驗(yàn)風(fēng)速時(shí)間序列的平穩(wěn)性。2種檢驗(yàn)一致拒絕了單位根假設(shè),從而表明建模的平穩(wěn)性前提是滿足的。
自回歸移動(dòng)平均(ARMA)結(jié)構(gòu)經(jīng)常用于描述風(fēng)速時(shí)間序列的相依關(guān)系。使用ARMA作為條件均值方程,條件方差方程采用GARCH(1,1)。
分析風(fēng)速時(shí)間序列自相關(guān)、偏相關(guān)函數(shù),建立模型可行階數(shù)的備擇模型集,使用極大似然估計(jì)(MLE)獲得所有備擇模型的參數(shù)估計(jì)。通過(guò)權(quán)衡所有備擇ARMA的SIC,兼顧ARCH過(guò)程的嚴(yán)平穩(wěn)性等約束條件,最終將模型階數(shù)厘定為ARMA(3,3)-GARCH(1,1)。應(yīng)注意此時(shí)的模型是基于條件正態(tài)假設(shè)的,故將該模型簡(jiǎn)記作GARCH-Gaussian模型。
進(jìn)一步GARCH模型推廣非高斯形式(拉普拉斯分布,GED),分別簡(jiǎn)記為GARCH-L,GARCH-GED模型??紤]到可能存在的厚尾效應(yīng),GED厚尾參數(shù)取1.2。
同樣使用MLE方法獲得GARCH-L和GARCH-GED的參數(shù)估計(jì),通過(guò)BHHH算法控制迭代過(guò)程。條件方差方程參數(shù)見(jiàn)表1。
表1 GARCH模型的參數(shù)估計(jì)
3種GARCH模型的所有參數(shù)均顯著,且符合GARCH模型平穩(wěn)性條件,其他統(tǒng)計(jì)指標(biāo)亦良好。峰度分析以這3種模型為基礎(chǔ)。
借助2.2節(jié)證明的定理1,可以對(duì)風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速時(shí)間序列進(jìn)行峰度分析。
2.3.1 模型的K(GARCH)計(jì)算
據(jù)文獻(xiàn)[8]可知,對(duì)于一個(gè)GARCH(1,1)模型有
可以分別根據(jù)表1中的參數(shù)計(jì)算出3種模型的K(GARCH)(見(jiàn)表2)。
表2 GARCH模型的峰度比較
2.3.2 整體峰度K(ε)計(jì)算
正態(tài)和拉普拉斯分布的K(z)為常數(shù),GED的K(z)可由式(18)計(jì)算。使用定理1可方便求得各模型的整體峰度K(ε),并與樣本實(shí)際峰度相比較,見(jiàn)表2。
由表2可得出以下幾點(diǎn)結(jié)論。
(1)GARCH模型自身的結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生高峰厚尾,即使z為正態(tài)分布,整體峰度K(ε)亦可以出現(xiàn)高于正態(tài)的峰度。
(2)拉普拉斯分布的K(z)較高,最終整體峰度K(ε)也最高。在K(GARCH)相近情況下,K(z)的高下對(duì)整體峰度有較大影響。
同時(shí)應(yīng)該注意到,K(GARCH)的變化受模型參數(shù)的約束,控制K(GARCH)相對(duì)困難,而z的選擇余地較大,通過(guò)K(z)對(duì)K(ε)進(jìn)行調(diào)節(jié)相對(duì)方便。
(3)本算例的3種模型中,GARCH-N模型的整體峰度不足,GARCH-L模型則超過(guò)。相對(duì)比較,GARCH-GED刻畫(huà)的和數(shù)據(jù)的實(shí)際分布Ksmpl最為接近。
(4)GARCH模型條件分布類型及分布參數(shù)的選擇問(wèn)題常常困擾著研究者,一般采用樣本外預(yù)測(cè)效果來(lái)確定。通過(guò)對(duì)GARCH模型的峰度分析,尋找能使與Ksmpl最匹配的條件分布,可以在參數(shù)估計(jì)完成的同時(shí)就能就分布選型為研究者提供參考,尤其適合于樣本外預(yù)測(cè)結(jié)果獲取成本高的情形。
以往對(duì)風(fēng)速的研究討論均值方差者居多,高階矩的討論相對(duì)較少。從文中的研究來(lái)看,高峰度正是風(fēng)速固有的重要特性之一。對(duì)風(fēng)速時(shí)間序列峰度的研究對(duì)更好地理解風(fēng)速時(shí)間序列是有益的。
文章根據(jù)電力系統(tǒng)文獻(xiàn)常見(jiàn)峰度定義,給出了BTR定理的新形式,并證明了該定理,為風(fēng)速時(shí)間序列峰度分析在理論上提供了方便。
另外,算例分析中采用不同分布GARCH模型模擬了風(fēng)速數(shù)據(jù)的峰度,并做出比較,為GARCH風(fēng)速預(yù)測(cè)模型條件分布的選擇提供了一種可行方案。
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